2026-2027学年安徽省华师联盟高三上学期9月份开学质量检测数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（）A.4种 B.9种 C.12种 D.16种2.经过点且与直线平行的直线方程为（）A. B.C. D.3.已知随机变量服从正态分布且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.84.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5.已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.66.已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（）A.或 B.C. D.7.已知等差数列的前项和为，，，若，则（）A.14 B.15 C.16 D.178.已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.一组数据的线性回归方程为，若，则B.若随机变量满足，则C.若随机变量的方差，则D.若随机变量，则10.已知数列的前项和，则（）A.B.C.令，为数列的前项和，则D.11.如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（）A.B.直线与直线夹角的余弦值为C.平面D.平面与平面的夹角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________.14.已知数列共有6项，，，，，，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．16.某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率.（1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率；（2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望.17.如图所示，在四棱锥中，，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，二面角的平面角为.（ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值；（ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标.18.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，且，证明.19.已知是圆：上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设直线是过原点的一条动直线，直线与圆交于，两点，，直线，与曲线的交点分别为点，．（ⅰ）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？使得四边形为梯形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（ⅱ）求面积的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（）A.4种 B.9种 C.12种 D.16种答案：C解析：解答过程：进小区有4种选择，因为出小区不能与进的门相同，所以出小区有3种选择，所以进出小区的方式共有种.2.经过点且与直线平行的直线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：直线可化为，斜率为，所求直线与已知直线平行，故斜率也为，又所求直线经过点，由点斜式得，整理即.3.已知随机变量服从正态分布且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：B解析：思路：根据正态分布的对称性可得，进而根据条件概率公式求解即可.解答过程：由题知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称.，根据正态分布的对称性可得，因此.4.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：函数求导得，，若函数在上是单调函数，则，解得，故实数的取值范围是.5.已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A解析：思路：设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可.解答过程：设，由，得，化简整理，得.由题意得，圆（）与有公共点，故，，，解得，所以实数的最小值是3.6.已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（）A.或 B.C. D.答案：D解析：思路：利用垂直平分线性质和抛物线定义，从而求出交点坐标.解答过程：如图所示：由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上，设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知，，则，可得，所以交点.7.已知等差数列的前项和为，，，若，则（）A.14 B.15 C.16 D.17答案：A解析：解答过程：因为，即，即，则，又因为，所以，所以，所以，即.8.已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合不等式恒成立问题，通过分类讨论即可求解.解答过程：函数，若时恒成立，即恒成立.令，.对于函数（），，令，得，当时，；当时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；当时，函数取最小值，且最小值为，且当时，；当时，，所以函数的大致图象如图（1）所示；对于函数（），则，令，得.①当时，若，则；若，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，取最大值，且最大值为，且当时，；当时，，所以函数的大致图象如图（1）所示.由图可知，只有当函数和图象分别在直线两侧时，即且时，恒成立，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，此时；当，即时，一定存在（是指某个区间），函数与的图象在直线的同侧，则有，即在上不恒成立，所以不符合题意；②当时，，其图象是轴，存在直线在函数和图象之间，所以符合题意；③当时，若，则；若，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，取最小值，且最小值为，且当时，；当时，，大致图象如图（2）所示，由图可知，不存在直线，使得函数和图象分别在直线两侧，所以不符合题意.综上，实数的取值范围是：，故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.一组数据的线性回归方程为，若，则B.若随机变量满足，则C.若随机变量的方差，则D.若随机变量，则答案：ACD解析：思路：根据线性回归方程、数学期望的性质、方差的性质、二项分布知识逐项计算判断即可.解答过程：对于A，线性回归直线一定过样本中心点，已知，所以，A正确；对于B，已知，则，，B错误；对于C，已知，则，C正确；对于D，已知随机变量，则，D正确.10.已知数列的前项和，则（）A.B.C.令，为数列的前项和，则D.答案：BCD解析：思路：A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可.B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式.C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和.D：先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较.