2026-2027学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期9月素养测评数学试卷（含解析）（含答案）

/数学考试时间：9月23日14：40-16：40一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设实数x满足，则函数的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.74.下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则5.已知x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（）A.都大于2 B.都小于2C.至多有一个大于2 D.至少有一个不小于28.已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（）A.50 B.51 C.52 D.53二、多选题9.已知全集，集合，，且，则（）A.B.C.中元素个数为1D.10.设，，，则（）A.最小值为 B.最小值为C.最大值为 D.最小值为11.设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点，下列说法中正确的是（）A.1是集合的聚点B.0不是集合的聚点C.1不是集合的聚点D.0是集合的聚点三、填空题12.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人.13.已知集合，，若，求实数的取值范围是______．14.已知a，且，则的最小值为______．四、解答题15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.16.已知命题：不等式的解集中的整数有且仅有，0，1；命题：集合且.（1）当命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）当命题、中有且仅有一个为真命题时，求的取值范围.17.设命题：对任意，不等式恒成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围.18.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．19.设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集．（1）当时，写出集合的积集；（2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；（3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和．

数学考试时间：9月23日14：40-16：40一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用集合的并、补运算求结果即可.解答过程：由，则，故.故选：A2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由，得，当且仅当时取等号，反之，由，得，，则，因此“”是“”的必要不充分条件.3.设实数x满足，则函数的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，s时，等号成立，故函数的最小值为5.4.下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则答案：D解析：解答过程：对于A：取，满足，但，故不成立，故A错误；对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误；对于C，取满足题意，则不成立，故C错误；对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确.5.已知x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可.解答过程：令，则，由，，所以，即.故选：B6.已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果；解答过程：因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集，当时，，解得，此时，不满足，当时，，解得，因为，所以或由，解得；由，解得因此得到又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或，结合，可得，故选：A.7.已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（）A.都大于2 B.都小于2C.至多有一个大于2 D.至少有一个不小于2答案：D解析：思路：将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误.解答过程：首先计算三个代数式的和：已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立，因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断：对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误；对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误；对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误；对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确.8.已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（）A.50 B.51 C.52 D.53答案：C解析：思路：根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值.解答过程：因为，由选项可知的最大值大于3，若对任意的，，，存在，使得，则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，即或或，若，则，解得，此时的最大值为51；若，则，解得，此时的最大值为52；若，则，解得，此时的最大值为52；综上所述：的最大值为52.二、多选题9.已知全集，集合，，且，则（）A.B.C.中元素个数为1D.答案：BC解析：思路：因为，所以N的元素只能是U中的元素，结合根与系数的关系，求出所有满足条件的a的可能值，确定所有可能的集合N，对每个可能的N，分别计算、、，再逐一验证选项是否成立即可.解答过程：对于A：方程，因为，所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得，又因为，所以或者.若，将代入方程得，解得，若，将代入方程得，解得，故存在满足条件，与不符，选项A错误；对于B：，若，则，即；若，则，即，选项B正确；对于C：若，则，只有一个元素；若，则，只有一个元素，选项C正确；对于D：全集，，所以，若，则，不为；若，则，不为，选项D错误.10.设，，，则（）A.最小值为 B.最小值为C.最大值为 D.最小值为答案：ACD解析：思路：根据给定条件，结合基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析判断.解答过程：由，得，对于A，，当且仅当，即时取等号，A正确；对于B，取，则，，B错误；对于C，，则，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，由，得，则，当且仅当时取等号，D正确.11.设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点，下列说法中正确的是（）A.1是集合的聚点B.0不是集合的聚点C.1不是集合的聚点D.0是集合的聚点答案：ABD解析：思路：根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案.解答过程：对于A，对任意，存在，，使得，则，A正确；对于B，对任意，令，若，解得，在集合中不存在，0不是集合的聚点，B正确；对于C，对任意，存在，使得，则，因此1是集合的聚点，C错误；对于D，对任意，存在，，使得，则，因此0是集合的聚点，D正确.故选：ABD三、填空题12.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人.答案：44解析：思路：利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数.解答过程：设集合，，，根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数，对应公式为：

由题意得：，，，，，，，代入公式计算：

因此这支测绘队共有44人.13.已知集合，，若，求实数的取值范围是______．答案：解析：思路：解方程可得，因此或或或，分情况讨论即可求出的取值范围．解答过程：由方程，解得或，即，因为，可得或或或，当时，满足，解得，将代入方程，可得，此时，满足条件，将代入，得到，上面已经验证满足条件，综上所述，的取值范围是．14.已知a，且，则的最小值为______．答案：##解析：思路：变形后，由基本不等式进行求解解答过程：，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.四、解答题15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：（1），把代入：，，，，即.（2）”是“”的充分条件即，则.①时，，解得.②当时，即时，令，即，因为所以，得到，解得.由①②得出.16.已知命题：不等式的解集中的整数有且仅有，0，1；命题：集合且.（1）当命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）当命题、中有且仅有一个为真命题时，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意可得，由此求解即可；（2）先求出当真时，，然后分P真Q假、P假Q真两种情况分别求解即可.（1）由，得，因为不等式中的整数有且仅有，0，1.，得，即真时a的取值范围为.（2）当真时：则有或方程的解为负数，所以或，即或所以.当P真Q假时，即，此不等式组无解；当P假Q真时，则有，解得，所以命题、中有且仅有一个为真命题时，.17.设命题：对任意，不等式恒成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由函数在上单调递增求得，结合不等式恒成立可得，即可求得答案；（2）由，可得，分类讨论a的取值范围，列出相应的不等式组，即可求得答案.（1）由于函数在上单调递增，故，由对任意，不等式恒成立，可得，解得，故实数的取值范围为；（2）由（1）知，而，由于，故，当时，，则，解得；当时，即为，此时，不满足；当时，，则，解得；综合以上可知正数的取值范围为.18.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．答案：（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功解析：思路：（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．19.设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集．（1）当时，写出集合的积集；（2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；（3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和．答案：（1）（2）5（3）解析：思路：（1）根据题意，得到；（2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5；（3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，.（1），故，，故；（2）是由4个正实数构成的集合，不妨设，因为，故中的元素个数大于等于5，当时，此时，故中元素个数最小值为5；（3）由条件可知，对于一个4元集合，中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，则中最小