高中数学人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》同步练习（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.2基本不等式》同步练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知a,b∈R+且A.1         B.14 C.12.（5分）若正数a，b满足ab-2a-bA.22 B.4 C.8 D.3.（5分）若a>0，b>0，且1a+A.2 B.2  C.22 4.（5分）已知正数满足则的取值范围是(

)A. B. C. D.5.（5分）设a，b大于0，则a+1b，A.都大于2 B.至少有一个不大于2

C.都小于2 D.至少有一个不小于26.（5分）正数x，y满足x+2y=2，则A.4                          B.7                          C.87.（5分）已知x>0，y>0，2xA.8 B.6 C.22 D.8.（5分）若a，b，c都是正数，且a+b+cA.2 B.3 C.4 D.6二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知ab<0，则A.a2+b2⩾210.（5分）已知a>0，b>0，aA.1a+1b>12 B.a+b的最大值为11.（5分）设a，b为非零实数，下列给出的不等式中恒成立的是(A.a2+b22⩾ab12.（5分）若a>b>0，则A.ac2⩾bc213.（5分）设a>0，b>0A.a2+b2+1>a三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知正数x，y满足2x+y=1，则115.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，C=π3.若OD→=aOE→+bOF→，且16.（5分）已知x>0，函数y=17.（5分）已知实数a，b满足2a+1+2b18.（5分）已知0<a<1，则1四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）设x，y均为正数，且x>y，求证：20.（12分）求下列最值：(1)当x>12(2)设0<x<421.（12分）已知x>0，y>0，且xy=1，求x2+22.（12分）已知a，b是正数，且a+b23.（12分）2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级．最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元(a、b是常数)，用t表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y，即y=(设备单价+设备维修和消耗费用(1)求y关于t的函数关系式；(2)当a=112500，b

答案和解析1.【答案】B;【解析】 

此题主要考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．利用基本不等式，即可得出结论． 

解：∵已知a>0，b>0，且a+b=1， 

∴ab⩽(a+b2)22.【答案】C;【解析】解：∵正数a，b满足ab-2a-b=0， 

∴ab=2a+b⩾22ab， 

∴a2b2⩾8ab， 

∴ab⩾8． 

3.【答案】D;【解析】 

此题主要考查了基本不等式的应用，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力， 

先求出ab的取值范围，然后利用基本不等式求出所求. 

解：由ab=1a+1b⩾2ab，得ab⩾2，当且仅当a=b=2时等号成立， 

所以a34.【答案】D;【解析】 

试题分析：由得即，由得即故． 

考点：均值不等式的应用

5.【答案】D;【解析】 

该题考查了反证法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 

利用反证法：假设a+1b，b+1a都小于2，再利用基本不等式的性质得出矛盾 

解：假设a+1b，b+1a都小于2， 

∴a+1b+b+1a<4 

∵a，b大于0，∴a+1b+b+6.【答案】D;【解析】 

此题主要考查了基本不等式求最值，属于较易题.x+8yxy=12x+2y1y+8x，展开，利用基本不等式求解即可. 

解：正数x，y满足x+2y=2， 

则x+7.【答案】C;【解析】解：∵x>0，y>0，2x+3y=1，则4x>1，8y>1， 

∴4x+8y=22x+28.【答案】B;【解析】解：由题意可得a，b，c都是正数，且a+b+c=2，且a+1>0，且b+c>0，可得a+1+b+c=3 

4a+1+1b+c=13×(a+1+b+c)×(4a+1+1b+c)9.【答案】ACD;【解析】 

此题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题. 

利用作差法比较a2+b2与2ab大小，即可判断A；利用特殊值法，例如a=-14，b=4，即可判断B；分为b<0<a或a<0<b两类讨论a(a-b)的正负情况，即可判断C；由基本不等式求出|ba+ab|的取值范围即可判断D.解：由题意知ab<0. 

