应用统计学 教案 第7章 时间序列分析

第7章时间序列分析

教学内容7.1时间序列分析概述

7.2时间序列的分析指标

7.3时间序列的变动趋势分析

7.4Excel在时间序列分析中的应用

教学要求1.理解相关关系和函数关系的异同；

2.掌握相关系数的计算和分析；

3.掌握线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计；

4.掌握线性回归的拟合优度计算和分析；

5.掌握线性回归议程的显著性检脸；

6.利用线性回归议程进行估计和预测。

教学重点时间序列的种类；时间序列分析的水平指标和速度指标；长期趋势

及季节变动趋势测定的方法

教学难点时间序列分析的水平指标和速度指标的计算及这两大类指标之间的

联系和区别

教学方法课堂讲授、多媒体教学、课堂讨论、案例分析、上机操作。

课时数8课时（课堂讲授5课时+课堂练习1课时+上机操作2课时）

导入案例城市的人口发展数据预测。

7.1时间序列分析概述

课程思政目标：

7.1.1时间序列的概念和作用学生通过本章节的学

习，能够养成实事求是

1.时间序列的概念

的专业习惯、严谨的科

时间序列（timeseries）是同一现象在不同时间的观察数据按时间先后顺序排列起来所得到的学思维素质，激发其不

数列，也称为动态数列，如某股票每日的价格、某超市每天的营业额、某旅游景点每季度接待的

畏艰难、尽心尽力的敬

游客人数等数据组成的序列。表7.1所示是我国2015-2020年国内生产总值等信息的时间序列

业精神；通过丰富的经

•^<-0

济、管理时间序列案例

表7.1我国2015-2020年国内生产总值等信息繁荣时间序列（单位：亿元）分析，养成良好的学术

产业类别道德与学术规范，了解

人均国内生产

年份国民总收入国内生产总值

总值/元国家发展取得的历史性

第一产业第二产业第三产业

成就，厚植爱国主义情

2015686255.7688858.257774.6281338.9349744.750237怀、自觉养成“爱国情

20167434083746395.160139.2295427.8390828.154139操、强国志向、报国行

动”的发展定位。

2017831381.2832035.962099.5331580.5438355.960014

2018914327.1919281.164745.2364835.2489700.866006

2019988528.9990865.170466.73861653534233.170892

20201009151.01015986.C77754.0384255.0553977.072447

资料来源：中国统计年鉴2020.

任何一个时间序列，都具备两个基本要素：一是现象所属的时间；二是反映现象在不同时间

的制示数值。

2.时间序列的作用问题与应用：某股票每

在社会经济统计中，编制和分析时间序列具有重要的作用，主要表现如下。日的价格、某超市每天

(1)可为分析社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律提供基本统计数据。的营销额、某地区每年

