第5章二次函数单元质量检测同步训练卷（含解析）北师大版2026-2027学年九年级数学上册

第5章二次函数单元质量检测同步训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册总分：120分时间：90分钟姓名：________班级：_____________成绩：___________考卷信息:本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!一．单项选择题（每小题4分，满分40分）1．下列函数中，属于二次函数的是（)A．y=2x-1 B．y=x2+2x C．y=2．若二次函数y=2x−1A．（-1，-4) B．（-1，4) C．（2，-4) D．（1，-4)3．若y=a+3xaA．−3 B．2 C．3 D．−3或34．将抛物线y=3xA．y=3x−22−1B．y=3x−225．某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件.经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件.设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y=(60−x−40)(300+20x) B．y=(60−x−40)(300−20x)C．y=(60−40)(300+20x) D．y=(60−x)(300+20x)6．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．b﹣2a=0D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根7．已知点A(−1,y1), B(2A．y1>y3>y2 B．y2>y8．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m)与水平距离x（单位：m)之间的关系是y=−1A．3m B．4m C．7m D．10m9．已知二次函数y=axA．若a>0，则xB．若a>0，则aC．若a<0，则aD．若a<0，则a10．如图1，在△ABC中，CA=CB，动点D从点A出发以1个单位/秒速度向点B做匀速运动，设y=AC2−CD2,AB=a，点D运动时间为x（秒）（0≤x≤a），且y关于x的函数图象如图2所示，点A．a=10B．当y=12时，则点D运动时间为2秒或8秒C．点(5,16)在函数图象上D．当2≤x≤7时，函数有最小值7二．填空题（每小题5分，满分20分）11．已知函数y=−x212．二次函数y=x2−4x+4的图象与y13．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−11214．如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4，0)、B(0，3)，抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=−x2三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）15．已知二次函数的图象过抛物线y=x（1）求二次函数的解析式（2）判断点A（-2，5）是否在这个二次函数的图象上．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−1,0，点（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．17．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．18．一次函数y1=x−n的图像记为C1，二次函数y2=nx2（1）当C2过点(1,0)（2）求证：C1与C（3）点A(m,p)与点B(m,q)分别在C1，C2上，若19．某超市购入一批进价为15元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：售价不低于进价时，日销售量y（单位：盒，y>0）与售价x（元/盒）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．售价x（元/盒）1820222630日销售量y（盒）5450463830（1）写出y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）该超市在本次糖果销售中：①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？20．在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”.例如，点(1，9)，(-2016，2026)都是“合适点”。（1）求函数y=2x+1的图象上的“合适点”的坐标；（2）若二次函数y=ax2+4x+c（3）我们将抛物线y=2(x−n)2−3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围。

参考答案1．【答案】B2．【答案】D【解析】【解答】解：二次函数的顶点式为y=a(x−h)2+k（a≠0将函数y=2(x−1)2−4与顶点式对应，可得h=1，故答案为：D3．【答案】C4．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线y=3x2故选：B．

5．【答案】A【解析】【解答】解：∵单件利润：(60−x−40)销售量：(300+20x)∴y=(60−x−40)(300+20x)故选：A．6．【答案】D【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，∴ac＜0，选项A错误；由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；∵对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，即2a由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则x=3是方程ax故答案为：D．7．【答案】C【解析】【解答】解：解：∵a=1>0，

∴抛物线开口向上，

其对称轴为直线x=−−22×1=1，

∴点到对称轴的距离越大，纵坐标就越大，

A点到对称轴的距离为1-(1)=2；

B点到对称轴的距离为2-1=1；

C点到对称轴的距离为2－1；

∵2>1>2－1，

故答案为：C.8．【答案】D【解析】【解答】解：当y=0时，−1解之得x1=10，所以推铅球的距离是10米。故答案为：D.9．【答案】C【解析】【解答】解：y=a(x-1)(x-a)，令y=0，得x1=1，x2=a，

