九年级数学上册《实物抛物线问题》课件

实物抛物线问题R·九年级上册学习目标掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.能运用二次函数的图象与性质进行决策.情境导入这些桥都有什么特点？探究新知探究2一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）?分析：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)将实际建筑数学化，数字化；(3)明确具体的数量关系，如函数解

析式；(4)分析所求问题，代入解析式求解.xyO解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52.水面上升1m，即此时y=-3.xyO答：此时水面的宽度大约是8.7m.

如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.

与前面方法的结果相同吗？解：依题意建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+3.将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3.xyO水面上升1m，即此时y=0.你还有其他的方法吗？

还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.xyO利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出抛物线上的关键点的坐标；(3)运用待定系数法求出函数关系式；(4)求解数学问题；(5)求解抛物线形实际问题.在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗?xyOy3O以上升1m后的水面为x轴34m2mx=2时，y≥2的话船就能通过.【选自教材P54练习

第2题】

y3O4m2m解：以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图直角坐标系.

判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法：①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）；②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）.练习【选自教材P54练习

第1题】在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l.解：y=3.05时，有－0.2x²+3.85=3.05，解得x1=2，x2=－2（舍去）.即篮筐所在位置为(2,3.05)，则l=3.2+2=5.2(m).答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m.随堂演练1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)()A.9.2m B.9.1mC.9m D.5.1mB2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是

.y=-3.75x2AB3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，离地面

米，求水流落地点B离墙的距离.4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0)，∴0=a+0.5，解得a=-0.5.∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.

(−1≤x≤1)令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48,令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32.(0.48+0.32)×2×100=160(m).∴这条防护栏需要不锈钢支柱

的总长度至少为160m.5.如图，一小球(点A)沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)关于飞行时间x(单位：s)的函数解析式为y=-5x2+20x

，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解:(1)当y=15时，15=-5x2+20x.解得x1=1，x2=3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.(2)当y=0时，0=-5x2+20x.解得x1=0，x2=4.因为4-0=4(s)，所以在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是4s.(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20.因为-5<0，所以当x=2时，y取得最大值，最大值为20.故在飞行过程中，小球飞行高度在飞行2s时最大，最大高度是20m.6.如图，一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为20m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式.(2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.解法1:(1)如图，建立平面直角坐标系.根据题意知点B，C的坐标分别是(10,0)，(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+6.将点B的坐标代入y=ax2+6，得100a+6=0.解得a=.所以抛物线的解析式为

.(2)能.理由如下：根据题意，三辆汽车并排时最外侧到原点的距离为.当x=7时，y=.故可以并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车.y/mx/m解法2:(1)如图，建立平面直角坐标系.根据题意知点A，B，C的坐标分别是(0,0)，(20,0)，(10,6).设抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6.将点B的坐标代入，得0=a·(20-10)2+6.解得a=.所以抛物线的解析式为

(2)能，理由如下:令y=3，得.即x2-20x+50=0.

解得所以.

因为,所以可以并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车.y/mx/m课堂小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出抛物线上的关键点的坐标；(3)运用待定系数法求出函数关系式；(4)求解数学问题；(5)求解抛物线形实际问题.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列函数中，是二次函数的是(

A

)A.

y

＝8

x2＋1B.

y

＝8

x

＋1C.

y

＝2

x3＋22.已知二次函数

y

＝

mx2＋

m2＋1有最大值5，则

m

的值为(

B

)A.＋2B.－2C.±2D.0【解析】∵二次函数

y

＝

mx2＋

m2＋1有最大值5，∴函数图象开口向下，即

m

＜0.最大值为

m2＋1＝5，解得

m

＝±2.∴

m

＝－2.AB12345678910111213141516171819203.抛物线

y

＝－(

x

＋2)2－3的顶点坐标是(

D

)A.(2，－3)B.(－2，3)C.(2，3)D.(－2，－3)D12345678910111213141516171819204.若抛物线

y

＝－

x2＋

bx

＋4经过(－2，

n

)和(4，

n

)两点，则

n

的值为

(

B

)A.－2B.－4C.2D.4

B12345678910111213141516171819205.关于二次函数

y

＝2

x2＋4

x

－1，下列说法正确的是(

D

)A.图象与

y

轴的交点坐标为(0，1)B.图象的对称轴在

y

轴的右侧C.当

x

＜0时，

y

随

x

的增大而减小D.