(2)通过计算分析指标，可研究社会经济现象的变化方向、速度及结果。

的GDP数值按照时间

(3)对若干相互关联的时间序列进行研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。

的先后顺利迸行排列后

(4)可以通过时间序列建立数学模型，用于揭示现象的变化规律并对现象的未来发展做出预

都可形成时间序列。

测。

7.1.2时间序列的类型

时间序列按其所排列指标的表现形式不同，可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均

数时间序列。其中，绝对数时间序列是基本的时间序列，相对数时间序列和平均数时间序列是根

据前者计算而派生的时间序列。

1.绝对数时间序列

(।)时期序列

当绝对数时间序列中每一指标值反映的是某种现象在一段时期内发展过程的结果或总量时，

这种序列称为时期序列。它是通过连续登记数据资料并累计得到的，如能源消费总量的时间序

列、国内生产总值的时间序列等都是时期序列。

(2)时点序列

当绝对数时间序列中每一指标值反映的是某种现象在某一时点达到的水平时，这种序列称为

时点序列。如人口数、土地面积、商品库存等在某些时点的数值组成的序列都称为时点序列。

时期指标和时点指标的区别主要有三点：一是时期指标值是连续统计的,时点指标值是间断统

计的；_是时期指标值可以累计,而时点指标值直接累计没有实际意义；三是时期指标值的大小和

统计期限长短有关，而时点指标值的大小与时间间隔长短没有直接关系。

2.相对数时间序列

相对数时间序列是指相对指标值按时间先后顺序排列而形成的时间序列。它主要反映的是客

观现象数量对比关系的发展过程。在相对数时间序列中，由于各个指标值的对比基数不同，所以

相又掇时间序列的各期指标值不能直接相加。

3.平均数时间序列

一系列同类的平均指标值依时间顺序排列形成的数列就是平均数时间序列，主要反映的是客

观现象一般水平的发展变化过程。平均数时间序列按指标不同也可分为静态平均数时间序列和动

态平均数时间序列，这两种平均数时间序列因其指标的性质不同，在时间序列的动态分析中所用

的方法也不相同，但不论是哪种序列，其指标值都是不能直接加总的。

7.1.3时间序列的编制原则

编制时间序列的目的就是要通过对序列中的各个指标值进行分析，研究社会经济现象的发展

变化及其规律。因此保证时间序列中各个不同时间的统计指标具有可比性，是编制时间序列的基

本原则。参考指标的构成要素，可从以下几个方面来说明。

(1)时间序列中各指标所属时间长短应前后一致。对于时期序列，由于指标值的大小会因时

间的长短而发生变化，因此要求时期序列中各指标所包含的时期前后必须一致，这有利于对比分

析。

(2)时间序列中各指标所反映现象经济内容应一致。指标的经济内容是由其理论内涵所决定

的，随着社会经济条件的变化，同一名称的指标，其经济内容也会发生变化。如果不注意这些问

题，有可能导致错误结论的产生。

(3)时间序列中各指标所反映的总体范围应一致。无论是时期序列逐是时点序列，指标值的

大小都与现象总体范围有关系。总体范围发生了变化，指标值的计算范围也会不同，当然也就不

能直接对比。

(4)时间序列中各指标值的计算方法、计量单位和计算价格要一致。在指标的总体范围、经

济内容相同的情况下，只有对指标值的计算方法一致时，计算结果才有可比性。

7.2时间序列的分析指标

7.2.1时间序列分析的水平指标

1.发展水平

发展水平是时间序列中与其所属时间相对应的反映某种现象发展变化所达到的规模、程度和

水平的指标值。通常指总量指标值，也可指相对指标值和平均指标值。

通常时间序列用每4"，…”表示，下标表示指标值所属的时间。

2.平均发展水平

平均发展水平就是将一个时间序列各期发展水平加以平均而得到的平均数，又称为动态平

均数或序时平均数，它能从动态上说明现象在某一时期内发展的一般水平。序时平均数与一般

平均数有共同之处，即它们都表示现象的一般水平。

问题与应用：时间序列

(।)绝对数时间序列的序时平均数的计算

只是描述了客观现象的

①时期序列的序时平均数的计算。其计算公式为

发展过程和结果，但不

/+%+…+4_石"(7.1)

能直接反映出现象的发

u_1_11

nn展变化情况，因此必须

式中，4为各期发展水平(i=L〃)；〃为时期数；d为序时平均数。

对时间序列进行动态分

例7.1根据表7.1所示的数据，计算我国2015—2020年国内生产总值的年平均发展水平。

析，因此，可用水平指

解：由式(7.1)得

,石4688858.2+746395.1+•••+1009151.0标和速度指标进行分

a=——=--------------------------析。通过本节的学习，

n6

=5193421=865570.2（亿元）可使学生学会从多角度

6

解读经济、社会的发展

②时点序列的序时平均数的计算。

数据。

★连续时点序列序时平均数的计算.

如果数据资料是通过逐日登记获得的，即可用此种方法进行计算。其计算公式是

万一.।%।…।（7.2）

nn

当资料不是逐日登记获得的，而只在指标值发生变化时才记录，这时需采用加权算术平均法

计算序时平均数，其公式是

—%（）

式中，4为各期发展水平（/=12…,〃）;〃为时期数；，为各时点水平所持续的间隔长度

（天数）；N为序时平均数。

例7.2某企业6月每日实有职工人数情况如表7.2所示，试计算该企业6月日平均职工人

数。

表72某企业6月职工人数

时点1—7日8-15日16—21日22—30日

职工人数230220240260

解：由式（7.3）得

230x7+220x8+240x6+260x97150

/-I=238(人)

7+8+6+9~30~

Ml

★间断时点序列序时平均数的计算.

