专题05 解析几何（解答题10种考法）讲义

专题05解析几何（解答题10种考法）

考法解读

引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,

r引进参数法

再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点

根据动点或动线的特殊情况探索出定点,

/一定点--特殊到一般法

再证明该定点与变量无关.

可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想,

先猜后证

如直线的水平位置、竖直位置.，即k=o或k不存在时

特例法一从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关

「变量一选择适当的量作为变原

（引起变量法+函数一定值的量:表示为变量的函数

I定值一函数化简，消去变最得到定值

定

直待定系数法—设出含参数的直线方程，利用待定系数法求解出系数

线<验证法一通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证

利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定

参数的取值范围；

解利用已知参数的范围，求新参数的范困，解这类问题的核心是建立

题两个参数之间的等量关系

解

思■-利用略含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范困

路

析

几-利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围

最

何

值利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，

求其值域，从而确定参数的取值范围.

n而洋一即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、

方/儿眄江性质等进行求解

法I小独必_最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数

代双版（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解

解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确

｛则存在，若结论不正确则不存在.

当条件和结论不唯一时要分类讨论

当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件

r弦长

-两点间的距离

r长度（比）转化-

-横坐标或纵坐标之比

I共线向量

条

件向量一共线向量

转・三点共线斜率—任意两点的斜率相等

化

思直线—两点确定一直线，再说明另外一点在直线上

路

一角度大小的转化£两直线倾斜角相等，即斜率相等

两直线的倾斜角互补，即斜率互为相反数

I三角形类型转化<惠器两边相笔或两角相等或三线合一

典例剖析

考法一定点—考法六长度比值

考法二定值一考法七存在性

解

析

考法三定直线儿—考法八角度关系转斜率

何

考法四最值一考法九三点共线

考法五轨迹问题考法十三角形类型的转化

考法一定点

【例1-1](2023•山西运城・山西省运城中学校校考一模)已知点?(4,3)为双曲线后：£—£=1(〃>0/>0)

crb~

上一点，E的左焦点写到一条渐近线的距离为VL

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线)，=匕+，与双曲线E交于44两点，若直线以，尸8的斜率和为1,证明：宜线y=心+，

过定点，并求该定点的坐标.

【例1-2】（2023•全国•统考高考真题）已知椭圆C:=+「=1（〃:＞方＞0）的离心率是包，点4（-2,0）在（?上.

cTb"3

⑴求C的方程：

⑵过点（-2,3）的直线交C于P.Q两点，直线AR/1Q与丁轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定

点.

【例1-3】（2023•江西九江•统考一模）已知过点P（2,0）的直线/与抛物线石：V=2px（p＞0）交于A8两点，

过线段A8的中点M作直线MN_Ly轴，垂足为N,"MSN.

⑴求抛物线E的方程：

（2）若C为E上异于点AB的任意一点，且直线八C,8c与直线工=-2交于点。，火，证明：以。R为直径的圆

过定点.

【变式】

1.(2022•全国•统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、歹轴，且过八(0,-2),B6，-1

两点.

⑴求£的方程；

(2)设过点。(1,-2)的直线交E于M,N两点，过〃且平行于x轴的直线与线段交于点T,点〃满足

MT=TH-证明：直线”N过定点.

2.(2023•福建泉州•统考模拟预测)已知椭圆E:'*l(a>b>0)的离心率是弓，上、下顶点分别为A,

3.圆0:/+),2=2与x轴正半轴的交点为P,且=

⑴求£的方程：

(2)直线/与圆。相切且与E相交丁”，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.

3（2023,河南•校联考模拟预测）已知椭圆C:二十二的焦距为2,圆/+丁=4与椭圆。恰有两

a-b-

个公共点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵已知结论：若点（%,为）为椭圆［+£=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为学+岑=1.若椭圆C

的短轴长小于4,过点7（8"）作椭圆C的两条切线，切点分别为A8,求证：直线A8过定点.

考法二定值

【例2】（2023•四川南充•四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆C:7、+F)'1（°＞方＞0）的左、右焦点为

6，K，离心率为3.点p是椭圆c上不同于顶点的任意一点，射线PK分别与椭圆C交于点力、B,

△P6A的周长为8.

⑴求椭圆。的标准方程：

（2）若尸尸=444，PF2=^F2B,求证：4+4为定值.

【变式】

1.12023•河北保定•统考二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆

C经过点打2,2),

⑴求椭圆C的方程：

(2)若48是椭圆上不同于点P的两个动点，直线尸与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直

线AB的斜率为定值.

2.(2023•四川南充•四川省南充高级中学校考三模)已知椭圆C:£+}=l(a">0)的左、右焦点为百瓜

离心率为g.点尸是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线P0P8分别与椭圆C交于点44,的周

长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)设△刊谯，二PA3的面积分别为、，邑,邑.求证：萨丁+卢不为定值.

