2026-2027学年九上人教（新教材）期中测试卷（第25-30章）

第1页（共1页）九年级数学上学期期中模拟卷测试范围：新教材人教版九上全册：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转+圆+直线与圆的位置关系一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列选项中是一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（

）A．6 B．2 C．2或3 D．4或64．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．5．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（

）A． B．C． D．7．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．8．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（）A．小亮的求解不正确，或B．小亮的求解正确C．小亮的求解不正确，应该等于D．小亮的求解不正确，的度数不固定9．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（

）A． B． C． D．10．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程的解为_________．12．二次函数的最小值为__________．13．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________．14．若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______．15．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________．16．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程．18．（6分）如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．(1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求的长度．19．（6分）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线．20．（6分）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)直接写出方程的两个根；(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；(3)直接写出关于x的不等式的解集．21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值；(3)当时，直接写出的解集．22．（10分）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，．(1)求证：；(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．23．（12分）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．(1)请直接写出点的坐标；(2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离．24．（18分）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）．(1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值．(2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____．九年级数学上学期期中模拟卷测试范围：新教材人教版九上全册：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转+圆+直线与圆的位置关系一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列选项中是一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可．【详解】解：，或，解得：，．故选：C．2．下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0．【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式，A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义，B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义，C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义，D：含分式项，右边不是整式，不符合定义．3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（

）A．6 B．2 C．2或3 D．4或6【答案】C【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离，最大距离，∴直径，即半径为3；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离，最大距离，∴直径，即半径为2．故选：C．4．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果．【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求．对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求．对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求．对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求．5．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项．【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6，∴，故选：A．6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．【详解】解：∵，∴原抛物线的顶点坐标为，∵将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为，即新顶点坐标为，∵抛物线平移后二次项系数不变，∴平移后抛物线的解析式为．7．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可．【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；观察选项A、B，图象均不符合；②当时，则，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．8．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（）A．小亮的求解不正确，或B．小亮的求解正确C．小亮的求解不正确，应该等于D．小亮的求解不正确，的度数不固定【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键．本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可．【详解】解：当是锐角三角形时，如图，已知点O为的外心，连接，，此时是圆心角，是圆周角，且，即；当是钝角三角形时，如图，同样连接，，，此时可得，则四边形为圆的内接四边形，所以，总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或．故选：A．9．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标．【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接，，，，，，，，，∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点C的坐标为；则第2次旋转结束时，点C的坐标为；则第3次旋转结束时，点C的坐标为；则第4次旋转结束时，点C的坐标为；…发现规律：旋转4次一个循环，，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为．10．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【答案】B【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解．【详解】解：连接，，设的半径的长为r，∵与半圆相切于D，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴的半径的长为3．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程的解为_________．【答案】，【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：，因式分解得：，可得或，解得：，．12．二次函数的最小值为__________．【答案】【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值．【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，该二次函数的顶点坐标为，因此当时，二次函数取得最小值．13．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________．【答案】6【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键．根据直径是圆中最大的弦解答即可．【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，∵直径是圆中最大的弦，∴过P，O作圆的直径，则，，∴，∴圆的直径为，故答案为：6．14．若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______．【答案】9【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为，于是得到结论．【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为，∴正多边形的中心角为，∴该正多边形的边数为，故答案为：9．15．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________．【答案】【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围．【详解】解：点，在反比例函数的图象上，将点坐标代入解析式得，，，，即，解得：．16．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______．【答案】【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目．【详解】解：连接，∵点与点关于原点对称，的面积为7，∴，∴的面积为，∵点在反比例函数的图象上，轴，∴的面积为，∴的面积为，∵在反比例函数上∴，∵反比例函数在第二象限，∴．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程．【答案】，【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．【详解】解：，，，或，，．18．（6分）如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．(1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求的长度．【答案】(1)如图所示，即为所求(2)【分析】（1）作的垂直平分线交于点O，再以O为圆心，为半径作圆，与交于点Q，连接；（2）由勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】（1）解：略（2）解：由（1）可知，为的直径，，在中，，，，，是的中点，，，，，，即，．19．（6分）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线．【答案】证明：连接∵，∴∴∴∵∴∵点在上，∴为半径，∴直线是的切线．【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明．【详解】略20．（6分）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)直接写出方程的两个根；(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；(3)直接写出关于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．【详解】（1）解：由图象看，∵二次函数与x轴交于点，∴方程的两个根是，；（2）解：从图象看，当时，y随x的增大而增大；（3）解：从图象看，∵当或时，二次函数的图象在x轴∴不等式的解集是：或．21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值；(3)当时，直接写出的解集．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可．（2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案．（3）直接利用图象法求解即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数为，∵，∴，∵，∴，∴，把，代入，∴，解得：，∴一次函数为．（2）解：如图，∵，一次函数，反比例函数，∴，，∴，，∵，∴，解得：或，当时，此时不符合题意，综上：．（3）解：∵，∴结合图象可得：当时，的解集是．22．（10分）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，．(1)求证：；(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明：如图，连接，∵是的切线，∴∵，∴∴又∵∴∴∴；(2)，证明：如图，连接，过点作于点，∴由（1）可得又∵∴∴，∵∴，∴∴∴，即【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出；（2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证．【详解】（1）略（2）略23．（12分）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．(1)请直接写出点的坐标；(2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离．【答案】(1)(2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为：(3)【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标．（2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式．（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离．【详解】（1）解：为原点，为轴，，，点到的距离，，∴，∴，．