第15章 轴对称 培优测试题2026-2027学年人教版数学八年级上册（含答案）

第15章轴对称培优测试题（时间：100分钟总分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1．对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（

）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）4．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为31，则的长为（

）A．9 B．12 C．19 D．295．如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（

）A．B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形C．如果直线与有交点，那么交点在直线上D．如果，那么一定存在6．如图，一艘轮船由地出发向南偏西的方向行驶到达B地，再由地向北偏西的方向行驶到达地，则，两地相距（

）A． B． C． D．7．如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，．若，则的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3（6题图）（7题图）（8题图）（9题图）8．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．99．如图，是等边三角形，是上一点，于点E，F为上一点且，连接垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中正确的有（

）①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④10．如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（

）A．16 B．32 C．64 D．128二、填空题（共15分）11．已知点和点关于轴对称，则___________．12．已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形．（12题图）（13题图）（14题图）13．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个．14．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为______．15．在钝角中，，过点作一条直线，将分成两个新的三角形．若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则的度数为________．三、解答题（共75分）16．（本题9分）如图，点在上，，．求证：．17．（本题9分）如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数．18．（本题9分）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称．(1)用直尺作出对称轴；(2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”）(3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法）19．（本题9分）如图，在四边形中，连接，与关于直线对称，与交于点M，与关于直线对称，已知，，求的度数．20．（本题9分）已知：在中，，，的垂直平分线交于D，交于E．(1)求证：是直角三角形；(2)若的面积是15，求的面积．21．（本题9分）如图，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E、F，已知．(1)求的周长；(2)连接、，若，则______（用含a的代数式表示）；(3)当，判定的形状，并说明理由．22．（本题10分）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．(1)求的大小；(2)求证：是等边三角形．23．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且实数a，b满足，点B在x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且为等边三角形．(1)如图1，直接写出A、B两点的坐标：A，B；(2)如图2，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点D，求证：；(3)如图1，若Q为y轴上一动点，求周长的最小值．参考答案题号12345678910答案CDDCDAACBD1．C【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：C项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形．2．D【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果．【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴，故选．【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键．3．D【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一是解题的关键．过点A作轴于点E，交于点D，先求出点D的坐标，根据三线合一，得到，进而求出点C坐标即可．【详解】解：如图，过点A作轴于点E，交于点D，∵轴，∴，∵，，∴点D的坐标为，∴，∵，∴，∴点C的坐标为．故选：D4．C【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵的周长为31，∴，∵，∴，∴，故选：C．5．D【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：、∵直线为对称轴，点与点是对称点，∴，该选项正确，不合题意；、∵点在对称轴上，点与点是对称点，∴，∴是等腰三角形，该选项正确，不合题意；、∵点与点，点与点关于直线对称，∴如果直线与有交点，那么交点在直线上，该选项正确，不合题意；、∵点与点关于直线对称，点在对称轴上，当点在同一条直线上时，，即；当点不在同一条直线上时，，该选项错误，符合题意；故选：．6．A【分析】本题考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键；根据题意得到，，从而证得是等边三角形，即可求解．【详解】解：∵一艘轮船由地出发向南偏西的方向行驶到达B地，再由地向北偏西的方向行驶到达地，∴，，∴是等边三角形，∴，故选：A．7．A【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：如图，过点作于点，∴，∴，∴，∴，∵，∴．8．C【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可．【详解】解：连接，直线为线段的垂直平分线，，，当B，M，D共线时等号成立，D为的中点，，，，面积为20，，，的最小值为8．9．B【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误．【详解】解：∵垂直平分，∴，即是等腰三角形，故①正确；∵是等边三角形，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴，∴是等边三角形，故②正确；∵垂直平分，，∴，∴，故③正确；∵，∴，故④错误．综上可知正确的结论为①②③．故选B．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键．10．D【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案．【详解】解：是等边三角形，，，，，，又，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，，以此类推：的边长为，的边长为：．故选：D．11．【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可.【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，∵点和点关于轴对称，∴，，∴.12．3【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，，∴为等腰三角形，∵，∴，，∴，∴，，∴，，∴、为等腰三角形，综上分析可知：等腰三角形共3个．故答案为：3．13．5【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答．【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下：即可以画5个．故答案为：5．14．【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边．根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即，根据等角对等边得到，根据的周长为21求出，即可求出的周长．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵的周长为21，∴，∴，即的周长为．故答案为：．15．或或【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理．过点A作直线交于点D，分两种情况讨论：一是为直角三角形且为等腰三角形；二是为等腰三角形且为直角三角形，每种情况又分子情况，结合及三角形内角和即可求解．【详解】解：设过点作的直线交于点D．情况1：为直角三角形，为等腰三角形。子情况：．在中，，，∴，则中，，∴；子情况：．∵，∴，则中，，∴；情况2：为等腰三角形，为直角三角形。子情况：．∵，∴，则中，，∴，则与矛盾，∴此种情况不存在；子情况：．在等腰中，若，即，则，∴；在等腰中，若，即，∴，∵，∴与三角形内角和为矛盾，∴此种情况不存在；在等腰中，若，即，则，∵，∴与三角形内角和为矛盾，∴此种情况不存在；综上所述，可能为或或．故答案为：或或．16．证明：∵，∴，∵，∴，∴．【分析】根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出．【详解】证明：略17．【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：，，，，，．18．(1)直线m即为所求：(2)正确；(3)如图所示：点O即为所求．【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，周长最短问题，线段垂直平分线的性质等，理解题意，熟练掌握是解题关键．（1）连接，利用网格即可确定m；（2）根据轴对称图形的性质及两点之间线段最短即可判断；（3）根据题意作线段AC的垂直平分线交m于点O，即为所求．【详解】（1）略（2）如图所示，淇淇的作法正确；（3）略19．【分析】此题考查了轴对称的性质，设，则，由对称的性质得到，，表示出，然后得到，求出，进而求解即可．【详解】解：设，则，∵与关于直线对称，与关于直线对称，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴．20．(1)证明：，，，是的垂直平分线，，，，，是直角三角形．(2)【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的证明，所对的直角边是斜边的一半等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质，可得，再根据垂直平分线的性质，可证，从而，进而可证，即证；（2）根据“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”，可得，从而，进而，，代入计算即可．【详解】（1）略（2）解：在中，，．，，即，，又，．21．(1)(2)(3)是等腰直角三角形，理由如下：，，，分别是点关于、的对称点，，，，是等腰直角三角形．【分析】本题考查的是轴对称的性质、等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键．（1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答；（3）根据等腰三角形的判定定理证明．【详解】（1）解：，分别是点关于、的对称点，，，的周长；（2）解：如图，连接，，分别是点关于、的对称点，，，，故答案为：；（3）略22．(1)(2)证明：由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等边三角形．【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．【详解】（1）