新教材人教a版数学必修第二册学案924总体离散程度的估计

9.2.4总体离散程度的估计

新课程标准解读核心素养

1.结合实例，能用样本估i-总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）数据分析

2.理解离散程度参数的统ir含义数学运算

忽腐酸铜知识梳理

必情境导入

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位:

kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125kg/mnf.

甲110120130125120125135125135125

乙115100125130115125125145125145

［问题］哪种钢筋的质量较好？

6新知初探

知识点总体离散程度的估计

i.平均距离

假设一组数据是用，工2,…，・5，用工表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均

数的差的幽道作为“距离”，即出一7|（i=l,2,…，八）作为为到；的“距离”.可以得

到这组数据的,也，…，即到X的“平均距离”为初即一XI.

f=I

2.方差、标准差

绝对值改用平方来代替，即编二H我们称为这组数据的方差一取

1=1-izl

/1H—

它的算术平方根，即A臣3-x）2,我们称为这组数据的标暹差一

\%

3.总体方差、总体标准差

1

如果总体中所有个体的变量值分别为力，丫2,…，为，总体平均数为了，则称S2VL

—iZl

。一了)2为总体方差,5=打为总体标准差.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有A(kWN)个，不妨记为打，打，…，丫卜,其中

匕出现的频率为抑=1,2,…，攵)，则总体方差为S?=的丝一？£

—1=1

4.样本方差、样本标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为》，也，…，加样本平均数为亍，则称.*=用/

4=1

二三上为样本方差，$=正为样本标准差.

•点一点•

标准差、方差的意义

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的

离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；

(2)标准差、方差的取值范围［0,+8).标准差、方差为。时，样本各数据相等，说明

数据没有波动幅度，数据没有离散性；

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差

与标准差在刻画样本数据的分解程度上是一样的，但在解决实际问题时，一股多采用标准差.

。想一想

数据的标准差大小与数据的离散程度有什么关系？

提示：标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.

。做一做

1.判断正误.(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.i)

(2)数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.()

(3)数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.()

答案：(1)V(2)X(3)J

2.现有10个数，其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差

是()

2

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A由$2=1》?-x2,得$2=*x100—32=1,；.s=L

3.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的

平均成绩和方差如下表：

甲乙丙T

平均成绩；8.58.88.88

方差？3.53.52.18.7

则应派参赛最为合适.

解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适.

答案：丙

.............幽即酸铜典历精析…

oa标准差、方差的计算与应用

[例1](链接数科书第214页练习4题)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们

的株高(单位：cm)如下：

甲：25414037221419392142

乙：27164427441640401640

问：(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

[解]⑴。=吉(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=33OO=3O(cm),

—1I

x乙=而(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=而X31O=31(cm).

所以7甲＜7乙，即乙种玉米苗长得高.

(2)0=.[(25-30)2+(41-3O)2+(40-30)2+(37-3O)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-

30)2+(39—30尸+(21—30F+(42—30月=*(25+121+100+49+64+256+121+81+81+

144)=示1042=104.2(cnr),

st=*[2x(27-31)2+3x(16-31产+2x(44-31)2+3x(40-31)2]=X1288=

3

128.8(cm2).

所以昼vs"即甲种三米苗长得齐.

用样本的标准差、方差估计总体的方法

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际

应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均数相等的情况下，比较方差或标

准差以确定稳定性.

［跟踪训练］

甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面枳产量(单位：t/km?)如下：

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲9.89.910.11010.2

乙9.410.310.89.79.8

其中产量比较稳定的冬小麦品种是.

一1

解析：Xv=TX(9.84-9.9+10.1+10+10.2)=10(t/km2),

J

；乙=gx(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10(t/km2),

即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为IOt/km2.

揖=1x(0.04+0.01+0.01+0+0.04)=0.02,

5i=1x(0.36+0.09+0.644-0.09+0.04)=0.244,

即故甲种冬，:、麦的产量比较稳定.

答案：甲

□□a分层随机抽样的方差

［例2］(链接教科书第212页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数

为60kg,力差为200,乙队体重的平均数为70kg,力差为300,又已知甲、乙两队的队员

人数之比为1：4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

—11

［解］由题意可知Xa=60,甲队队员在所有队员中所占权重为训甲=刀=不

1I*T,。

—44

x乙=70,乙队队员在所有队员中所占权重为v乙=1=不

1IqJ

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

4

———I4

x=w甲x中+w乙xc=^X604-^X70=68(kg),

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

22

S=w甲[s5+(X甲-X)2]+〃，乙斤乙+(X乙-X)]

14

=5[200+(60—68)2]+§[300+(70—68月=296.

计算分层随机抽样的方差？的步骤

(1)确定X1，X2»5T.52；

(2)确定；；

⑶应用公式$2=箕彳+(X1—X归+与艮+(X2--V)2J,计算S2.

[跟踪训练]

在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10

的样本，并算得样本的平均数为5,方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得

样本的平均数为6,方差为16.已知甲、乙两同学抽取的洋本合在一起组成一个容量为18的

样本，求合在一起后的样本平均数与方差.(精确到0.1J

解：把甲同学抽取的样本的平均数记为乂方差记为屋：把乙同学抽取的样本的平均数

记为)，，方差记为，：把合在一起后的样本的平均数记为外方差记为P

—10X5+8X6

则a=—10+8-七54

,10X[£+(x-a)2]+8X医+(y-a月

"=10+8

10义[9+(5—5.4尸]+8X[16+(6-5.4)2]

=

F2.4.

即样本的千均数为5.4,方差为12.4.

随堂检测

1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若8样本数据恰

好是4样本数据每个都减5后所得数据，则A,3两样本的下列数字特征对应相同的是()

A.平均数B.标准差

C.众数D.中位数

5

解析：选B由8样本数据恰好是4样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、

众数、中位数分别是原来结果减去5,即与A样本不相同，标准差不变，故选B.

2.若样本数据2.叫一1,2x2—1,…，2x10—1的标准差为16,则数据汨，也，…，x】o

的标准差为.

解析：设数据.如，X2,为0的标准差为S,•样本数据2X]—1,2x2—1,,,,,2x\0-1

的标准差为16,.\4?=162,解得$=8.

答案：8

3.为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，

他们的平均分为91分，方差为3,从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，

方差为5,则合在一起后的样本均值为，样本方差为.