2026-2027学年湖北省孝感市楚天协作体高三上学期开学数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.定义在上的函数，若，则（）A.-1 B.1 C.2026 D.-20262.已知集合，，若，则的取值是（）A.或0 B.或0 C.0或2 D.或23.“”是“关于的方程有一正一负根”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（）A.2 B.5 C.8 D.95.已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（）A.11 B.18 C.29 D.476.某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（）A. B. C. D.7.某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（）种不同的安排方案．A.160 B.320 C.480 D.5408.设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（）A.在上为单调函数B.在有最大值C.在恰好有8个零点D.若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.若样本点都落在同一条直线上，则相关系数B.已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为C.以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%10.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（）A. B.C. D.数列的前项和为11.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（）A.为偶函数 B.C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.13.已知，，，则_________．14.已知函数，．若关于的不等式有解，则的取值范围为____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.设函数（，，）且为奇函数．（1）若，求的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围．16.暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表：星期一二三四五直播时长（小时）12345直播时在线观看人数（千人）1.31.72.22.83.5参考数据：，，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）；（2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数．17.已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．①设数列的前项和为，求证：；②若对任意，恒成立，求实数的取值范围．18.为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛．经过小组赛的激烈对决后，班和班进入决赛．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．假设每局比赛中，班获胜的概率为0.6，班获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．（1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望；（2）设在该赛制下班获胜的概率为．①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对班更有利；②随着的增大，班获胜的可能性如何变化？证明你的结论．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）讨论关于的方程的零点个数；（3）设函数有两个极值点，（），证明：．

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.定义在上的函数，若，则（）A.-1 B.1 C.2026 D.-2026答案：C解析：解答过程：2.已知集合，，若，则的取值是（）A.或0 B.或0 C.0或2 D.或2答案：C解析：解答过程：由，得或，解得或或，当时，，，满足要求；当时，，，满足要求；当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求；综上，的取值为0或2.3.“”是“关于的方程有一正一负根”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：方程有一正一负根的等价条件：对于一元二次方程有一正一负根，只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）.本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于.由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件.4.已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（）A.2 B.5 C.8 D.9答案：D解析：思路：分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值.解答过程：，的定义域为，，所以是奇函数，令，，在定义域上单调递减，对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数，由，得，因为为奇函数，，所以，又因为为减函数，则，，、均为正实数，，当且仅当，即，时等号成立.5.已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（）A.11 B.18 C.29 D.47答案：B解析：思路：先由根和系数的关系得到，，再结合变形得到，代入计算出结果.解答过程：由根与系数的关系得，，则，又，，所以，，，即.6.某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可.解答过程：设甲答对的题数为随机变量，由题意可知服从的二项分布，即，所以，因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分，所以甲最后的得分，所以，.7.某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（）种不同的安排方案．A.160 B.320 C.480 D.540答案：A解析：思路：按ChatGPT模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可.解答过程：①甲负责ChatGPT模型：从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种；剩余4人分配到Sora、GPT-4两种模型，共有种，剩余4人全在Sora模型或GPT-4模型，有2种，所以此类方案数：种.②乙负责ChatGPT模型：有种.③甲、乙都不负责ChatGPT模型：从剩余4人中选2人负责模型，有种.甲负责Sora模型，则乙负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种，乙负责Sora模型，则甲负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种，所以此类方案数：种.故共有种不同的安排方案.8.设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（）A.在上为单调函数B.在有最大值C.在恰好有8个零点D.若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则答案：D解析：思路：根据题意作出函数的图象，观察在上的图象判断选项A、B，观察在上的零点即可判断选项C；根据条件分析出函数与的图象至少有4个交点，结合图象得出不等式组，解不等式组判断选项D．