2026-2027学年广东省广州市荔湾区高三（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省广州市荔湾区高三（上）调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={y|y=2x−1,x∈A}，则A∩B=(

)A.{1} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,3,4}2.若复数z满足z(1−i)=2+2i，则|z|=(

)A.1 B.2 C.2 D.3.设a=0.20.3，b=20.3，c=log20.3，则a，A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b4.若数列{xn}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为α的等差数列，则称数列{xn}为“α−等差数列”.已知{an}为“3−A.22 B.64 C.85 D.1095.已知函数f(x)为定义在R的奇函数，且满足f(x)+f(x−2)=0，f(1)=1，则f(2026)+f(2027)=(

)A.−1 B.−2027 C.1 D.20276.已知ω>0，函数f(x)=sin(2ωx+π6)在(−πA.(0,12] B.[12,1]7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1A.5 B.2 C.3 8.现将5个红球和3个黑球放入编号为1，2，3，…，8的盒子中，每个盒子放入1个球.从1号盒子逐个打开，直到开到3个红球停止，则所打开盒子数X的数学期望E(X)为(

)A.72 B.4 C.92 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O：x2+y2=4，C：(x−6)2+y2=32，两圆相交于A，B两点，A.|AB|=423 B.直线OA与圆C相切

C.直线BC与圆O相切10.已知A，B是概率均不为0的随机事件，P(A)=16，P(B)=m，P(B|A−A.P(A−B)=12 B.当m=34时，P(AB)=18

C.当A，11.在正四面体A−BCD中，点E在棱AB上，满足AE=2EB.点F为棱AC上一动点，下列命题能成立的是(

)A.DE⊥EF B.cos∠DEF=77

C.∠EDF=π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a+2b|=2313.已知函数f(x)=2−x，则该函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程是

．14.设数列{an}满足a1=π6，且sin四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市监测站点于某天起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如表：空气质量指数(μg/[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数1620m20

根据所给统计表和频率分布直方图中的信息，完成以下解答．

(1)求m的值，完成频率分布直方图，并求该组数据的上四分位数；

(2)以样本中空气质量等级的频率作为该市空气质量等级的概率，现从统计日期后随机抽取3天，设空气质量为优或良等级的天数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足433S=(b+c)2−a2．

(1)求A的大小；

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=A1B=A1C=2，BA⊥BC．

(1)证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；

(2)若BA1⊥AC18.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,322)，且左焦点为F1(−2,0)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)斜率为2的直线与椭圆E交于B，C两点，点P坐标为(4,0)，直线PB与椭圆的另一个交点为点M，直线PC与椭圆E的另一个交点为点N．

(i)已知点M坐标为(x1,19.(本小题17分)

已知f(x)=(x+1)ln(x+1)．

(1)证明：对∀x≥0，f(x)≤2x2+4x；

(2)若对∀x∈(0,π)，a∈R，g(x)=f(x)+asinx>0恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：对∀n∈1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】x+2y−3=0

14.【答案】445

15.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.008×50=0.4．

由统计表可得第一组的频数为16，所以样本总数16n=0.4，解得n=40，

又16+20+m+2+0=40，解得m=2，

所以第二组的频率为2040=12，第三组的频率为240=120，第四组的频率为240=120，

所以频率分布直方图如图所示：

因为前两组的频率之和为0.4+0.5=0.9>0.75，

设上四分位数为x，0.4+x−5050×0.5=0.75，解得x=85，

所以该组数据的上四分位数为85．

(2)样本中空气质量为优或良的天数为16+20=36，

所以空气质量为优或良的频率为3640=0.9

以频率作为概率，则从统计日期后随机抽取1天，空气质量为优或良的概率为0.9．

随机抽取3天，ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,0.9)．ξ0123P0.0010.0270.2430.729则E(ξ)=3×0.9=2.7．

16.【答案】解：(1)因为，△ABC的面积S满足433S=(b+c)2−a2，

即433S=b2+c2+2bc−a2，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

所以433S=b2+c2+2bc−(b2+c2−2bccosA)=2bc(1+cosA)，

由三角形面积公式S=12bcsinA，

所以有433×12bcsinA=2bc(1+cosA)，

即33sinA=1+cosA，即33sinA−cosA=1，

即233(12sinA−32cosA)=1，

即sin(A−π3)=17.【答案】解：(1)证明：设M为AC的中点，过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H，

因为A1H⊥平面ABC，所以A1H⊥HA，A1H⊥HB，A1H⊥HC，

由勾股定理得HA2=A1A2−A1H2，HB2=A1B2−A1H2，HC2=A1C2−A1H2，

又A1A=A1B=A1C，故HA=HB=HC，即H为△ABC的外心，

又BA⊥BC，故∠ABC=90°，M即△ABC的外心，从而H与M重合，

A1M⊥平面ABC，又A1M⊂平面ACC1A1，

所以平面ABC⊥平面ACC1A1；

(2)(i)由A1M⊥平面ABC，知A1M⊥AC，又BA1⊥AC，A1M∩BA1=A1，

故AC⊥平面A1BM，所以BM⊥AC，又M为AC的中点，故AB=BC，

设|MA|=|MB|=|MC|=r，|A1M|=h，

由|A1B|=2，得r2+h2=4，直线A1B在平面ABC内的射影为MB，

由所成角为60°得sin60°=h|A1B|=h2，

所以h=3，代入得r=1，

以M为原点，射线MA为x轴正方向，MB为y轴正方向，18.【答案】解：(1)由题意得2a2+92b2=1，c=2，故a2−b2=2，

解得a2=8，b2=6，

所以椭圆E的方程为x28+y26=1；

(2)(i)直线BP的斜率为y1x1−4，故直线BP的方程为：y=y1x1−4(x−4)，

联立y=y1x1−4(x−4)与x28+y26=1，得3(x1−4)2x2+4y12(x2−8x+16)=24(x1−4)2，

其中x128+y126=1，故y12=6−3x124，将其代入上式可得：

3(x1−4)2x2+(24−3x12)(x2−8x+16)=24(x1−4)2，

化简得(−x1+3)x2+(x12−8)x−3x12+8x1=0．

设B(xB,yB)，由韦达定理可得x1xB=−3x12+8x19.【答案】(1)证明：先证ln(x+1)≤x(x≥0)，令p(x)=ln(x+1)−x，x≥0，

则p′(x)=1x+1−1=−xx+1≤0，所以p(x)在[0,+∞)上单调递减，

故p(x)≤p(0)=0，即ln(x+1)≤x．

再令h(x)=2x2+4x−(x+1)ln(x+1)，x≥0，则h(0)=0，

h′(x)=4x+4−[ln(x+1)+1]=4x+3−ln(x+1)≥4x+3−x=3x+3>0，

所以h(x)在[0,+∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)=0，

即(x+1)ln(x+1)≤2x2+4x，原不等式成立．

(2)由g(x)=(x+1)ln(x+1)+asinx，x∈(0,π)．

g′(x)=1+ln(x+1)+acosx，g(0)=0，g′(0)=a+1．

当a<−1时，g′(0)=a+1<0.因为g′(x)=1+ln(x+1)+acosx在[0,π)上连续，

所以x从0的右侧充分小时仍有g′(x)<0，即存在δ>0，当x∈(0,δ)时g′(x)<0，

于是g(x)在(0,δ)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0，与题设g(x)>0恒成立矛盾．

故a<−1不合题意，必须有a≥−1．

当a≥−1时，由于x∈(0,π)，sinx>0，

所以g(x)=(x+1)ln(x+1)+asinx≥(x+1)