当相邻的数据资料间隔相等时，我们使用"首末各折半法"计算序时平均数，计算公式是

a2+a3+an4an

------1------十・・・+---------------十a,十・・・+t十—

__222_2~-2(7.4)

n-\n-l

式中，〃为指标值的项数。

例7.3某企业上半年职工人数资料如表7.3所示，计算该企业上半年的月平均职工人数。

表7.3某企业上半年职工人数资料

时期1月初2月初3月初4月初5月初6月初7月初

职工人数（人）186206190196200210208

解：由式（7.4）可得该企业上半年平均职工人数为

—+206+190+196+200+210+—.、

«=-----------------------------2_=200（z人）

7-1

当相邻的数据资料间隔不等时，其序时平均数的计算以间隔为权数，对各间隔的平均水平进

行加权平均，计算公式为

空"华人•••+号"T

(7.5)

a=——---------------------------------------------

例7.4某企业全年职工人数资料如表7.4所示，求该企业平均月职工人数。

表7.4某企业全年职工人数资料

时间1月初3月初9月初年底

职工人数(人)102105108104

解：由式(7.5)可知，该企业平均月职工人数为

102+105与105+108/108+1()4.

——x2+--------x6+--------x4..、

I=—2-----------2-----------2——=|06(人)

2+6+4

(2)相对数时间序列与平均数时间序列序时平均数的计算

相对数时间序列和平均数时间序列是绝对数时间序列的派生序列，一般不能直接利用序列中

的相对数或平均数计算序时平均数，统计中采用的方法是对分子分母分别计算序时平均数，再将

这两个平均数进行对比求得。其计算公式是

(7.6)

b

式中，«代表分子序列的序时平均数；b代表分母序列的序时平均数；C代表相对数时间序

列或平均数时间序列的序时平均数。

例7.5某地区某年各季度末零售网点数和职工人数资料如表7.5所示，求该地区平均每季度

每网点职工人数。

表7.5某地某年各季度末零售网点数和职工人数资料

时间上年末一季末二季末三季末四季末

网点数250256255304320

职工人数24002408247925202536

解：由式(7.6)可知

-佟+%+…+%+知”〃-1)空5+2408+2479+25203^

干=g=I2_______________乙________2_______________________2=9/人)

"++，..+/；竽+256+255+304+咨

3增长量与平均增长量

(1)增长量

增长量说明客观现象在一定时期内熔加或减少的绝对数量，反映的是现象在一定时期内的增

长水平，一般用报告期水平与基期水平之差表示，即

增长量=报告期水平-基期水平

增长量若为正值，表示现象增加或二升的量；若为负值，则表示现象减少或下降的量。

由于基期的选择不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。

逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，是报告期比前一期增长的绝对量，用公式表示

为

“，一%a=1,2,…(7.7)

累计增长量是报告期水平与某一固定期水平之差，用来反映报告期相对于某一固定期增长的

绝对量，用公式表示为

卬=)(7.8)

逐期增长量的和等于相应的累计增长量，两个相邻期的累计增长量的差等于相应的逐期增长

量。

逐期增长量:4一％,%-4…

累计增长量：q-一如一仆"9)

它们之间的关系为

+(%-a])+•••+(«„-)=%-Un(7.10)

(2)平均增长量

平均增长量是时间序列中各个逐期增长量的平均数，也称为平均增长水平，用以表明现象在

一段时期内平均逐期增长变化的量，其公式表示为

平均增长量-逐期增长量之和-累计增长量(711)

逐期增长量个数时间序列项数-1I)