*一32»一口

3.(2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)已知抛物线7的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过(T1),

(-2,-2),(3,—2)四点中的两点.

⑴求抛物线7的方程：

(2)已知圆V+(y-2)2=3,过点P(肛-1加工±6)作圆的两条切线，分别交抛物线7于A(XQJ,*土,8)

和。(知/)，/)(4乂)四个点，试判断内是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.

考法三定直线

【例3】(2023•全国•统考高考真题)己知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-26,0),离心率为6.

⑴求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，4,过点(T,0)的直线与C的左支交于“，N两点，M在第二象限，直线

MA,与N4交于点P.证明:点尸在定直线上.

【变式】

1.（2023•湖南永州•统考一模）已知点力为圆C:/+），2-2加1-6=0上任意一点，点3的坐标为卜厢,0）,

线段AH的垂直平分线与直线AC交于点。.

⑴求点。的轨迹E的方程：

（2）设轨迹K与工轴分别交于A，4两点（A在&的左侧），过火（3,0）的直线/与轨迹E交于两点，直

线A"与直线&N的交于。，证明：Q在定直线上.

2.（2023•江苏常州•校考一模）已知相圆C：/+太=1伍>〃>0）的城轴长为2&，离心率为当.

⑴求椭圆。的方程：

（2）过点/4,1）的动直线/与椭圆C相交于不同的AB两点,在线段八8上取点。，满足|人外|。同二|42|・］冏,

证明：点。总在某定直线上.

考法四最值

【例4】(2023•全国•统考高考真题)已知直线x-2y+【=O与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A"两点，且

|人昨4后.

⑴求，；

(2)设F为。的焦点，M,N为C上两点，"M/N=0,求△MEN面枳的最小值.

【变式】

1.(2023•浙江•模拟预测)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百

般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，己知曲线C上任意一点p(x..y)

满足J(x+扬2+丁-而二声万=2.

⑴化简曲线C的方程：

(2)已知圆O:F+y2=i(。为坐标原点〉，直线/经过点八(5,0)(机>1)且与圆0相切，过点力作直线/的垂

线，交C于M.N两点，求.QMN面积的最小值.

2.(2023・浙江•模拟预测)已知椭圆C:：+q=l,点N(0,l),斜率不为0的直线/与椭圆C交于点AB,

与圆N相切且切点为M,M为A4中点.

⑴求圆N的半径r的取值范围；

(2)求|AB|的取值范围.

3.!2。23•河北秦皇岛•校联考二模)已知双曲线,%—实轴的一个端点是儿虚轴的一个端点

是Q,直线八2与双曲线的一条渐近线的交点为?!)■

(1)求双曲线的方程;

(2)若直线)，="+:(0＜左＜1)与曲线。有两个不同的交点A、伐。是坐标原点，求.045的面积最小值.

考法五轨迹问题

【例5】（2023・湖南•校联考二模）已知斗人为双曲线C：W-1=力>0）的左右焦点，且该双曲线离心

crlr

率小于等于立，点M和N是双曲线上关于x轴对称非重合的两个动点，4，4为双曲线左右顶点，

2

|M4|一|M周=4,|M4j+|M图>2+g恒成立.

⑴求该双曲线C的标准方程：

（2）设直线Ml,和的交点为尸，求点尸的轨迹方程.

【变式】

1（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）己知过右焦点尸（3,0）的直线交双曲线

小多川…）于“,N两点,曲线。的左右顶点分别为A.4,虚轴长与实轴长的比值为季

（1）求曲线C的方程;

（2）如图，点〃关于原点O的对称点为点P,直线AP与直线4N交于点S,直线QS与直线MN交于点了,

求7的轨迹方程.

2.（2023•江西•校联考二模）已知过曲线。，普=1（〃,〃>0）上一点（・%,%）作椭圆C的切线/,则切线/的

方程为竽+爷=].若P为椭圆C：[+），2=I上的动点，过P作G的切线人交圆。2：/+）"=4于M,/V,

过M,N分别作G的切线44,直线/.4交于点。.

⑴求动点。的轨迹后的方程：

（2）已知R为定直线.1=4上一动点，过R的动直线机与轨迹E交于两个不同点A6,在线段A8上取一点7，

满足|四|"|=|/1刀|劭|,试证明动点r的轨流过定点.

3.（2023•湖南长沙•雅礼中学校考一模）已知椭圆C：—+v2=l,直线/与椭圆。交于4B两点.

4'

⑴点。（小，先）为椭圆。上的动点（与点儿8不重合），若直线以，直线"8的斜率存在且斜率之积为一,

试探究直线/是否过定点，并说明理由；

（2）若。4_LOA.过点。作。。_!_八8,垂足为点0,求点。的轨迹方程.

考法六长度比值

【例6】(2023,上海杨浦•复旦附中校考模拟预测)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲

线.法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了OeCas/助5,算法：已知三个定

点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比

例的结论.如图所示，抛物线「：/=2小，，其中〃>0为一给定的实数.

y.