y

的最小值为－3D1234567891011121314151617181920【解析】∵

y

＝2

x2＋4

x

－1＝2(

x

＋1)2－3，∴当

x

＝0时，

y

＝－1，即

图象与

y

轴的交点坐标为(0，－1).故选项A错误；该图象的对称轴是直

线

x

＝－1，在

y

轴的左侧，故选项B错误；∵

a

＝2＞0，∴当

x

＜－1时，

y

随

x

的增大而减小，故选项C错误；当

x

＝－1时，

y

取最小值－3，故选项D正确.12345678910111213141516171819206.已知函数

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

(

a

≠0)，其几组对应值如下表，判断方程

ax2

＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0，

a

，

b

，

c

为常数)的根有(

C

)

x

6.176.186.196.20

y

0.02－0.010.020.04A.0个B.1个C.2个D.1个或2个C1234567891011121314151617181920【解析】∵当

x

＝6.17时，

y

＝0.02＞0，当

x

＝6.18时，

y

＝－0.01＜0，当

x

＝6.19时，

y

＝0.02＞0，∴图象与

x

轴的交点有2个，即方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0的根有2个.12345678910111213141516171819207.已知抛物线

y

＝

a

(

x

－2)2＋

k

(

a

＞0，

a

，

k

为常数)，点

A

(－3，

y1)，

B

(3，

y2)，

C

(4，

y3)在抛物线上，则

y1，

y2，

y3由小到大依次排列为

(

C

)A.

y1＜

y2＜

y3B.

y2＜

y1＜

y3C.

y2＜

y3＜

y1D.

y3＜

y2＜

y1【解析】∵

y

＝

a

(

x

－2)2＋

k

，

a

＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为

直线

x

＝2.∴当

x

＞2时，

y

随

x

的增大而增大.∵

A

(－3，

y1)关于直线

x

＝2的对称点是(7，

y1)，且3＜4＜7，∴

y2＜

y3＜

y1.C12345678910111213141516171819208.如图，已知抛物线

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

开口向上，与

x

轴的一个交点坐标

为(－1，0)，对称轴为直线

x

＝1，则下列结论错误的是(

C

)A.

abc

＞0B.

b2＞4

ac

C.4

a

＋2

b

＋

c

＞0D.2

a

＋

b

＝0C

12345678910111213141516171819209.把函数

y

＝(

x

－1)2＋2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个

单位长度所得到的抛物线的解析式为(

D

)A.

y

＝

x2－8

x

＋22B.

y

＝

x2－8

x

＋14C.

y

＝

x2＋4

x

＋10D.

y

＝

x2＋4

x

＋2【解析】把函数

y

＝(

x

－1)2＋2的图象向左平移3个单位长度，再向下平

移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为

y

＝(

x

－1＋3)2＋2－4，即

y

＝(

x

＋2)2－2，化为一般式为

y

＝

x2＋4

x

＋2.D123456789101112131415161718192010.如图所示，当

b

＜0时，函数

y

＝

ax

＋

b

与

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

在同一坐

标系内的图象可能是(

B

)B

123456789101112131415161718192011.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为

O

，

B

，以点

O

为

原点，水平直线

OB

为

x

轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似

看成抛物线

y

＝－0.01(

x

－20)2＋4，桥拱与桥墩

AC

的交点

C

恰好位于

水面，且

AC

⊥

x

轴，若

OA

＝5m，则桥面离水面的高度

AC

为(

C

)A.5mB.4mC.2.25mD.1.25mC1234567891011121314151617181920【解析】∵

AC

⊥

x

轴，

OA

＝5m，∴点

C

的横坐标为－5.当

x

＝－5

时，

y

＝－0.01×(－5－20)2＋4＝－2.25，∴

C

(－5，－2.25).∴桥面离

水面的高度

AC

为2.25m.1234567891011121314151617181920

A.0B.2C.3D.4C1234567891011121314151617181920【解析】当

x

＋1＝－

x2＋2

x

＋3时，解得

x

＝－1或

x

＝2.其在同一直角

坐标系的大致图象如图.

把

x

＝2代入

y

＝

x

＋1，得

y

＝3，∴函数最大值为

y

＝3.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.已知抛物线

y

＝

x2＋

mx

＋

n

的图象经过点(－3，0)，(1，0)，则此抛

物线的顶点坐标是

⁠.

(－1，－4)

123456789101112131415161718192014.如图，抛物线

y

＝

ax2＋

bx

与直线

y

＝

mx

＋

n

相交于点

A

(－3，－6)，

B

(1，－2)，则关于

x

的方程

ax2＋

bx

＝

mx

＋

n

的解为

⁠⁠.第14题图x1＝－3，

x2＝1

123456789101112131415161718192015.[邯郸丛台区月考]如图，边长为1的正方形

ABCD

顶点

A

，

B

的

坐标分别为(0，1)，(1，1).一抛物线

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

过点

M

(－1，0)，

若顶点在正方形

ABCD

内部(包括在正方形的边上)，则

a

的取值范围

是

⁠.

