天津市东丽区百华实验中学2026-2027学年高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市东丽区百华实验中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x∈N|x≤11}，集合A={0,4,6,8,9,10}，B={x|3<x<15}，则(∁UA)∩B中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.52.设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=4x2eA. B.

C. D.4.设a=40.7，b=(14)−0.8，c=log0.70.8，则A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b5.已知角α的终边经过点P(2,1)，则cos2α=(

)A.25 B.35 C.−26.已知a，b均为正实数，则(a+1b)(b+4A.3 B.7 C.8 D.97.函数f(x)=tan(3x−π3A.(−π9,0) B.(−π18,0)8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，其图象的一个最低点是P(π6,−2)，距离P点最近的对称中心为(π4,0)，给出下面四个结论：①ω=3；②x=13π12是函数f(x)图象的一条对称轴；③x∈(−π6,0)时，函数f(x)单调递增；④f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到g(x)A.1 B.2 C.3 D.49.已知函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx+12(ω>0)在区间A.(512,1112] B.[二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若i为虚数单位，则复数3−i1+i=

．11.在(2x−1x)8的展开式中，x12.在△ABC中，已知AB=22，∠A=7π12，∠B=π6，则13.已知3m=6，n=log92，则2n−m=14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC−sinBsinA−sinB=ab+c，△ABC的面积S=3，则角C=

，边c15.已知函数f(x)=|x+1|,x≤0lgx,x>0，若方程3mf2(x)−(2m+3)f(x)+2=0有6个不同的实数解，则m的取值范围是三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=4，c=22，cosA=−24．

(1)求b和sinC的值；

(2)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2sin(x2+π3)，x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在[−π,π]上的最大值和最小值．

(3)已知sinα=18.(本小题15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B．(Ⅰ)证明：A=2B；(Ⅱ)若cos B=23，求19.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(π2−x)sinx−3cos2x．

(1)求f(x)的最大值以及相应的x值；

(2)讨论f(x)在[π20.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+msinx．

(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0,π)上单调递增，求正实数m的取值范围；

(Ⅲ)求证：当m=1时，f(x)在(−π,+∞)上存在唯一极小值点x0，且1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】1−2i

11.【答案】1792

12.【答案】2.

13.【答案】−1

14.【答案】π2

15.【答案】[1,316.【答案】解：(1)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：16=b2+8−2b×22×−24=b2+8+2b，

∴17.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=2sin(x2+π3)，x∈R，

可得f(x)的最小正周期T=2π12=4π；

(2)由于x∈[−π,π]，可得x2+π3∈[−π6,5π6]，

18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)，

由A，B∈(0,π)，

∴0<A−B<π，

∴B=A−B，或B=π−(A−B)，

化为A=2B，或A=π(舍去)．

∴A=2B．

(Ⅱ)解：cosB=23，∴sinB=1−cos2B=19.【答案】解：(1)f(x)=cosxsinx−3cos2x=12sin2x−32cos2x−32=sin(2x−π3)−32，

故f(x)的最大值为1−32，此时2x−π3=2kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ+5π12(k∈Z)；

(2)当x∈[π6,2π3]时，2x−π3∈[0,π]，

故当2x−π3∈[0,π20.【答案】解：(Ⅰ)当m=1时，f(x)=ex+sinx，f(0)=1，故切点为(0,1)，且设切线斜率为k，f′(x)=ex+cosx，

k=f′(0)=2，故切线方程为y=2x+1，

(Ⅱ)易知f′(x)=ex+mcosx，由已知得函数f(x)在(0,π)上单调递增，

故f′(x)≥0在(0,π)上恒成立，化简得m≤−excosx=g(x)，

易得g′(x)=−2exsin(x+π4)cos2x，

令g′(x)<0,x∈(0,3π4)，令g′(x)>0,x∈(3π4,π)，

故g(x)在(0,3π4)单调递减，在(3π4,π)单调递增，

(Ⅲ)证明：当m=1