九年级数学上册 第四章 二次函数 单元综合与检测 湘教版

九年级数学上册第四章二次函数单元综合与检测湘教版一．选择题（共10小题，满分30分）1．二次函数y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）2．下列函数中是二次函数的（）A．y＝x+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣3x C．y＝（x+3）2﹣x2 D．3．顶点（﹣5，﹣1）且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（）A． B． C． D．4．顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线y＝﹣2x2相同的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣2）2+3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣35．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．x…﹣5﹣3123…y…﹣2.79m﹣2.790n…则不等式ax2+bx+c＜m的解集是（）A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣16．某商店购进某种商品的价格是2.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润w元，则w与x的函数关系为（）A．w＝﹣200x2+3700x﹣8000 B．w＝﹣200x2+3200x C．w＝﹣200x2﹣800 D．以上答案都不对7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（）A． B． C． D．8．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（）A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元9．如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积可以达到220m2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（）A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m二．填空题（共8小题，满分24分）11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_________．12．若二次函数y＝2（x+m）2的对称轴是直线x＝﹣3，那么顶点坐标为___________．13．函数y＝（2x+1）2+1，当x＞___________________时，y随x的增大而增大．14．如果抛物线y＝（a﹣2）x2+2x+3开口朝下，则a的取值范围是________．15．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣3m（m为常数）的图象与x轴交于A、B两点．若线段AB的长为4，则m的值为_____．16．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系是S＝2.5t2+2t．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要_____s能到达终点．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解为_____________．18．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为____________________．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，求k的值．21．（8分）求证：不论m为任何实数，抛物线y＝x2+（m+2）x+m﹣1与x轴总有两个交点．22．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集；23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？24．（10分）如图，二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B．（1）求二次函数的解析式和另一交点B的坐标；（2）根据函数图象，直接写出不等式x2+bx＜kx﹣c的解集．25．（12分）根据背景素材，探索解决问题．背景某公司的一种商品，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（x≥60，且x为整数）元．问题解决任务1当x＝65元时，该种商品的销售量为________件．任务2公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？任务3当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？任务4若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为_______．（利润＝销售利润+补贴）

参考答案一．选择题1．解：由题知，因为二次函数的解析式为y＝3（x﹣2）2+1，所以抛物线的顶点坐标为（2，1）．故选：A．2．解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；B、y＝3（x﹣1）2﹣3x＝3x2﹣9x+3，是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意；D、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：B．3．解：设抛物线解析式为y＝a（x+5）2﹣1，∵开口方向、形状与函数的图象相同，∴，∴抛物线解析式为．故选：C．4．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣k）2+h，∵抛物线开口方向和大小与y＝﹣2x2相同，∴二次项系数a＝﹣2，∵顶点坐标为（﹣2，3），∴抛物线解析式为y＝﹣2（x+2）2+3．故选：C．5．解：∵抛物线过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79），∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为直线，∵x＝﹣3时函数值为m，∴x＝﹣3关于直线x＝﹣2的对称点横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣3）＝﹣1，即x＝﹣1时函数值为m，∵当x＞﹣2时，x从1增大到2，y从﹣2.79增大到0，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴不等式ax2+bx+c＜m的解集为﹣3＜x＜﹣1．故选：D．6．解：当销售价为x元/件时，每件的销售利润为（x﹣2.5）元，销售量为[500+200（13.5﹣x）]件，根据题意得：w＝（x﹣2.5）[500+200（13.5﹣x）]＝﹣200x2+3700x﹣8000．故选：A．7．解：由一次函数y＝kx﹣1可知，直线与y轴的交点为（0，﹣1），由二次函数y＝kx2+3可知，抛物线与y轴的交点为（0，3），故选项B、D不可能；A、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＞0，故选项A不可能；C、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＜0，故选项C有可能；故选：C．8．解：发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，∵y＝﹣2（x﹣20）2+1558，且﹣2＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∵15≤x≤18＜20，∴当x＝18时，y取得最大值，将x＝18代入解析式得y＝﹣2×（18﹣20）2+1558＝1550，即一周可获得的最大利润是1550元．故选：B．9．解：矩形菜园ABCD中，AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD的和为40m，设AD边长为xm，则AB边长为长为，当AB＝6时，，解得：x＝28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①的结论不正确，不符合题意；∵菜园ABCD面积为192m2，∴，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得：x＝24或x＝16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②结论正确，符合题意；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：，∵，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200，故③的结论不正确，不符合题意．∴正确结论的个数是1个，故选：B．10．解：A：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m；故A是错误的；B：当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故B是正确的；C：小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故C是正确的；D：设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，由题意得：a（0﹣3）2+40＝0，解得：a＝﹣，∴h＝﹣（t﹣3）2+40，当t＝1.5时，h＝﹣×（1.5﹣3）2+40＝30，故D是正确的；故选：A．二．填空题11．解：∵函数﹣2是关于x的二次函数，∴a2+3a+2＝2且a+2≠0，解方程a2+3a＝0，得：a＝0或a＝﹣3．故答案为：0或﹣3．12．解：∵y＝2（x+m）2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣m，∵已知抛物线对称轴是直线x＝﹣3，∴﹣m＝﹣3，解得m＝3，∴y＝2（x+3）2，∴顶点坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．13．解：∵函数y＝（2x+1）2+1＝4（x+）2+1，∴该函数图象对称轴为直线x＝﹣，开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，故答案为：﹣．14．解：因为抛物线y＝（a﹣2）x2+2x+3的开口向下，所以a﹣2＜0，解得a＜2．故答案为：a＜2．15．解：∵y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣3m（m为常数）的图象与x轴交于A、B两点．则x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣3m＝0的两个实数根，设A（x1，0），B（x2，0），∴，x1+x2＝2（m﹣1），∵线段AB的长为4，∴|x1﹣x2|＝4，∴，∴，∴[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3m）＝16，解得m＝3．故答案为：3．16．解：将S＝176代入S＝2.5t2+2t可得，176＝2.5t2+2t，解得t1＝8，t2＝﹣8.8（不符合题意，舍去），即某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要8s能到达终点，故答案为：8．17．解：∵抛物线的对称轴为直线：x＝1，∴根据轴对称的性质，点Q的横坐标＝1﹣（5﹣1）＝1﹣4＝﹣3，∴Q（﹣3，0），∴不等式的解为x＜﹣3或x＞5，故答案为：x＜﹣3或x＞5．18．解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000．故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000．三．解答题19．解：（1）由条件可得，∴m＝3．（2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2，故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2．20．解：∵二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，∴＝1，解得，k＝10，即k的值是10．21．证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m﹣1）＝m2+4m+4﹣4m+4＝m2+8，∵m2≥0，∴m2+8≥8，即Δ＝b2﹣4ac＞0恒成立，∴不论m为任何实数，抛物线y＝x2+（m+2）x+m﹣1与x轴总有两个交点．22．解：（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为（5，0），对称轴为直线x＝2，设另一交点为（x，0），则，解得x＝﹣1，所以方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝5，（2）由图抛物线开口向下，与x轴交于（﹣1，0）和（5，0），所以当x＜﹣1或x＞5时，y＜0，即不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．23．解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝20，x2＝10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．（2）设商场平均每天盈利y元，则y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元．24．解：（1）二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B．将点（0，2），点A（1，1）代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为，将点A（1，1）代入y2＝kx得：k＝1，∴正比例函数的解析式为y2＝x，令x2﹣2x+2＝x，解得：x＝1或x＝2，当x＝1时，y2＝1；当x＝2时，y2＝2；∵（1，1）为点A的坐标，∴B的坐标为（2，2）．（2