第15题图1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

①②③

1234567891011121314151617181920

∵当

m

＝2时，此二次函数解析式为

y

＝2

x2－

x

，令

x

＝0，则

y

＝0，

∴函数图象过原点，故②正确；∵当

m

＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(8分)已知二次函数

y

＝

x2＋

bx

＋

c

的图象经过直线

y

＝

x

－4上的两

点

A

(

n

，－2)，

B

(1，

m

).(1)求

b

，

c

，

m

，

n

的值；1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920(2)判断点

C

(

m

，

n

)是否在这个函数图象上，并说明理由.解：(2)由(1)知，二次函数解析式为

y

＝

x2－2

x

－2，

C

(－3，2)，当

x

＝－3时，

y

＝(－3)2－2×(－3)－2＝9＋6－2＝13≠2.∴点

C

不在这个函数图象上.123456789101112131415161718192018.(8分)如图，二次函数

y

＝

ax2－2

x

＋

c

的图象与

x

轴交于点

A

(－3，0)和点

B

，与

y

轴交于点

C

(0，3).(1)求二次函数的解析式；

1234567891011121314151617181920(2)求点

B

的坐标，并结合图象写出当

y

＜0时，

x

的取值范围.解：(2)由(1)可知，二次函数的解析式为

y

＝－

x2－2

x

＋3，当

y

＝0时，－

x2－2

x

＋3＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3.∴点

B

的坐标为(1，0).根据图象可知，当

y

＜0时，

x

的取值范围为

x

＜－3或

x

＞1.123456789101112131415161718192019.(8分)如图，已知抛物线的顶点为

A

(1，4)，抛物线与

y

轴交于点

B

(0，3)，与

x

轴交于

C

，

D

两点，

P

是

x

轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；解：(1)∵抛物线的顶点为

A

(1，4)，∴设抛物线的解析式为

y

＝

a

(

x

－1)2＋4.把点

B

(0，3)的坐标代入，得

a

＋4＝3，解得

a

＝－1.∴抛物线的解析式为

y

＝－(

x

－1)2＋4.1234567891011121314151617181920(2)当

PA

＋

PB

的值最小时，求点

P

的坐标.解：(2)点

B

关于

x

轴的对称点B'的坐标为(0，－3)，如图，连接

AB

'，则

AB

'与

x

轴的交点为点

P

.

123456789101112131415161718192020.(8分)某社区将辖区内一块不超过1000平方米的区域进行美化.经调

查，美化面积为100平方米时，每平方米的费用为300元.每增加1平方

米，每平方米的费用下降0.2元.设美化面积增加

x

平方米，美化所需总

费用为

y

元.(1)求

y

关于

x

的函数解析式；解：(1)依题意，得

y

＝(100＋

x

)(300－0.2

x

)＝－0.2

x2＋280

x

＋30000.∴

y

关于

x

的函数解析式为

y

＝－0.2

x2＋280

x

＋30000.1234567891011121314151617181920(2)当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为多少元；解：(2)将

x

＝100代入

y

＝－0.2

x2＋280

x

＋30000，得

y

＝56000.∴当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为56000元.1234567891011121314151617181920

(3)当美化面积增加多少平方米时，美化所需费用最高？最高费用是多

少元？123456789101112131415161718192021.(8分)如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的

A

处射门，已知球门高

OB

为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物

线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的

竖直高度为3m.现以

O

为原点，建立平面直角坐标系如图所示.(1)求抛物线的解析式；2122

2122(2)通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；

2122

(3)已知点

C

在点

O

的正上方，且

OC

＝2.25m.运动员带球向点

A

的正后

方移动了

nm(

n

＞0)射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持

不变，且恰好在点

O

与点

C

之间进球(包括端点)，求

n

的取值范围.212222.(12分)[石家庄新华区模拟]如图，点

O

(0，0)，

A

(－4，－1)，

线段

AB

与

x

轴平行，且

AB

＝2，点

B

在点

A

的右侧，抛物线

l

：

y

＝

kx2

－2

kx

－3

k

(

k

≠0).(1)①该抛物线的对称轴为

⁠；x

＝1

②当0≤

x

≤3时，求

y

的最大值(用含

k

的代数式表示).

0≤

x

≤3，由题图，得

k

＜0，∴

x

＝1