抛物线的两个交点横坐标为1和a，对称轴为直线x=1+a2．

A、若a>0，开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，x<a不一定在对称轴左侧，A错误；

B、若a>0，开口向上，对称轴x=1+a2，当a2<x<a不一定在对称轴右侧，B错误；

C、若a<0，开口向下，对称轴x=1+a2，∵a<0，∴a<a+110．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，得AD=x如图，过C作CE⊥AB于E，∵CA=CB，∴AE=BE=1∵AC2=C∴y=A=AE2∴当x=AE时，y由最大值为AE∵点m,t和n,t在函数图象上，且m=8−nm<n∴该抛物线的对称轴为直线x=m+n∴AE=4，∴AB=2AE=8，y=−x−4∴顶点为4,16，故选项C错误；当y=12时，12=−x−4解得x=2或x=6，∴当y=12时，则点D运动时间为2秒或6秒，故选项B错误；当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，当x=2时，y=12；当4<x≤7时，y随x的增大而减小，当x=7时，y=7；故当2≤x≤7时，函数有最小值7，故选项D正确；故选：D．11．【答案】012．【答案】（0，4）13．【答案】1014．【答案】14【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b，过点A(−4,∴−4k+b=0解得k=34，∴直线AB的解析式为y=3又∵抛物线y=−x2+2x+1与y∴令x=0，解得y=1，∴C点坐标为(0∵抛物线对称轴x=−b∴抛物线对称轴为x=−2∴点C(0,1)关于对称轴x=1∴CE=C∴要使CE+EF最小，即求C'又∵点到直线之间，垂线段最短，∴当C'F⊥AB时，连接AC'，BC'，过点C'作C∵在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵S==6+4−3=7又∵S△ABC'∴12∴h=C∴CE+EF的最小值为145故答案为：14515．【答案】（1）解：y=x∴顶点坐标为（-1，2）设y=a(0=a+2，解得，a=−2∴二次函数的解析式为y=−2（2）解：当x=-2时，y=0，∴点A（-2，5）不在这个二次函数的图象上16．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A−1,0，点B3,0，且OB=OC．

∴OC=OB=3，

即C0,3，

设抛物线解析式为y=ax+1x−3，将0,3代入得，

−3a=3（2）解：∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，

∴D1,4，

如图所示，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，

设直线BC的解析式为y=kx+3，将3,0代入得0=3k+3，

解得：k=−1，

∴直线BC的解析式为y=−x+3，

当x=1时，y=2，

∴E1,2，

17．【答案】（1）解：∵8−6=2，∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛物线为y=a(x−2)把点A(8,0)代入得：36a+3=0，解得a=−1∴抛物线的函数解析式为：y=−1（2）不能，

理由：当x=0时，y=−1∴球不能射进球门．（3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y=−1把点(0,2.25)代入得：2.25=−1解得m=−5（舍去）或m=1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．故答案为：1．18．【答案】（1）解：将点(1,0)代入n−n解得n=1；（2）证明：令y1=y整理得nx∵n≠0，∴该方程是关于x的一元二次方程，其判别式Δ=(∵(∴该一元二次方程总有实数根，即C1与C（3）解：∵点A(m,p)与点B(m,q)分别在∴p=m−n，q=m∴AB=|q−p|=|m∵m−n=2，∴m=n+2，∴AB=|(n+2)令f=2n该函数开口向上，对称轴为直线n=−1，则当n=−1时，函数有最小值为−6，∵−2≤n≤2，∴|−2−(−1)|=1，|2−(−1)|=3，且3>1，∴当n=2时，f取最大值，最大值为f=2×2∴线段AB的最大值为AB=|2n19．【答案】（1）解：设出y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，则18k+b=5420k+b=50，

解得k=−2b=90，

（2）解：①由题意得，x−15−2x+90=400，整理得x2−60x+875=0，

解得x=25或x=35，

答：售价应定为25元/盒或35元/盒；

②设每天获得的利润为w元，

由题意得，w=x−15−2x+90

=−2x2+30x+90x−1350

=−2x−302+45020．【答案】（1）联立x+y=10和y=2x+1并解得：x=3，y=7，故“合适点”的坐标为(3，7)；（2）将点(4，6)代入二次函数表达式得：16a+16+c=6①，联立y=10−x和y=ax2+4x+c并整理得：ax2+5x+(c-10)=0，△=25-4a(c-10)=0②，联立①②并解得：a=−58，故抛物线的表达式为：y=−58x（3）图象G，如图所示：

G3的顶点坐标为(n，3)，则G3的函数表达式为：y=−2（x−n）2+3，

x+y=10，则y=10−x，

设直线m为：y=10−x，

①当直线m与图象G2只有一个交点