例7.6我国2014—202()年普通高等学校数如表7.6所示，计算逐期增长量、累计增长量和年

平均增长量。

表76我国2014—20?0年普通高等学校数

1分2014201520162017201820192020

学校数(所)2529256025962631266326882740

墙长逐期-313635322552

(所)累计-3167102134159211

资料来源：中国统计年鉴2020。

解：逐期增长量、累计增长量的计算结果如表7.6所示，由式(7.11)可得

年平均增长量=3匕3吐社25t5g猾。35(所)

6

7.2.2时间序列分析的速度指标

1.发展速度和增长速度

(1)发展速度

发展速度是指报告期发展水平与基期发展水平之比，反映了某种社会经济现象在一定时期内

发展的方向和速度，通常用倍数或百分数表示。其计算公式为

发展速度.田

(712)

根据对比基期的不同，发展速度可分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是报告

期水平与前一期水平之比，用于说明现象逐期发展程度；定基发展速度是报告期水平与某一固定

时期水平之比，用于说明现象在较长一段时期内的发展程度。

环比发展速度：幺,33■，…，&

佝%%j

(7.13)

定基发展速度:生,生,生,一,&

。0%%

环比发展速度和定基发展速度虽然不同，但二者之间存在一定的关系。

①一定时期内，各环比发展速度的连乘积等于相应时期总的定基发展速度，即

XXX••-X一——(7.14)

2相邻的两个定基发展速度的商等于相应时期的环比发展速度，即

(7.15)

实际应用中，经常利用上述关系式对发展速度指标进行推算或换算。

(2)增长速度

增长速度是报告期增长量与基期发展水平之比，也称为增长率，计算结果通常用百分数或倍

数表示。如果其值为正，表示报告期水平比基期增加或提高的程度；如果其值为负，表示报告期

水平比基期减少或降低的程度。用公式可以表示为

报告期增长量一报告期水平一基期水平

增长速度==发展速度T(7.16)

基期水平基期水平

根据基期的选择不同，可将增长速度分为定基增长速度和环比增长速度。

环比增长速度是逐期增长量与其前一期水平之比。环比增长速度就是我们通常所说的环比增

长率，用公式可以表示为

环比增长速度=幺、/工-1=环比发展速度-1(7.17)

'n-l%

定基增长速度是累计增长量与其基期水平之比。定基增长速度就是我们通常所说的定基增长

率，用公式可以表示为

定基增长速度=上&4-1=定基发展速度-1(7.18)

,

需要注意的是，一定时期内，环比增长速度的连乘积不等于定基增长速度。环比增长速度和

定期增长速度之间不能直接推算。

进行动态分析时，既要看速度，又要看水平，有一个很有代表性的指标，即增长1%的绝对

值。其计算公式为

1(7.19)

.％的绝对小素衿—叼T

例7.7江苏省2014-2020年全省研究生招生数如表7.7所示，根据这些资料计算逐期增长

量、累计增长量、发展速度、增长速度及增长1%的绝对值。

表7.72014-2020年江苏富研究生招生数

年份2014201520162017201820192020

研究生招生数48937508415288564266689607353689567

数据来源：江苏统计年鉴2020o

解：根据上述公式，得到表7.8所示的计算结果。

表7.8计算结果

年份2014201520162017201820192020

讦究生招生数

48937508415288564266689607353689567

(人)

