2026-2027学年河北省衡水市安平中学高二上学期第一次阶段检测数学试卷（含解析）（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知直线，直线．若，则（）A. B. C.2 D.2或3.若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A. B. C. D.4.空间内有三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.5.已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.6.如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（）A. B. C. D.7.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中真命题有（）A.直线在轴上的截距为B.经过定点的直线都可以用方程表示．C.直线必过定点D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是10.在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（）A.若，则面B.若，则C.若，则到平面的距离为D.若时，直线与平面所成角为，则11.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（）A.的最小值是B.的最大值是C.四边形面积的最小值为D.当最小时，直线的方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______.13.已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______.14.对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆.（1）过点作圆的切线，求的方程；（2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.16.已知直线．（1）求证：直线过定点；（2）若到直线的距离最大，求的值；（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．17.在平行六面体中，，，，E为与的交点．（1）用向量，，表示；（2）求线段的长；（3）求异面直线与所成的角．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”．（1）求点P所在曲线的方程；（2）已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”．（i）求直线的方程；（ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.解答过程：由直线的方向向量为可知直线斜率，又因为倾斜角，且，所以.故选：C2.已知直线，直线．若，则（）A. B. C.2 D.2或答案：A解析：思路：根据两直线平行与斜率的关系求解.解答过程：因为，所以，解得或．当时，，，，重合；当时，，，符合题意．故．故选：A.3.若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由空间向量线性运算和基本定理即可求解.解答过程：由题意，令，所以，解得，所以在基底下的坐标为，故选：A4.空间内有三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间向量的坐标表示求出，利用空间向量法求解点线距即可.解答过程：因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.故选：A5.已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围．解答过程：如下图所示，若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或，，，直线的斜率或，直线斜率的取值范围是，故C正确．故选：C．6.如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可.解答过程：由二面角的平面角的定义知，所以，由，得，又因为，所以，所以，即.故选：A.7.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值.解答过程：经过点的直线方程为，即，故直线的一个方向向量为，又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.故选：A8.若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式建立不等式解出即可.解答过程：设圆，则该圆的圆心为，半径为，对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大，若，则在中，，则，所以若直线上存在一点，使得，则等价于圆心为到直线的距离，即，解得：，所以实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中真命题有（）A.直线在轴上的截距为B.经过定点的直线都可以用方程表示．C.直线必过定点D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是答案：AC解析：思路：根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.解答过程：A：对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；B：经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故错误；C：当时，可整理为：，恒过定点；当时，即为，过点；故直线必过定点，正确；D：直线与直线平行，则，此时即，也即，则两平行线间的距离，故D错误.综上所述，正确的选项是.故选.10.在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（）A.若，则面B.若，则C.若，则到平面的距离为D.若时，直线与平面所成角为，则答案：ACD解析：思路：利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围.解答过程：连结，由可知，点在线段上，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，且，且平面，所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，对于A，，则，得，则，，A正确：对于B，由A分析可得，故不与垂直，故B错误；对于C，时，，又，设平面的法向量为，则，故可取，又，则到平面的距离为，故C正确：对于D，当时，，则，又由C已得平面的法向量为，则当，当，因在上单调递减，则，则有，则，则当时，，故D正确.故选：ACD.11.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（）A.的最小值是B.的最大值是C.四边形面积的最小值为D.当最小时，直线的方程为答案：ABD解析：思路：对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程.解答过程：选项A：，故A正确；选项B：当与圆相切且直线时，最大，此时，，，，故B正确；选项C：由，当与直线垂直，最小，最小，，，故C错误；选项D：由题意知，则，，即，，，当最小，取得最小值，此时垂直于直线，所以直线方程为.，联立，解得，即，则以为直径的圆的方程为，即为四边形的外接圆，方程为，由四边形的外接圆与圆相交于，两圆方程相减即为的方程，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______.答案：或解析：解答过程：当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得，所以直线方程为，即；当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得，所以直线方程为.综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或.13.已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______.答案：解析：解答过程：因为，，所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为，又点P在圆C上，所以圆与圆有交点，因为，且，所以，又，解得.当时，两圆外切，，满足条件；当时，两圆内切，，满足条件.所以.14.对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______.答案：##解析：思路：首先利用坐标表示，，再代入曼哈顿距离，利用基本不等式求最值.解答过程：如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，，，，，，，由可知，，整理为，，因为，得，且，所以，所以的最大值为，当时等号成立，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆.（1）过点作圆的切线，求的方程；（2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.答案：（1）或；（2）相交；解析：（1）圆，圆心为，半径为.由，点在圆外.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.（2）直线与圆相交，理由如下：圆心，，圆心到直线的距离为，故直线与圆相交.直线被圆所截得的弦长.16.已知直线．（1）求证：直线过定点；（2）若到直线的距离最大，求的值；（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．答案：（1）证明：由直线整理可得：，即，则由，即，故直线过定点；（2）（3）解析：思路：（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标；（2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离；（3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程．（1）略（2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时，到直线的距离最大，因为，则；因为，故，解得；（3）由可得：当时，；当时，；因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得；此时三角形面积为，要使面积取最小值，只需取的最小值即可；由可知，当时，取最小值，此时面积取最小值，此时直线方程为，即．17.在平行六面体中，，，，E为与的交点．（1）用向量，，表示；（2）求线段的长；（3）求异面直线与所成的角．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解；（2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可.（3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解.（1）由题意得，即.（2）由（1）得，所以线段的长为.（3），所以异面直线与所成的角为.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．答案：（1）取的中点，连接，如下图：因为为棱的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）（3）存在点，，理由如下：假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，设，，即，可得,所以，则点到平面的距离是，又，可得,所以，，即存在点到平面的距离是,.解析：思路：（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值；（3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出.（1）略（2）由题意知平面，且，可知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，易知则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，可得；又，设平面的一个法向量为，可得，令，可得，即，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；（3）略19.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”．（1）求点P所在曲线的方程；（