2026-2027学年河北省沧州市部分高中高三上学期开学数学试卷（含答案）

/数学本试卷共4页、满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足的实数构成的集合为（）A. B. C. D.2.函数在处的导数为（）A. B.e C. D.2e3.已知，则的最小值为（）A. B. C.6 D.54.已知，，则（）A. B. C. D.5.已知中，，且，则的面积为（）A. B. C. D.36.定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（）A. B.C. D.7.已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（）A. B. C. D.8.为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.双曲线的渐近线方程有（）A. B.C. D.10.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（）A.直线与底面所成的角的正切值为2B.直线与平面所成角的最大值为C.存在点，使直线与母线平行D.存在点，使直线与母线垂直11.已知数列共有10项，，且满足，则满足条件的所有不同数列（）A.必有一项为0B.个数为56C.最多有连续8项构成等差数列D.数列所有项和最小为30三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.壹元、拾元人民币各一张，伍元人民币两张，一共可以组成________种币值．13.已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________．14.若复数满足，且，则的取值范围为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图．（1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？附：，则，．16.如图，在等腰梯形中，，且，为底边的中点，现将沿翻折，点翻折至空间后．（1）求四棱锥的体积；（2）点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．17.已知函数．（1）若，求的单调区间与极值；（2）若任意，恒成立，求实数的最大值．18.椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由．19.（1）证明：，并求．（2）已知．（ⅰ）将满足条件的从小到大排列得到数列，求数列的通项公式；（ⅱ）若为数列的前项积，求证：．

数学本试卷共4页、满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足的实数构成的集合为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵，∴，解得不成立，即方程无解，即方程的解构成的集合为.2.函数在处的导数为（）A. B.e C. D.2e答案：C解析：解答过程：由,求导得,则函数在处的导数为.3.已知，则的最小值为（）A. B. C.6 D.5答案：A解析：思路：利用对数运算性质将已知等式化为，再利用基本不等式求的最小值.解答过程：由对数的运算性质，化为，因为，所以，从而，又，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.4.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用三角函数的基本关系式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解.解答过程：因为，可得，又因为，可得，所以，则.5.已知中，，且，则的面积为（）A. B. C. D.3答案：A解析：思路：先利用向量加法和数量积求出的长，再由数量积求出，最后用三角形面积公式求面积.解答过程：设，且，则，即，解得.因为，所以，所以.又，所以.所以.6.定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：奇函数得，又，所以，即函数关于点对称．在区间上，则在上单调递增，且，，由题意可得示意图，则在上的解集为．7.已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：解法一：可设切点位于第一象限，根据导数以及直线与圆的相切列式求解可得，结合几何性质求长度；解法二：设直线方程为，联立方程根据判别式可得，求交点坐标即可得长度.解答过程：解法一：由题意知曲线为焦点在轴上的抛物线，是以原点为圆心，为半径的圆．由曲线的对称性不妨设切点位于第一象限，且满足，此时由可得函数，则，可得曲线在点处的切线为，即，又因为与圆相切，则，整理可得，解得或，可得点，故，所以；解法二：由题意可知直线的斜率不为0，设直线方程为，联立方程，消去x可得，则，可得，联立方程，消去x可得，则，可得，联立方程，解得，所以直线方程为，根据对称性不妨取直线方程为，由，解得，即，由，解得，即，所以．8.为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据独立事件概率乘法公式、二项分布概率公式及条件概率公式求解即可.解答过程：由题意知，，．随机变量，，，.，所以．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.双曲线的渐近线方程有（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：双曲线化为标准方程为：，所以双曲线的渐近线方程为.10.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（）A.直线与底面所成的角的正切值为2B.直线与平面所成角的最大值为C.存在点，使直线与母线平行D.