2026-2027学年江苏省南京市七校联合体高三（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南京市七校联合体高三（上）调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为(

)A.88 B.89 C.90 D.912.复数z满足(1+2i)z=2−i，则z的虚部是(

)A.−35i B.−35 3.等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1=b1=1A.1 B.2 C.3 D.14.已知集合A={x|1<x<2}，集合B={x|x>m}，若A∩(∁RB)=⌀，则m的取值范围为A.(−∞,1] B.(−∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)5.已知tanα=3tan(α−π6)，则sinA.−12 B.12 C.−6.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为(

)A.25 B.35 C.3107.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为4，点E，F，G分别是棱BB1，BA.12 B.18 C.24 D.368.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若存在x1，x2∈[A.1 B.2 C.73 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=xa的图象经过点(13A.f(x)的图象经过点(2,12) B.f(x)的图象关于y轴对称

C.f(x)在(0,+∞)上单调递减 D.当x<010.如图，正三角形ABC的边长为2，动直线l过△ABC的重心G，且与线段AB，AC分别交于D，E两点，设AD=h，AE=k，则(

)A.1≤h≤2，且1≤k≤2

B.存在h，k，使1h+1k=3

C.DE⋅cos11.设f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>0，记F(x)=[f(x)]3.若对任意x∈R，F′(x)>3xF(x)恒成立，则A.f′(x)>xf(x) B.g(x)=f(x)e12x2在R上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若ab2=2，则log213.一圆台的上、下底面半径分别是1cm和2cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为2π3，则圆台的高是

cm．14.在△ABC中，若tanB=cosA1+sinA，则tanA+5tanB的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=30．

(1)求数列{an}的通项公式an；

16.(本小题15分)

国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答，选手需要回答两类问题，其中第一类题答对得5分，不对得0分，第二类题答对得10分，不对得−5分.已知某选手回答第一类题正确的概率是34，回答第二类题正确的概率是12，且两类题回答正确与否相互之间没有影响，若总分不低于5分就可获奖．

(1)求该选手至少答对一类问题的概率；

(2)求该选手总得分X的分布列；

(3)求该选手成功获奖的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB．

(1)证明：AB⊥AP；

(2)AD=2，CD=1，当平面PAC与平面PAD的夹角的余弦值为63时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题17分)

函数f(x)=asinx+bcosx=a2+b2(aa2+b2sinx+ba2+b2cosx)，a2+b2≠0.因为aa2+b2与ba2+b2的平方和是1，存在角θ∈[0,2π)，使得cosθ=aa2+b2，sinθ=ba2+b19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−x−1，g(x)=kx2．

(1)记h(x)=f(2x)+f(x)，求h(x)的最小值；

(2)记m(x)=f(−x)−g(x)，若m(x)在区间(0,+∞)上有唯一极值点x1和唯一零点x2．

①求k的取值范围；

②比较1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】214.【答案】3

15.【答案】解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=30，

设公差为d，可得5×2+10d=30，解得d=2，

所以an=2+2(n−1)=2n．

(2)由(1)可知an=2n，

则bn=22n16.【答案】解：(1)记“回答第一类题正确”为事件A，“回答第二类题正确”为事件B，

已知P(A)=34,P(B)=12，且两类题回答正确与否相互独立，

该选手两类题均未答对的概率为P(A−B−)=(1−34)×(1−12)=14×12=18，

则至少答对一类问题的概率为1−P(A−B−)=1−1X−5010

15P1313(3)由题意知满足中奖条件的得分为10分和15分，

其概率为P(X≥5)=P(X=10)+P(X=15)=1817.【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥AP，垂足为E，

∵平面PAD⊥平面PAB，且平面PAD∩平面PAB=AP，DE⊂平面PAD，

∴DE⊥平面PAB，

又∵AB⊂平面PAB，∴DE⊥AB，

∵PD⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，

又∵DE∩PD=D，DE，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，

又PA⊂平面PAD，∴AB⊥AP．

(2)由(1)可知，AB⊥AD，故四边形ABCD为矩形，

∵PD⊥平面ABCD，设PD=t，

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示，

则A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,t)，

∴AP=(−2,0,t),AC=(−2,1,0)，

由(1)可知，DC⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量是n1=(0,1,0)，

设平面PAC的一个法向量为n2=(x,y,z)，

则AP⋅n2=0AC⋅n2=0，

∴−2x+tz=0−2x+y=0，令x=t，则y=2t，z=2，

∴n2=(t,2t,2)，

∴cos〈n1,n2〉=2tt2+4t18.【答案】(1)解：①由题意f(x)=3sinx−4cosx=32+(−4)2(35sinx−45cosx)，

有cosθ=35,sinθ=−45，

所以sin(θ+π6)=sinθcosπ6+cosθsinπ6=−45×32+35×12=3−4310；

②f(x)=sinx+3cosx=12+(3)2(12sinx+32cosx)=2sin(x+π3)，所以θ=π3，

由题意B=π3，a=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得c=asinCsinA=2sinCsinA，

所以△ABC面积S=1219.【答案】解：(1)因为f(x)=ex−x−1，所以f(2x)=e2x−2x−1，

所以h(x)=f(2x)+f(x)=e2x−2x−1+ex−x−1=e2x+ex−3x−2，x∈R，

求导得h′(x)=2e2x+ex−3，令h′(x)=0，设t=ex(t>0)，则方程化为2t2+t−3=0，解得正根t=1，即ex=1，得x=0，

当x>0时，ex>1，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x<0时，ex<1，h′(x)<0，h(x)单调递减；

所以x=0是h(x)的极小值点，也是最小值点，h(0)=e0+e0−0−2=0，

所以h(x)的最小值为0；

(2)①因为f(x)=ex−x−1，g(x)=kx2，

所以m(x)=f(−x)−g(x)=e−x+x−1−kx2，x∈(0,+∞)，

求导得m′(x)=−e−x+1−2kx，

令p(x)=m′(x)=−e−x+1−2kx，则p′(x)=e−x−2k，

当k≥12时，x>0时，e−x∈(0,1)，所以p′(x)=e−x−2k<1−2k≤0，p(x)在(0,+∞)单调递减，

又因为p(0)=−1+1=0，所以当x>0时，p(x)<p(0)=0，即m′(x)<0，m(x)在(0,+∞)单调递减，无极值点，不符合题意；

当k≤0时，p′(x)=e−x−2k>0，p(x)在(0,+∞)单调递增，

又因为p(0)=0，所以当x>0时，p(x)>p(0)=0，即m′(x)>0，m(x)在(0,+∞)单调递增，无极值点，不符合题意；

当0<k<12时，令p′(x)=0，得e−x=2k，即x=ln12k>0，

当x∈(0,ln12k)时，p′(x)>0，p(x)单调递增；当x∈(ln12k,+∞)时，p′(x)<0，p(x)单调递减；

所以p(x)在x=ln12k处取得最大值，且p(0)=0，所以在(0,ln12k)上p(x)>0，

又x→+∞时，p(x)=−e−x+1−2kx→−∞，由零点存在定理，p(x)在(ln12k,+∞)上有唯一零点x1，即m′(x)在(0,+∞)上有唯一