对于A，a2+b2-2ab=(a-b)2⩾0恒成立，故A正确； 

对于B，若a=-14，b=4，则a+b>2-ab，故B错误； 

对于C，由ab<0，可得10.【答案】AC;【解析】 

此题主要考查的是利用基本不等式求最值问题，属于中档题. 

对a+b=ab两边同时除以ab可以判断A，利用基本不等式分别求a+b，ab，4a+b的最值，即可判断BCD. 

解：在等式a+b=ab两边同时除以ab，得1a+1b=abab=1>12，故A正确； 

a+b=ab⩽a+b24⇒a+11.【答案】AB;【解析】 

此题主要考查基本不等式，属于基础题. 

利用基本不等式结合举反例，即可求出结果. 

解：对于A，由重要不等式a2+b2⩾2ab，可知A正确； 

对于B，a2+b22=2(a2+b2)4=(a2+b2)+(a2+b2)12.【答案】AC;【解析】 

此题主要考查不等式的性质以及利用不等式求最值，根据不等式的性质可判断ABD，利用基本不等式判断C，属于基础题. 

解：对于A，若a>b>0，则ac2⩾bc2，故A正确； 

对于B，若a>b>0，则a2>ab>b2，故B不成立； 

对于C，若a>b>0，则2aba+b<2ab2ab=13.【答案】ABC;【解析】 

此题主要考查不等式的性质，基本不等式的运用，属于中档题. 

运用作差法可分析A，根据平方差公式，通过恒等变形可分析B，运用基本不等式可分析C，D选项. 

解：对于A，a2+b2+1-a-b=a-122+b-122+12>0，故A正确； 

对于B，当0<a<b时，|a-b|>0>a-b， 

当a⩾b>0，则a-b=a-b14.【答案】3+22【解析】解：∵x、y为正数，且2x+y=1， 

∴1x+1y=(2x+y)(1x+1y) 

=3+yx+2xy⩾3+22， 

当且仅当yx=2xy等号成立． 

∴15.【答案】32【解析】解：∵已知OD→=aOE→+bOF→，且D、E、F三点共线，∴a+b=1． 

∵ΔABC中，角C=π3 

∴c2=a2+b2-2abcosπ3=(a+b)2-3ab=1-3ab 

∵ab⩽(a+b2)2=14， 16.【答案】4;【解析】解：∵x>0， 

∴y=4x+x⩾24x.x=4，当且仅当x=2时取等号， 17.【答案】(-∞【解析】解：∵实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b， 

∴2×2a+2×2b=(2a)2+(2b)2， 

∴(2a-1)2+(2b-1)2=2， 

18.【答案】9;【解析】 

此题主要考查利用基本不等式求最值，关键是找到1-a+a=1，再利用解不等式求出最值即可. 

解：因为0<a<1，且1-a+a=1， 

所以11-a+4a19.【答案】证明：因为x＞y＞0，x-y＞0， 

∵2（x-y-1）+1x2-2xy+y2=（x-y）+（x-y）+1(x-y)2-2≥33(x【解析】 

变形利用基本不等式的性质即可证明． 

该题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)=当x>12∴2x当且仅当2x-12于是y⩾4+(2)∵0<x<4∴当且仅当3x=4-3x，即∴当x=23时，函数y【解析】此题主要考查了利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于基础题. 

(1)由题意化简得y=12(2x-1)+82x21.【答案】解：已知x>0，y>0，且xy=1， 

所以x+y⩾2xy=2，当且仅当x=y=1时取等号， 

设t=x+y，t∈[2,+∞)， 

则x2+y2x+y=(x+y)2-2xyx+y=t2-2t=t-2【解析】该题考查基本不等式及其应用，还考查了构造函数法求最值，属于简单题． 

先由已知条件求出x+y⩾2，设t=x+y22.【答案】证明：∵a，b是正数，且a+b=1， 

∴(ax+by)(bx+ay)=abx2+(a2【解析】此题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题． 

展开(ax+by)(bx23.【答案】