解答过程：由题意作出函数图象如下：由在区间上图象可知，在区间上为非单调函数，故A错误；在区间上，，没有最大值，故B错误；在区间上有5个零点，在内有1个零点，故在恰好有6个零点，故C错误；要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则函数与的图象恰好有4个交点，由图象得，解得，故D正确．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.若样本点都落在同一条直线上，则相关系数B.已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为C.以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%答案：BCD解析：思路：对于A，根据判断；对于B，根据残差公式计算即可判断；对于C，根据指对互化转化即可判断；对于D，根据独立性检验思想方法判断即可.解答过程：对于A，当样本点都落在同一条直线上，则相关系数，故错误；对于B，当时，，故样本数据点的残差为，故正确；对于C，由题知，即，故，，正确；对于D，，所以，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%，故正确.10.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（）A. B.C. D.数列的前项和为答案：ABD解析：思路：根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得.解答过程：对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确；对于B，由题意可知，，，，，B正确；对于C，由作法知，，而，则，，C错误；对于D，由选项AC知，，所以数列的前n项和为，D正确.11.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（）A.为偶函数 B.C. D.答案：ACD解析：思路：由是奇函数得关于(1,0)中心对称；联立两个等式推导周期，再逐一判断奇偶性、函数值与求和.解答过程：因为是奇函数，所以，且奇函数在0处有定义，则，图像关于(1,0)中心对称，因为，则，代入①式得，即周期为4.选项A，，代入①式得，即，A正确；选项B，假设，则时，，因为，所以，矛盾，假设不成立，B错误；选项C，，周期为4，则，，，则一个周期内，则，C正确；选项D，，周期4，则周期也为4，，则，，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.答案：解析：思路：应用换元法，令，根据的定义域为，有，即可求的定义域.解答过程：对于，令，则，所以，即的定义域为.故13.已知，，，则_________．答案：解析：思路：根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.解答过程：因为，所以，因为，，所以，，即，因为，且与互斥，所以，即，解得.所以.14.已知函数，．若关于的不等式有解，则的取值范围为____________．答案：解析：思路：先根据定义域得出，分和两种情况讨论，时，通过换元法化简原不等式，构造函数并求导，利用函数单调性和特殊值得出等价条件，进而求出函数最大值；时，同理得出等价条件，进而讨论求解，综合两种情况得出的取值范围．解答过程：由可知，故，若，则，代入不等式整理得：，即，构造单调函数，则，故严格递增，则不等式变形为，由单调性可知，约去正数得，由不等式有解得存在使得成立，等价于，令，求导得，时，，单调递增；时，，单调递减；最大值为，故；若，则，同理可得，即，令，求导得，故在上单调递增，值域为，存在满足，故都满足条件，综上，．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.设函数（，，）且为奇函数．（1）若，求的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式.（2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围.（1）因为函数（且）是上的奇函数，则，即，，可得，即，由，得，解得（舍）或，.（2）由（1）得，在上恒成立，可转化为：，在上恒成立．，令，则在上为增函数，所以，，所以当时，取得最小值，所以的取值范围为．16.暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表：星期一二三四五直播时长（小时）12345直播时在线观看人数（千人）1.31.72.22.83.5参考数据：，，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）；（2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数．答案：（1）与具有较强的线性相关性.（2），5.6（千人）解析：思路：（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案；（2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案.（1）由，，所以（或），所以与具有较强的线性相关性．（2），，所以关于的回归直线方程为，当时，，由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）．17.已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．①设数列的前项和为，求证：；②若对任意，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）①因为，所以为等差数列，设公差为，又，，所以，所以，则；所以，所以；②解析：思路：（1）利用退一作差法求得.（2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围.（1），∴当时，，两式相减得，∴当时，，当时，，上式也成立，综上，数列的通项公式为．（2）①略②因为对任意，恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，令，则，所以当时，当时，所以，所以，所以．18.为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛．经过小组赛的激烈对决后，班和班进入决赛．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．假设每局比赛中，班获胜的概率为0.6，班获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．（1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望；（2）设在该赛制下班获胜的概率为．①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对班更有利；②随着的增大，班获胜的可能性如何变化？证明你的结论．答案：（1）230.520.48（2）①，，，时，5局3胜制对班更有利②随着的增大，班获胜的可能性变大，证明如下：由①可知，，下面讨论局与前局的递推关系：（ⅰ）若前局中班恰好赢了局，则后两场班都要赢才能获胜，其概率为，即（ⅱ）若前局中班恰好赢了局，则后两场班至少要赢一场才能获胜，其获胜概率为，即（ⅲ）若前局中班至少赢了局，则后两场班无论输赢都获胜，其获胜概率为，，，，即．∴随着的增大，班获胜的可能性变大．解析：思路：（1）当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为2，3，根据题意求出对应概率，列出分布列，求期望即可；（2）①分别列出获胜各种情况的概率求和即可计算，，比较大小即可分析得出结论；②求出的大小，再分析与的关系，即可证明.（1）当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为2，3，，，所以的分布列为：230.520.48（2）①因为每局比赛中，班获胜的概率为，由题可知为3局2胜制时，班获胜的概率，班获胜的情形有两种：或，所以，为5局3胜制时，班获胜的概率，班获胜的情形有三种：或或，，所以，所以时，5局3胜制对班更有利，②略19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）讨论关于的方程的零点个数；（3）设函数有两个极值点，（），证明：．答案：（1）当时，在上单调递减，在上单调