逐期—19042044113814694457616031

增长量

累计—1904394815329200232459940630

发展速度环比—103.89104.02121.52107.30106.64121.80

(%)定基—103.89108.07131.32140.92150.27183.03

—

增长速度环比3.894.0221.527.306.6421.80

(%)定期—3.898.0731.3240.9250.2783.03

增长1%的绝对值—489.37508.41528.85642.66689.6735.36

2.平均发展速度和平均增长速度

平均增长速度可说明社会经济现象在一定时期内逐期平均增减变化的程度。平均增长速度可

依据增长速度与发展速度的关系通过平均发展速度求得。

平均增长速度=平均发展速度1（7.2（））

在社会经济现象统计中，平均发展速度的计算，即可采用几何平均法（水平法）

几何平均法

式中，%为平均发展速度；入为各期环比发展速度（…,〃）；〃为环比发展速度的项

数；n为连乘符号。

环比发展速度的连乘积等于定期发展速度即总速度（用宠表示工因此，平均发展速度亦可直

接用定基发展速度（总速度）来计算，即

冗=后=亦""I

在实际运用中，可以根据所掌握的数据选择较为简便的公式来计算。

例7.8根据表7.7所示的数据，计算江苏省2014-2020年研究生招生数的平均发展速度和平

均增长速度。

解：分别采用式（7.21）和式（7.22）计算出平均发展速度为

xG=V1.0389x1.0402x1.2152x1.0730x1.0664x1.2180工110.60%

或先=1吧左310.60%

GV48937

平均增长速度=110.60%-1=10.60%,即2014—2020年江苏省研究生招生数平均每年递增

10.60%。

用几何平均法计算的平均发展速度，名义上它是各期环比发展速度的平均，因而要受各期水

平高低的影响，但由式（7.22）不难看出，它实际上只取决于期初和期末的发展水平。

7.3时间序列的变动趋势分析

7.3.1时间序列的影响因素及分析模型

1.时间序列的影响因素

（1）长期趋势。

（2）季节变动。

(3)循环变动。

(4)不规则变动。

2.时间序列的分析模型

(1)加法模型。

Y=T+S+C+/(7.24)

(2)乘法模型.

r=TxSxCx/(7.25)

问题与应用：长期趋势

73.2长期趋势测定

的测定和分析，是时间

长期趋势的测定和分析，是时间序列分析中最主要的一项任务。序列分析中最主要的一

项任务。根据事物发展

1.时距扩大法

的时间序列，通过最小

时距扩大法是将原时间序列中若干项数据合并，以得到由较长时间的数据形成的新序列的方

二乘法建立预测方程，

法。

应用时距扩大法时，时间序列时间间隔的扩大程度要适当。间隔太短，不能排除偶然因素的对未来发展趋势进行预

影响；间隔过长，又会掩盖现象在不同时期发展变化的差异。总的说来，间隔扩大到何等程度，测。是学生可以掌握的

要根据原时间序列列的起伏程度以及分析的具体任务而定，要以能显示客观现象的发展总趋势为一种基础的预测分析方

准。法。

2.移动平均法

移动平均法是逐项递进的方法，将原时间序列中若干项数据进行平均，通过平均来消除或减

弱时间序列中的不规则变动和其他变动的影响，从而呈现出现象发展变化的长期趋势。若移动平

均的数据项数为〃，就称为〃项移动平均。如表7.11所示，分别选取3项和4项指标值平均，逐

期移动，计算某些时期的长期趋势值。

表7.11移动平均法长期趋势计算

时期指标值三项移动平均数»四项移动平均数»二项移动平均数a

八y———

t2>2+兄+必)/3——

h为(必+)3+乂”3（Y+）'2+）3+.¥4）/4（y23+y34）/2=y3

h然(%+为+)。/3(为+为+乂+短乂（2+九5）/2=5"

>5（>4+兑+”）/3（丹+义+丹+”）/4—

・・・・•・・・・•・・

尤———

应用移动平均法，应注意以下几点。

(1)移动平均法对原时间序列具有修匀或平滑的作用，使得原序时间列的起伏波动被削弱

了，而且移动平均的项数〃越大，移动平均的修匀效果越强。

(2)当移动平均项数为奇数时，只需一次移动平均即可得到各期的趋势值；当平均项数为偶

数时，需要进行两次移动平均。第二次移动平均的项数为2。

(3)当序列包含周期性变动时，移动平均的项数〃应与周期长度一致。如季度数据通常采用

4项移动平均,月度数据通常采用12项移动平均。

(4)在移动平均以后，新序列的项数比原序列的项数少。奇数项移动平均，减少项；偶

数项移动平均，在第一次移动时平均后，减少，项，第二次移动后，减少〃项(无论是奇数项

移动还是偶数项移动平均，〃均为第一次移动平均的项数\

3.最小二乘法

最小二乘法通过拟合时间，为解释变量、拟合所考察指标为被解释变量的回归方程来测定现

象的长期趋势。最小二乘法的最大优点是，它不仅可以测定出时间序列中各期的趋势值，而且可

以根据趋势方程直接进彳强测。

直线趋势的拟合

如果一个时间序列每期按大致相同的数量增加或减少，即逐期增减量大致相同，则时间序列

发展的长期趋势近似直线，这时可对时间序列配合一条趋势直线来反映现象的趋势，其直线趋势

方程是

yc=a+bt(7.26)

