世少赛九年级数学思维能力测评2021地区选拔赛真题含答案解析

七年级第4页七年级第5页七年级第6页七年级第1页七年级第2页七年级第3页九年级第1页九年级第2页九年级第3页2021-2022年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动（地方选拔）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计60分；第二部分：计算题，共计24分；第三部分：解答题，共计66分。2、答题前请将自己的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置。3、测评时不能使用计算工具。4、测评完毕时试卷和草稿纸将被收回。题号第一大题第二大题第三大题总分审核人得分九年级试题（本试卷满分150分，测评时间90分钟）得分评卷人一、填空题。（每题6分，共计60分）1、已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣2≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是__________。2、若a、b、c为实数，且，则代数式的最小值是__________。3、已知有理数x满足：，若的最小值为a，最大值为b，则ab=________。4、已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4。则的值为___________。5、今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______。6、如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______。第8题图第7题图第6题图第8题图第7题图第6题图7、如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______。8、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c＜0；②3a+c＜b2﹣4ac；③方程2ax2+2bx+2c﹣5＝0没有实数根；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）。其中正确结论的有_________。第10题图第9题图第10题图第9题图9、如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作射线AM，作点C关于AM的对称点D，连接BD并延长交AM于E，连接AD，CD．若BD＝2DE，ABD的面积为7，则四边形BACD的面积为_______。10、已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是____________m。（结果用含π的式子表示）得分评卷人二、计算题。（每题12分，共计24分）11、解方程：12、解方程组得分评卷人13、如图，△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，将△ABC绕点A旋转至△AEF，点E落在BC上，EF与AC交于点G，求∠FGC的度数。九年级第4页九年级第5页九年级第6页14、如图，中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，连接并延长交于点，交于点，连，若，（1）求的半径；（2）求弓形的面积；（3）若是的动点（不与、重合），求图中阴影部分面积的最大值。15、双十一购物节，快递骤增，快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？16、如图，将绕点C沿顺时针方向旋转90°得到，此时点B，D，E在同一直线上，设与交于点O，连接。（1）证明。（2）若，，求的长。17、已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BEAB。F为AC上一点，且CFAC，EF交AD于P。（1）求EP：PF的值。（2）求AP：PD的值。∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密封线内不要答题18、∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密封线内不要答题（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由。2021-2022年度世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动九年级参考答案一、填空题123456789103≤y2≤81315126°①②④6π二、计算题11、解方程：解：原方程化为，∴，∴，∴，解得x＝－4．经检验：是原方程的根，所以原方程的根为：12、解方程组令4x−7y=a，4x+7y=b，原方程组可化为，解得：，得，解得.三、解答题13、由旋转的性质，可知：AB＝AE，∠AEF＝∠ABC＝65°，∴∠AEB＝∠ABE＝65°．在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝87°；在△ABE中，∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝50°，∴∠EAG＝∠BAC﹣∠BAE＝37°．在△AEG中，∠EAG＝37°，∠AEG＝65°，∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝78°，∴∠FGC＝∠AGE＝78°．14、解：（1）如图，连接OA，∵中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，∴为三分之一圆周，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，∵OA=OE，∴△AOE为等边三角形，又∵AE=6，∴OA=OE=6，即半径为6；（2）如图，连接OB，AC，BC，由题意可知：AC=BC，OA=OB，∴CE垂直平分AB，∴AD=BD，E为弧AB的中点，∵∠AOD=∠BOD=60°，∴OD=AO=3，∴AD=，∴S△OAB=×AB×OD=，S弓形ACB=S△OAB+2S扇形OAC=+24π；（3）如图，过点O作OG⊥AE于点G，并反向延长，与圆O交于点F，此时△AEF的高最大，即面积最大，则此时阴影部分面积最大，在△OAE中，OA=OE=AE=6，AG=EG=3，∴OG=，∴FG=6+,∴S阴影的最大值=S△AFE+S扇形OAE-S△OAE=×6×（6+）+-×6×=18+6π.15、解：（1）根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人台，根据题意得：，解得：，因为，a为正整数，∴a的取值为2，3，4，∴该公司有3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，设该公司的购买费用为w万元，则，∵，∴w随a的增大而增大，当时，w最小，（万元），∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元。（1）∵绕点C顺时针旋转90°得到，∴，∴，∵，∴，∴．（2）过C作于F，由（1）知，∵，∴，∴，∵，∴，∴等腰直角三角形，∴，在中，，∴17、（1）分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则𝐹𝐹1𝐷𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐶=35，𝐸𝐸1𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐵=34，又BD＝CD，∴𝐹𝐹1𝐸𝐸1=45∴𝐸𝑃𝑃𝐹=𝐸𝐸1𝐹𝐹1=54；（2）设AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z，则𝑦𝑦+9𝑥+𝑧=35，𝑦+9𝑥𝑦+9𝑥+𝑧=34，解得y＝36x，z＝15x，∴𝐴𝑃𝑃𝐷=𝑦+4𝑥𝑧+5𝑥=40𝑥20𝑥=21．18、（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴为直线x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴BC＝2，∴S△ABC=12×2×3＝3．（3）如图1，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH＝AH＝3，HD＝m2﹣4m，PD＝m﹣1，∴S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，∴6=12×3×3+12×（3+m﹣1）×（m2﹣4m）−12×（m﹣1）×（3+m2﹣4m），解得：m1＝0，m2＝5，∵点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，∴m＞0，∴m＝5，﹣m2+4m＝﹣52+4×5＝﹣5，∴P（5，﹣5）；（4）点M在直线BH上，点N在x轴上，△CMN为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM＝MN，∠CMN＝90°，∵∠CBM＝∠MHN＝90°，∴∠CMB+∠NMH＝∠NMH+∠MNH＝90°，∴∠CMB＝∠MNH，∴△CBM≌△MHN（AAS），∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，∴M（1，2）；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点C作CD∥y轴，过点N作NE∥y轴，过点M作DE∥x轴交CD于点D，交NE于E，∵∠CMN＝∠CDM＝∠MEN＝90°，CM＝MN，∴∠CMD+∠NME＝∠NME+∠MNE＝90°，∴∠CMD＝∠MNE，∴△NEM≌△MDC（AAS），∴NE＝MD＝BC＝2，EM＝CD＝5，∵∠ENH＝∠NEM＝∠NHM＝90°，∴四边形EMHN是矩形，∴HM＝NE＝2，∴M（1，﹣2）；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN＝MN，∠MNC＝90°，过点M作ME