2026-2027学年四川省达州市万源中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年四川省达州市万源中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知事件A，B满足A⊆B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(AB)=(

)A.0.9 B.0.5 C.0.4 D.0.22.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1DA.12a+12b+c

3.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C(−3,7,−5)，则顶点D的坐标为(

)A.(1,−13,3) B.(−5,1,−7) C.(5,−1,7) D.(−1,13,−3)4.已知事件A与事件B互斥，若P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B)=(

)A.1.3 B.0.9 C.0.88 D.0.485.在空间直角坐标系中，直线l经过点O(0,0,0)，且其方向向量n=(1,0,1)，则点M(0,1,1)到直线l的距离为(

)A.3 B.6 C.3 6.近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升.经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为715，选择中共创建第一城景区的概率为1115.两个景点都不选的概率为15A.25 B.45 C.182257.直三棱柱ABC−A1B1C1，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，CCA.π4 B.π2 C.π38.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=2，BC//AD，Q是四边形ABCD内部一点(包括边界)，且二面角Q−PD−A的平面角大小为π3，则△ADQ面积的取值范围是A.(0,4155)

B.(0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是(

)A.至少一个红球；都是白球 B.恰有一个红球；恰有一个白球

C.至少有一个红球；至多有一个白球 D.至多一个红球；都是红球10.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.2，则(

)A.P(A−)=0.5 B.P(A∪B)=0.9 C.P(A11.已知向量a=(1,−1,2)，b=(2,1,0)，c=(0,1,−1)，则下列说法正确的是A.向量a，b的夹角为钝角

B.与向量a−b同向的单位向量为(−13,−23,23)

C.向量三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(m,1,2)，b=(12,12,1)，若13.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4，另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时抛掷这两枚骰子，则其朝上的两数字之和为5的概率是

．14.如图，四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥CD，SD=CD=2AB=2AD=2，则D到平面SBC的距离是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.现从盒子里随机取出2个小球．

(1)记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件A发生的概率．

(2)记事件B=“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为5”，求事件B发生的概率；16.(本小题15分)

已知向量a=(−1,0,1)，b=(1,−2,0)．

(1)求|a−b|；

(2)求a与a−b的夹角；

(3)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=3，E为AD的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．18.(本小题17分)

某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖．

(1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率；

(2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B．

①求事件A发生的概率；

②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AD//BC，AD⊥CD，AD=CD=2BC=4，E是棱PA的中点，F是棱PC上异于端点的一点．

(1)求证：BE//平面PCD；

(2)若PF=FC，求二面角B−EF−P的正弦值；

(3)若直线EF与平面PCD所成角的大小为π3，求线段PF的长．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】AC

11.【答案】BCD

12.【答案】1

13.【答案】1914.【答案】215.【答案】P(A)=425

16.【答案】解：(1)因为a=(−1,0,1)，b=(1,−2,0)，

所以a−b=(−1−1,0+2,1−0)=(−2,2,1)，

所以|a−b|=(−2)2+22+12=9=3；

(2)因为a⋅(a−b)=(−1)×(−2)+0×2+1×1=3,|a|=(−1)2+02+12=2，

所以cos17.【答案】证明：底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD，

又因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，

又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面PAB，

可知平面PAD⊥平面PAB

618.【答案】15

①925；②事件A与B不相互独立；理由：因为P(A)=925，P(B)=64225，P(A)P(B)=919.【答案】(1)证明：取PD的中点M，连接EM，CM，

因为E为PA的中点，所以EM/​/AD且EM=12AD，

又AD//BC，且AD=2BC，

所以EM/​/BC且EM=BC，

所以四边形BCME为平行四边形，

所以BE/​/CM，

又BE⊄平面PCD，且CM⊂平面PCD，

所以BE//平面PCD．

(2)解：取AD的中点O，连接OB，OP，

因为△PAD为等边三角形，所以OP⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，

所以OP⊥平面ABCD，

因为AD=2BC且AD//BC，所以OD=BC，且OD/​/BC，

所以四边形BCDO是平行四边形，

所以BO/​/CD，

又AD⊥CD，所以BO⊥AD，

故以O为原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(0,−2,0)，D(0,2,0)，B(4,0,0)，C(4,2,0)，P(0,0,23)，E(0,−1,3)，F(2,1,3)，所以EB=(4,1,−3),EF=(2,2,0),EP=(0,1,3)，

设平面BEF的法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅EF=2x+2y=0n1⋅E