⑴写出抛物线「的焦点坐标及准线方程：

(2)若直线l.y=kx-2pk+2P与抛物线只有一个公共点，求实数A的值；

⑶如图/从C是〃上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点证明：品=偌=潦.

【变式】

1.：2023・云南•校联考三模）如图，已知椭圆「:±+==1（〃＞力＞0）的上、下顶点为M（01）,N（0,—1）,右

ab~

顶点为P,离心率为立，直线x=。和y=目交于点A,过N作直线交A轴的正半轴于8点，交椭圆于C点，

2

连接MC交”于点。.

⑴求「的方程;

⑵求证：K=|S|-

2.：2023,河南•校联考模拟预测）已知双曲线C:£-。=1（〃>0）的左、右焦点分别为七，马.过用的直线

/交。的右支于M，N两点,当/垂直于x轴时，M,N到。的一条渐近线的距离之和为2友.

⑴求C的方程；

⑵证明:融耨为定值•

考法七存在性

【例7】（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）己知椭圆。:£+上=1（〃>0）经过点（-1；）,过点

a32

的直线交该椭圆丁Q两点.

⑴求AOP。面积的最大值，并求此时直线P。的方程；

（2）若直线q。与X轴不垂直，在X轴上是否存在点S（s,O）使得NAS7=NQS7恒成立？若存在，求出s的值;

若不存在,说明理由.

【变式】

1.(2023•吉林长春•东北师大附中校考一模)椭圆C:=+E=l(a>/AO)的离心率为更，过椭圆焦点并

b'2

且垂直于长轴的弦长度为1.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)若直线，与椭圆。相交于A,4两点，与)'轴相交于M(0,⑼点，若存在实数加，使得OA+3OB=4OM，

求加的取值范围.

2.(2023•辽宁抚顺•校考模拟预测)已知动点”到定点F(LO)的距离与动点M到定直线x=2的距离之匕为

V2

1•

2

⑴求点M的轨迹C的方程：

(2)对WAeR,曲线C上是否始终存在两点A,8关于直线)=&+/)对称？若存在，求实数。的取值范围；若

不存在，请说明理由.

3.(2023・四川成都•模拟预测)已知帏圆C:二+二=l(a>b>0)的中心为。，左、右焦点分别为「，鸟，

a-lr

M为椭圆C上一点，线段与圆f+),2=2相切于该线段的中点M且的面枳为4.

⑴求椭圆C的方程：

⑵椭圆。上是否存在三个点4,B,P,使得直线48过椭圆。的左焦点6,且四边形01PB是平行四边形？

若存在，求出直线力4的方程：若不存在.请说明理由.

考法八角度关系转斜率

【例8】(2022•全国•统考高考真题)已知点42,1)在双曲线C：=一-2—=1(«>1)±,直线/交。于P,Q

a-a--\

两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/PAQ=2&,求△幺。的面积.

【变式】

1.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）已知点P是平面直角坐标系1仍，异于。的任意一点过点尸作直线

4：），=正丫及/,:），=-直工的平行线，分别交x轴于M，N两点，且|（W|2+|ON|2=8.

2-'2

⑴求点P的轨迹。的方程：

（2）在x轴正半轴上取两点4，〃,0），8（〃,0）,且〃帆=4,过点/作直线/与轨迹。交于E,尸两点，证明:

sinZEBA=sinZFBA.

2.（2023•贵州毕节•校考模拟预测）已知椭圆。:£+£=1（。>〃>0）的三个顶点所确定的三角形的面积为

trb'

2瓜A（2,e）㈠是C的离心率）是C上一点.

⑴求C的方程；

（2）若直线/：），=刈4-2）与。交于P,Q两点，设8（1,0）,直线尸及。8与C分别交于〃,N（不同于RQ）两

点，当&>0时，记直线的倾斜角分别为a,fi,求tan（a-⑶的最大值.

考点九三点共线

【例9】（2023•贵州毕节•校考模拟预测）已知”是抛物线。：），2=2/h〃>0）的焦点，过点尸的直线交抛物

线C于48两点，当A8平行于.V轴时，|4臼=2.

⑴求抛物线C的方程；

（2）若O为坐标原点，过点A作V轴的垂线交直线AO于点。，过点A作直线。尸的垂线与抛物线C的另一交

点为E,4E的中点为G,证明：G.8.D三点共线.

【变式】

1.（2022秋•云南昆明）过抛物线「：尸=4》上一动点尸作x轴的垂线，记垂足为〃，设线段产〃的中点

为M,动点M的轨迹为曲线C,设。为坐标原点

⑴求曲线C的方程；

（2）过抛物线「的焦点”作直线与的线C交于A8两点，设抛物线「的准线为/,过点A作直线/的垂线，记