第4课时　含2或3倍的线段关系问题

第4课时含2或3倍的线段关系问题专题十三几何的计算与证明及探究问题

（2）条件中没有45°角的处理策略找条件中的直角，作腰相等构造等腰直角三角形，从而利用等腰直角三

角形的三边关系进行线段的转化.

（2）条件中没有30°或60°角的处理策略找条件中的直角，利用截长补短来构造含30°或60°角的直角三角形，

从而利用含30°或60°角的直角三角形的三边关系进行线段的转化.

[答案]（2）证明：如图2，延长EM至点F，使得MF＝ME，连接

AF，DF，CF.

∵AM⊥EF，EM＝FM，∴AE＝AF.

易知∠AEM＝45°，∴△EAF为等腰直角三角形，∠EAF＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC.

又∵AB＝AC，∴△EAB≌△FAC（SAS），∴FC＝EB，∠AFC＝∠AEB＝45°＋∠BEM.

∵BM＝DM，∠BME＝∠DMF，EM＝FM，∴△EMB≌△FMD（SAS），∴FD＝EB＝FC，∠MFD＝∠BEM，

（2024·重庆B卷节选）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝

BC，过点B作BD∥AC.

（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC

于点E.

若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；[答案]证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC，∴∠CBD＝180°－∠ACB＝90°.∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°.∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAE＝∠BCD.

又∵AC＝CB，∠ACE＝∠CBD＝90°，∴△ACE≌△CBD（ASA），∴CE＝BD.

∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD，∴AC＝2BD.

∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC＋∠FCB

＝2∠FBC，∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°.∵FM⊥BG，∴∠HFM＋∠HFG＝90°，∴∠HFM＝∠CFN.

∵CN平分∠ACB，且∠ACB＝90°，∴∠BCN＝∠FCB＋∠FCN＝45°.又∵∠ABC＝∠FBC＋∠FBH＝∠FCB＋∠FHB＝45°，∴∠FHB＝∠FCN，∴△HFM≌△CFN（ASA），∴HM＝CN.

（2025·南开）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为线段

BC上一动点，以AD为边向左作等边△ADE.

（2）如图2，若∠ACB＝60°，线段DE交线段AB于点F，点G在线

段AF上，且满足∠DEG＝∠BAE，连接BE.

若BE⊥AE，用等式表示

线段BF和AG之间的数量关系，并证明.

如图2，在AB上取一点H，使EG＝HG，连接EH，HD，延长EH交

BD于点N，∴△EGH是等边三角形，∴∠HEG＝∠EGH＝∠EHG＝60°，EH＝EG，∴∠AED＝∠HEG＝60°，∴∠AEG＝∠DEH，∴△AEG≌△DEH（SAS），∴AG＝DH，∠AGE＝∠EHD＝180°－∠EGH＝120°，∴∠GHD＝∠EHD－∠EHG＝60°.∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠HDB＝∠GHD－∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠HDB＝30°，∴BH＝DH，∠BHD＝120°，

∵BH＝DH，∠BHE＝180°－∠EHG＝120°＝∠DHE，EH＝

EH，∴△BEH≌△DEH（SAS），∴BE＝DE＝AE.

又∵BE⊥AE，∴∠ABE＝45°，∠BEF＝30°，

∴∠BDF＝∠BFD＝75°，∴BF＝BD，

在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上

一点，点F是直线BC上一点，连接BE，AF，直线AF交直线BE于点

G.

（1）如图1，点F在线段BC的延长线上，若AB＝BG，BG⊥AC，求

证：∠F＝45°；

图2[答案]证明：（2）如答案图，连接GC，在BF上截取

点M，使得MF＝GF，连接GM.

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.

又∵∠BDH＝∠CDG，DH＝DG，∴△BDH≌△CDG（SAS），∴BH＝CG.

∵∠AEB＝∠AFB＝60°，∠BGA＝∠GBF＋∠BFG，∠BGA＝

∠GAE＋∠BEA，∴∠GBF＝∠GAE.

∵AB＝AC，（答案图）∴∠BAG＝180°－∠ABF－∠AFB＝120°－∠ABF，∠BGA＝∠FGE＝360°－∠GFC－∠GEC－∠ACB＝120°－

∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG，∴AC＝BG.

∵GF＝MF，∠AFB＝60°，∴△GFM为等边三角形，∴GM＝GF，∠FGM＝∠GMF＝60°，∴∠BMG＝∠AFC＝120°.∴△BMG≌△AFC（AAS），∴GF＝FC＝MF＝GM，BM＝AF