2026-2027学年上海市民办西南高级中学高三（上）摸底调查数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市民办西南高级中学高三（上）摸底调查数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是(

)A.f(x)=x3 B.f(x)=−x2 C.2.已知点P(cosα,sinα)到点A(4m,3m−10)的距离为d，则d的最小值是(

)A.4 B.5 C.6 D.73.已知点A在线段BC上(不含端点)，O是直线BC外一点，且OA=2xOB+yOC，则1A.4 B.85 C.35 4.已知以下三个陈述句：α1：对任意x∈R，都有f(−x)=|f(x)|；α2：对任意x∈R，有f(−x)≥−f(x)；β：函数y=f(x)，x∈R为偶函数.用这三个陈述句组成两个命题：命题p：“若α1，则β”；命题q：“若α2，则β”.关于命题p、qA.p、q都是真命题 B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题 D.p、q都是假命题二、填空题：本题共11小题，共49分。5.设集合A={0,1,2,3,4}，B={x|0<x<3}，则A∩B=

．6.不等式1x≥1的解集是

．7.若复数z满足3z+z=1+i，其中i是虚数单位，则z=

．8.如果tanα=3，那么sinα⋅cosα=

．9.在△ABC中，A=π3，BC=2，则△ABC外接圆的面积为

．10.已知曲线y=lnx−1x2在x=1处的切线与直线kx−y+3=0平行，则实数k的值为

11.已知a=(1,3)，向量b在向量a上的投影向量为14a，则12.已知函数f(x)=sin(2x+π4)，若函数y=f(x−φ)的图象关于y轴对称，则φ的最小正值是13.已知f(x)=lgx−1，g(x)=lgx−3，若|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|，则满足条件的x的取值范围是

．14.若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f(x)15.已知函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)，若f(x)在(π2,π)上单调，则ω三、解答题：本题共6小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题5分)

已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=4，a⋅b=4，若平面向量c17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

(1)求角A的大小；

(2)若a=23，且△ABC的面积为23，求△ABC的周长；

(3)18.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=AB=2，∠BAA1=π3，且CA1=CB，19.(本小题15分)

已知函数f(x)=log3(9x+1)+ax．

(1)若y=f(x)是定义在R上的偶函数，求实数a的值；

(2)若a=−4，当20.(本小题15分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中a2=b2+1.四个顶点分别为A1(−a,0)、A2(a,0)、B1(0,−b)、B2(0,b)，左、右焦点分别为F1、F2．

(1)若离心率e=12，求椭圆C的标准方程；

(2)若直线F1B1和圆x2+y2=r21.(本小题18分)

若存在实数常数k，m，对任意x∈D，不等式f(x)≥kx+m≥g(x)恒成立，则称直线y=kx+m是函数y=f(x)和函数y=g(x)在D上的分界线．

(1)请写出函数y=12x2和函数y=lnx在(0,+∞)上的一条斜率为1的分界线；(不必证明)

(2)求证：函数y=x+1x和函数y=2−1x在(0,+∞)上过坐标原点的分界线有且只有一条；

(3)试探究函数y=ex(x+1)(e为自然对数的底数1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】{1,2}

6.【答案】{x|0<x≤1}

7.【答案】148.【答案】3109.【答案】4π310.【答案】3

11.【答案】3

12.【答案】3π813.【答案】(0,10]∪[1000,+∞)

14.【答案】16

15.【答案】2316.【答案】1717.【答案】π3

2318.【答案】证明过程请见解答；

42719.【答案】解：(1)因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，因此f(−x)=f(x)．

根据f(x)=log3(9x+1)+ax，得f(−x)=log3(9−x+1)−ax．

因此log3(9−x+1)−ax=log3(9x+1)+ax，即log39−x+19x+1=2ax．

由于log39−x+19x+1=log31+9x9x9x+1=log319x=log33−2x=−2x，因此−2x=2ax．

即∀x∈R，−2x=2ax恒成立，因此a=−1．

(2)当a=−4时，f(x)=log3(9x+1)−4x．

根据f(x)=−3x+m，得log3(9x+1)−x=m．

令g(x)=log3(9x+1)−x，那么f(x)=−3x+m解的个数即为y=g(x)的图象与y=m的交点的个数．

因为g(x)=log3(9x+1)−x=log3(9x+1)−log33x=log39x+13x=log3(