2026-2027学年安徽省十教育高三上学期第一次教学质量测评数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，6，4，7的中位数是（）A.3 B.4 C.5 D.62.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.4.已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（）A. B. C. D.5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.6.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.7.在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.8.甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，复数满足，则（）A.B.C.复数的虚部为1D.复数在复平面内的对应点在第一或第三象限10.已知函数，则（）A.函数的值域为B.函数的单调递增区间为，C.曲线关于直线对称，其中D.函数有两个零点11.已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（）A.B.C.当时，D.存在一条直线截三个圆所得的弦长相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．13.若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________．14.已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计（1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？（2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816.如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．17.已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18.已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，．（1）求的离心率；（2）若，（i）求证：直线平分线段；（ii）已知四边形的面积为，求直线的方程．19.已知函数的导函数为．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：；（3）设，是函数的两个极值点，且．（i）求的取值范围；（ii）求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，6，4，7的中位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：解答过程：将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，3，4，6，7，该组数据的样本容量为5（奇数），所以中位数为排序后第个数据，即为4．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，所以；又，所以.3.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式化简，再根据平面向量夹角的余弦公式即可求解．解答过程：由题可知，，与夹角的余弦值为．4.已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设甲圆锥的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得解.解答过程：设圆锥甲的高为，圆台乙的高为，则，，所以圆锥甲的体积，圆台乙的体积，所以甲、乙的体积之比为.5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，则，所以，所以污染物减少50%需要花的时间约为.6.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程.解答过程：由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内.点到双曲线的一条渐近线的距离为，所以，即，即，故，所以的渐近线方程为.7.在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，由余弦定理，，化简得，，所以，所以或.因为是斜三角形，所以，所以，所以，即A正确，B不正确.，，所以，所以，所以C不正确.，当且仅当，即时，.此时，，为直角三角形，不合题意，所以D不正确.8.甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：要求第次连续红球且前面不能提前终止，为前5次无连续红球，利用对立事件求概率，再套期望公式计算.解答过程：由题，，摸球顺序：1甲，2乙，3甲，4乙，5甲，6乙.停止条件：都红→，此时；否则看都红→，此时1白2红3红，；否则看都红→，此时为2白3红4红，；否则看都红→，此时为3白4红5红，且未发生，即前两次不能是1红2红，，则；否则看都红，此时均未发生，则；期望.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，复数满足，则（）A.B.C.复数的虚部为1D.复数在复平面内的对应点在第一或第三象限答案：BCD解析：解答过程：由题可得，A错误；因为，所以，B正确；复数，故复数的虚部为1，C正确；设，则，所以或，所以复数或，其在复平面内的对应点坐标为或，所以复数在复平面内的对应点在第一或第三象限，D正确.10.已知函数，则（）A.函数的值域为B.函数的单调递增区间为，C.曲线关于直线对称，其中D.函数有两个零点答案：AC解析：思路：A.先求出的周期是，所以只需考虑的一个周期内求值域；B.举反例，对，取，则，但没有在上单调递增，与选项矛盾；C.验证到，对任意成立，则曲线关于直线对称，其中；D.的值域为，则分四段讨论：，，，，得到对应的零点个数，从而得到只有1个零点.解答过程：选项A，，的周期为，，，故的周期是，所以只需考虑函数的一个周期内求值域，当，，，当，，，，，，，，，所以，函数的值域为，又的周期是，所以的值域为，A正确；选项B，举反例，对，取，则，，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以没有在上单调递增，B错误；选项C，，，，对任意成立，所以是的对称轴，C正确；选项D，令，的值域，时，，,则无零点；时，，则无零点；时，此时故,又,所以,则无零点；时，先讨论，，则，，因为，所以且等号仅在端点处成立，所以在单调递减，，，由零点存在定理得，在内有且仅有1个零点，又因为时，无零点，所以这个唯一零点必然落在上，综上，有且仅有1个零点,D错误.11.已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（）A.B.C.当时，D.存在一条直线截三个圆所得的弦长相等答案：ACD解析：思路：A.由圆的弦长公式求解；B.先求出点A，B的坐标，利用切线的性质，在直角三角形中，再分别利用三角形的等面积法求出的一半的大小，从而得到的大小；C.利用二倍角的正切公式求解；D.假设存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，从而利用点到直线的距离公式求解方程.解答过程：选项A,,,两式相减得公共弦直线方程,即，，半径，圆心到直线距离是,所以，A正确；选项B，联立与，解得；,不妨设，设与交于点，因为，，，所以，所以，故,即，,,,,,由,得，所以，所以，设与交于点，同理可知,即，,,,,,由,得，所以，所以，,B错误；选项C,,则，，,,在：，,,所以,因为，所以，C正确；选项D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，设存在直线，满足，等价于解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，联立与，得舍去，联立与，令，则，代入，直线的方程为：，所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．答案：2解析：解答过程：因为是奇函数，当时，，所以.13.若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________．答案：①.1②.解析：思路：利用导数与切线方程的关系求解第1个空；利用导数与函数的最值求解第2个空.解答过程：第1个空：对函数求导可得，，由曲线在点处的切线方程为可得，即,,，代入解得，；第2个空：由第1个空可知，那么，，令，得或，令，得，故函数单调性如下：增极大值减极小值增所以,,故在区间上的最大值与最小值之和为：.14.已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________．答案：##解析：思路：根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可.解答过程：由题意知，，则.设直线：，，，中点.联立，整理得.，因为，所以①.所以，，所以.因为中点在上，则，即，所以.又在上，则，所以，整理得②.将②代入①中，得，整理得，解得..因为在内，所以当时，取得最大值，此时.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计（1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？（2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联（2），，解析：思路：（1）根据独立性检验的相关知识解决；（2）利用古典概型的概率公式求解.（1）零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联，良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200根据上表可知，，所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联．（2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以，在200人中服用药物的人数为100，所以，因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好，所以．16.如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明：因为在平面中，，，所以，又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交，因为，，，平面，所以平面．（2）证明：取的中点，连接，，因为是的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）解析：解答过程：（1）略（2）略（3）因为平面，，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，设平面的一个法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则．17.已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件，利用与间的关系，求出，再利用累加法，即可求解；（2）根据条件，利用分组求和、错位相减法和等差数列的前项和公式，即可求解.（1）由题意知，当时，，当时，，满足上式，所以，因为，，成等比数列，所以，整理得到，解得，所以，因为数列满足，，所以，当时，，所以，所以时，，适合上式，所以的通项公式为.（2）由（1）知，令，，则，所以，所以，又，所以．18.已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，．（1）求的离心率；（2）若，（i）求证：直线平分线段；（ii）已知四边形的面积为，求直线的方程．答案：（1）（2）（i）证明：设，，的中点为，由与联立，整理得，所以，所以，，所以直线的斜率，因为，所以，又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段．（ii）或．解析：思路：（1）写出椭圆的标准方程，得到，，从而求解离心率.（2）（i）联立椭圆和直线的方程，可求得的中点的坐标，结合条件，从而可求解.（ii）联立椭圆和直线的方程，计算得到的长度，联立椭圆和直线的方程，可求得，两点的坐标，