存在点，使直线与母线垂直答案：AB解析：思路：作，垂足为，延长与圆锥底面的交点为，连接，由题意可得，设，则，，可得，求解，可得点的轨迹，建立空间直角坐标系，对于A选项，由线面角的向量求法求解，再求解，即可求解；对于B选项，由线面角的向量求法求解，再由放缩法，即可求解；对于C选项，设存在点，使得直线与母线平行，再由向量平行即可求解；对于D选项，设存在点，使直线与母线垂直，由即可求解.解答过程：因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，因此底面半径，圆锥的高，母线长为，圆锥母线与高的夹角为，作，垂足为，延长与圆锥底面的交点为，连接，设，则，，由题意可得，，解得，则，可知点的轨迹是半径的圆，以为原点，为轴，为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，可得，，，，对于A选项，设直线与底面所成的角为，因为圆锥底面的法向量可以为，则，可得，则，故A正确；对于B选项，设直线与平面所成角为，因为平面的法向量可以为，则，可得，所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；对于C选项，若存在点，使得直线与母线平行，则，可得，即，方程无解，所以不存在点，使得直线与母线平行，故C错误；对于D选项，若存在点，使得直线与母线垂直，则，解得，所以不存在点，使直线与母线垂直，故D错误.11.已知数列共有10项，，且满足，则满足条件的所有不同数列（）A.必有一项为0B.个数为56C.最多有连续8项构成等差数列D.数列所有项和最小为30答案：BCD解析：思路：对于ACD，列举满足条件的数列判断即可；对于B，判断第3项到第10项这8项中，比前一项多2及少2的项数，结合组合知识求解即可.解答过程：对于A，如满足条件的数列：4，2，4，6，8，10，12，14，12，10，故A错误．对于B，由，知数列除第一项外，其余各项后一项不是比前一项多2，就是少2，又，，则可知第3项到第10项这8项中，必有六项比前一项多2，有两项比前一项少2，而第一项可以为0或4．故满足条件的所有不同数列个数为，B正确．对于C，应该让六项比前一项多2相邻，且第二项比第一项也要多2，得数列0，2，4，6，8，10，12，14，12，10中最多有连续8项为等差数列，C正确．对于D，数列所有项和最小，应考虑数列第一项取满足条件的最小值，且第三项和第四项均比前一项少2，得数列0，2，0，－2，0，2，4，6，8，10使得所有项的和最小为30，D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.壹元、拾元人民币各一张，伍元人民币两张，一共可以组成________种币值．答案：9解析：解答过程：若取1张，可得1元，5元，10元，共3种；若取2张，可得，，，，即6元，11元，15元，10元（重复），共3种；若取3张，可得，，，即11元（重复），16元，20元，共2种；若取4张，可得元，共1种；综上所述：一共可以组成种币值.13.已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________．答案：解析：解答过程：图象上两个极值点，满足，，即函数周期，，，所以，所以，，函数的所有对称轴为，当时，，当时，，因为平移后函数为偶函数，故其对称轴为，因，故最小正数为轴右侧最近的对称轴对应的的值，即的最小值为.14.若复数满足，且，则的取值范围为______．答案：解析：思路：设，将复数条件转化为复平面上两个圆的约束，利用几何意义，把求的值域转化为求两圆交点弧上的点到定点的距离范围.解答过程：设，则，，则得，即，整理得．由得，又，所以即，整理得．所以点是以点为圆心，以为半径的圆落在圆上及内部圆弧上的点．联立，得，解得，由，解得，所以两圆的交点分别为，且圆弧的中点为，为点到点的距离，最小值为到的距离，最大值为或到的距离，故可得其取值范围为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图．（1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？附：，则，．答案：（1），（2）人解析：思路：（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式，准确计算，即可求解；（2）由（1）得到服从正态分布，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.（1）由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下，可得，则估计该市居民竞赛成绩的方差为．（2）由（1）可得，所以，，则，所以服从正态分布，因为，所以．则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为人．16.如图，在等腰梯形中，，且，为底边的中点，现将沿翻折，点翻折至空间后．（1）求四棱锥的体积；（2）点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）取的中点为，利用线面垂直的判定及锥体的体积公式推理求解.（2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（1）由，得，由为底边的中点，得，为边长为2的正三角形，菱形的边上的高为，该菱形的面积为，沿直线翻折后，取的中点为，连接，则，且，，又，则，即，又平面，因此平面，所以四棱锥的体积为.（2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，显然平面的法向量为，又，设平面的法向量，则，取，得，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知函数．（1）若，求的单调区间与极值；（2）若任意，恒成立，求实数的最大值．答案：（1）单调递减区间为，无递增区间，不存在极值.（2）0解析：思路：（1）把代入，利用导数求出单调区间及确定极值情况.（2）根据给定条件，等价转化恒成立的不等式，再利用不等式性质求出函数最小值，进而求出的最大值.（1）当时，函数的定义域为，求导得，令函数，求导得，当时，；当时，，函数，即在上单调递增，在上单调递减，则，所以的单调递减区间为，无递增区间，不存在极值.（2）任意，不等式恒成立，当时，，则；当时，；当时，，则，因此任意，，当