参数。和〃的计算公式为

「立OR)

a=y-bT

其中》二之上。

上述方程中的I是序列中的时间指标，为了计算简便起见，可以采用假定的序号，以中间时

期为原点，记作0；原点以前各时期农次记作卜，-2,-3「.,-5),原点以后各时期依次记作

(123,…占)。当序列项数为奇数时，采用这种方式比较方便；当序列为偶数项时，则用中间两

个时期的中点为原点，前后各个时期依次用5,…)和(135.…)表示。由丁原点前后部分的

正值和负值相互抵消，使Z，=o,所以上述公式可以简化为

乙(7.28)

a=^—

n

例7.11用最小二乘法测定某企业销售量的长期趋势，数据如表7.13所示。

表7.13某企业销售量数据单位：万吨

年份序号，销售量)，yt趋势值”

20150076075.82

201611858581.50

2017249018087.18

2018399428292.86

20194169839298.54

2020525102510104.22

—110834625—

73.3季节变动的测定

测定季节变动的意义主要在于掌握现象的季节变动规律，为决策和预测提供重要依据，此外

也是为了剔除原时间序列中季节变动的影响，以便更好地分析其他因素。

测定季节变动的方法很多，按是否考虑长期趋势的影响来划分，可分为两大类：一类是不考

虑长髭趋势的影响，直接根据原时间序列测定季节变动，常用方法是同期平均法；另一类是先剔

除长嵋势，然后根据趋势剔除后的序列来测定季节变动，常用方法是移动平均趋势剔除法。无论

用明附测定方法，都至少要有3个以上季节周期的数据，如月份数据就要不少于3年即36个月

的。女晚季节变动的规律不是很稳定，则所需要的数据还应更多一些为好。

73.4循环变动的测定

循环变动的周期往往不固定，其规律也不太明显，它需要相当长时间的观察数据才能看出一

定的规律，在实际应用中获得数据也比较困难。所以，循环变动的测定和分析，不仅需要运用统

计方法，也需借助定性分析。

测定循环变动的方法主要有直接法和剩余法。

直接法是指将时间序列中的各项数据与其以往同期的数据进行对比，即计算同比发展速度或

年距发展速度，以消除或减弱长期趋势和季节变动的影响，从而由同比发展速度的波动来粗略地

描述循环变动的特征。直接法也可以用于年度数据，此时所计算的发展速度也就是各年的环比发

展速度。

剩余法首先假定影响时间序列变动的各因素是乘积关系，即以乘法模型为基

础，然后剔除时间序列中长期趋势值和季节变动值，即Y/(TS)=Cf,最后在此基础上，通过

移动平均剔除不规则变动值，剩余的为循环因子值

7.4Excel在时间序列分析中的应用

在统计分析中，需要建立一个能描述某一经济现象变化发展的动态模型，运用该模型以反映

经济运行状况，分析经济周期的变动规律，预测未来发展趋势。时间序列分析法正好具备该功

能。

7.4.1时间序列的趋势外推分析

用Excel对时间序列进行分析，包话时间序列的发展水平分析、发展速度分析、时间序列长

期趋势的测定等。本节主要对时间序列的长期趋势测定方法一趋势外推分析法进行介绍。

趋势外推分析法通过以时间t为解释变量、以所考察指标为被解释变量的回归方程来测定现

象的长期趋势。

7.4.2实例应用

1.实例的数据描述

例7.142000年以后，我国经济迅猛发展，表7.20所示为我国200J2020年GDP的数据资

料，试根据下表资料对我国G