2026-2027学年江苏省淮安市名校协作体高三上学期9月质量监测数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知非零向量，，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：23562.33.75.66.4其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（）A. B. C. D.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.6.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（）A. B. C. D.7.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.38.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．9.已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（）A.以为直径的圆与相切 B.为锐角三角形C.三点共线 D.10.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（）A. B.的图象关于点对称C.是周期为的周期函数 D.11.如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（）A.平面BOD截该正方体所得截面的面积为B.点Q的轨迹长度为C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.三棱锥的体积的最大值为2三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为___________.13.已知函数，则满足的实数的取值范围是___________．14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．四、解答题：共5大题，满分77分．15.已知数列的前n项和为，，且点在直线上．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．16.已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望.17.如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.18.已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．19.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的最小值为0，求的值.

数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过解不等式求出集合，再利用交集的定义求得解答过程：由得，解得.∴，所以.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可.解答过程：，的虚部是故选：C3.已知非零向量，，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：因为，所以，当时，，所以，即，所以，所以；当时，，所以.所以“”是“”的充分必要条件.4.已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：23562.33.75.66.4其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差.解答过程：根据题意，，又在回归直线方程上，所以，所以回归直线方程为，时，得到预估值为，所以样本点在处的残差为.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果.解答过程：函数，定义域为，，为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C；当时，，，所以，可排除AD.6.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可.解答过程：单次摸球中奖的概率，由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验，所以摸球三次仅中奖两次的概率为：

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7.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3答案：C解析：思路：利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立等量关系式求解.解答过程：如图，作出符合题意的图形，根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，即，又，，中，，，即解得由此可得双曲线的离心率故选：C．8.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围.解答过程：由得：，当时，或；作出图象如下图所示，则有三个不等实根，与有四个不同交点，，解得：；当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．9.已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（）A.以为直径的圆与相切 B.为锐角三角形C.三点共线 D.答案：ACD解析：思路：由抛物线的性质可判断A；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断B；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断C；求出，利用基本不等式即可判断D.解答过程：对于A，设，则，所以线段的中点到准线的距离为，所以以线段为直径的圆与准线相切，故A项正确；对于B，连接，如图，因为，，所以，所以，所以即，故B项错误；对于C，抛物线的焦点为，设直线，，将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，又，因为，，所以，所以，，三点共线，故C项正确；对于D，，，则，得，因为，所以，等号成立时，，故，故D项正确．故选：ACD10.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（）A. B.的图象关于点对称C.是周期为的周期函数 D.答案：BCD解析：思路：根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解.解答过程：因为函数是定义域为的奇函数，，且，，对于A选项，因为，则，A错；对于B选项，由可得，整理可得，当时，则有，即，当时，，也满足，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为是定义域为的奇函数，且，所以，函数是周期为的周期函数，C对；对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数，则，，，，，所以，，因为，则，D对.故选：BCD.方法提示：结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.11.如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（）A.平面BOD截该正方体所得截面的面积为B.点Q的轨迹长度为C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.三棱锥的体积的最大值为2答案：BD解析：思路：根据平面截该正方体所得截面为，面积为，得A错误；分别取的中点，由平面平面，得点的轨迹长度为，B正确；由平面平面可知，点到平面的距离为定值，取点在点的位置，利用等积法求得点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，根据，当点为线段的中点时，取得最小值，取得最大值，最大值为，得C错误；根据点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取得最大值，得三棱锥体积的最大值为2，D正确．解答过程：对于A，如图，延长，与交于点，连接，所以平面截该正方体所得截面为，易知是边长为的正三角形，其面积，故A错误；对于B，分别取的中点，连接，则六边形为正六边形，因为分别为棱的中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，因为∥，∥，所以，又平面，平面，所以∥平面，因为，所以平面平面，则点的轨迹长度为，故B正确；对于C，由平面平面可知，点到平面的距离为定值，不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为，，得，即=，解得，设直线与平面所成角为，则，当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值，此时易得，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C错误；对于D，因为∥，∥，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大，易知当点在上运动时，点到平面的距离最大，不妨取点与点重合，设，连接，显然，由于，易得，，，则，所以，又，平面，所以平面，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确．三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为___________.答案：解析：解答过程：的展开式的通项为，，当时，，此时只需乘第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘第一个因式中的即可，得到．据此可得的系数为．13.已知函数，则满足的实数的取值范围是___________．答案：解析：思路：构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.解答过程：令，定义域为，，所以为奇函数.因为，在上递增，易知函数在上为增函数，因为，，所以原不等式可转化为，即，由单调性可得，解得，所以实数的取值范围是．故．14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．答案：解析：思路：先通过在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案.解答过程：对于函数，，令，则，因为在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在区间上单调递增，所以恒成立，所以，解得，综合得.故答案为.四、解答题：共5大题，满分77分．15.已知数列的前n项和为，，且点在直线上．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由的关系消去易得，（），检验时满足，得等比数列，即可求得其通项；（2）将（1）结论代入得，写出，利用错位相减法，即可求得.（1）由题意，，当时，，因①，当时，②，由①-②可得，，即，又因时，，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.（2）由（1）可得，则，于是，，③，④由③-④：，，，，则得.16.已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望.答案：（1）（2）分布列：X357P数学期望为解析：思路：（1）设事件为第i道题甲得1分，事件为第j道题乙得1分，由题可得，，据此可得答案；（2）由题可得随机变量X的取值为，由（1）可得，然后可得分布列及对应期望.（1）由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”.设事件为第i道题甲得1分，事件为第j道题乙得1分，事件为答完前两道题后两人各得1分，则.则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥，所以，,；（2）随机变量X的取值为.；；.所以随机变量X的分布列为X357P所以.17.如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.答案：（1）由，为的中点，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，所以.（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.（2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积.（1）略（2）由是边长为1的等边三角形，得，则，作交于点，由平面，得平面，而平面，则，过作于，连接，平面，因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，即，由，得，而，则，，，，，所以三棱锥的体积.18.已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．答案：（1）（2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，，由，得，，所以，．因直线的斜率分别为，因为则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ）解析：思路：（1）利用题设条