解答过程：因为，所以当时，；当时，，对也成立，所以，所以选项A错误，选项B正确；对C，，则①则②，①②得：，即，所以选项C正确；对D，，所以，所以选项D正确.11.如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（）A.B.直线与直线夹角的余弦值为C.平面D.平面与平面的夹角的正弦值为答案：ABD解析：思路：先建立空间直角坐标系，列出各个向量的坐标，根据向量夹角公式、数量积公式逐项计算即可.解答过程：由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，有，，所以，即，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，，设平面的一个法向量为，则，则，显然与之不共线，故C错误；设平面的一个法向量为，则，令，则，令，，所以，则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________.答案：2解析：思路：由条件得到的关系，再利用基本不等式即可求出的最小值.解答过程：因为展开式的通项为，令，解得，所以，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________.答案：解析：思路：先由双曲线对称性确定轴，再由定义求出与的关系式，可求离心率.解答过程：如图所示：若为正三角形，则有，根据双曲线的对称性，可知轴，即，又因为，则.又因为，所以，.而，由，可得，即，所以.14.已知数列共有6项，，，，，，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为______.答案：36解析：思路：结合，对数列分三种情形讨论，利用组合数求出每一类的总数，再去掉的情况，即可求解.解答过程：因为，即，所以数列可能有以下三种情形：①数列中有四项1，两项，若两个出现在前4项，任意两个位置，符合题意，此时有,若两个出现在第一项和第五项，即，符合题意，若两个出现在第一项和第六项，即，此时，不符合题意；若两个出现在第二项和第五项，即，符合题意；若两个出现在第二项和第六项，即，，不符合题意；若两个出现在第三项和第五项，即，符合题意；若两个出现在第三项和第六项，即，，不符合题意；若两个出现在第四项和第五项，即，此时，不符合题意；若两个出现在第四项和第六，即，此时，不符合题意；若两个出现在第五和第六，即，此时，不符合题意；综上可知符合题意的有9种情况；②数列中有三项1，三项，共有种情况，去掉前3项为1，后三项为,和前3项为，后三项为两种不符合情况；所以此时共有种情况；③数列中有二项1，四项，同①讨论，共有种情况；综上，数列的个数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意列出方程组，进而求解即可；（2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可．（1）设等差数列的首项为，公差为，（），因为，故，又，则，解得或（舍去），则，所以．（2）结合（1）得，所以的前项和为．16.某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率.（1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率；（2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设出事件，利用全概率公式进行求解；（2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望.（1）记事件“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件“顾客选择满意”，根据题意可知，，，，，则；（2）设事件“甲店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”，事件“乙店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”，由题意可知，，，则，.的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的分布列为：则.17.如图所示，在四棱锥中，，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，二面角的平面角为.（ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值；（ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标.答案：（1）如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以，又因为，所以，所以B，O，D三点共线，即，所以；又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）（ⅰ）（ⅱ），解析：思路：（1）先证明平面，得到平面平面；（2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得；（ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得.（1）略（2）（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即.因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以.因为，，，所以，又因为，则.又因为，，，所以，即.记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示.则，，，，，.设平面的一个法向量为，，，由，令，则，则；设平面的一个法向量为，，，由，令，则，，则.设平面与平面的夹角为，则，则，即平面与平面的夹角的正弦值为；（ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2.因为，平面的一个法向量为，则点到平面的距离，所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面.设，所以有，且，则有①，②，令，即，，，代入①得：，即，所以或.所以或.当时，，此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍；当，，此时点到平面的距离为：，所以符合题意，所以点的坐标为.18.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，且，证明.答案：（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；极小值为，无极大值；（2）证明：当时，；当时，；当时，，再由其单调性和极值，作出函数的大致图象如图所示：若，且，则，，.因为，则，又因为，且函数在上单调递增，所以，则，则，又因为函数在上单调递减，所以，即；要证：，又因为，即证.由得：，两边同时取对数得：，即，即，即证，即证，即证，令，因为，所以，即证.令，则，所以在上单调递增，又因为，所以，所以成立；因为且，所以.解析：思路：（1）求定义域，求导，解不等式求出单调区间和极值情况；（2）作出的大致图象，数形结合，得到，，，要证，即证，换元后即证，构造函数，求导，得到在上单调递增，证明出结论.（1）函数的定义域为，且，则，令，得，当或时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，当时，函数取极小值，且极小值为，无极大值；（2）略方法提示：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于