专题05最大值最小值必考的填空题精炼

2023年中考数学以三种题型出现必考（难点）压轴题27个小微专题精炼

专题05最大值最小值必考的填空题精炼

1.如图，先有一张矩形纸片AB=4,8C=8,点N分别在矩形的边力。，BC上,将矩形纸片

沿直线折叠，使点C落在矩形的边力。上，记为点尸，点。落在G处，连接PC,交MN于点0,连接

CM.下列结论：

@CQ=CD；

②四边形CMPN是菱形；

③P,彳重合时，A/N=2泥；

④△尸。M的面积S的取值范围是3WSW5.

其中正确的是—（把正确结论的序号都填上）.

【分析】先判断出四边形CH/E是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平

行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ=CO,得□△CMQg/XCMD,进而得NOCM=NQCA/=

N5C尸=30°,这个不一定成立，判断①错误；点。与点4重合时，设BN=x,表示出4N=NC=8-x,

利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN,判断出③正确；当MN过。点时，求得

四边形CMPN的最小面枳，进而得S的最小值，当尸与4重合时，S的值最大，求得最大值便可.

【解答】如图1，

，：PM〃CN,

二£PMN=NMNC,

「NMNC=4PNM,

，ZPMN=/PNM,

:.PM=PN,

*：NC=NP,

:.PM=CN,

♦：MP〃CN,

・•・四边形CNPM是平行四边形，

,:CN=NP,

・•・四边形CNPM是菱形，故②正确；

:.CPLMN,/BCP=/MCP,

・・・NA/QC=NZ)=9()”,

，：CP=CP,

若CQ=CD,则RtACMQ^ACA/D,

・・・NOCM=NQCA/=N8CP=3(r,这个不一定成立,

故①错误；

点P与点力重合时，如图2,

BNC

图2

设BN=x,则4V=NC=8・x,

在中，AB2+BN2=AN2,

即42+『=(8-A)2,

解得x=3,

・・・CN=8.3=5,^c=5/AB2+BC2=475,

•••CQ』C=2证，

・'QN=7CN2-CQ2=:V5,

.•・MN=20V=2泥.

故③正确;

图3

此时，CN最短,四边形CM/W的面积最小，则S最小为S常$菱形0网4><4乂4二小

当P点与力点重合时，CN最长，四边形CM/W的面积最大，贝JS最大为5=工乂5义4二5，

4

KW5,

故④错误.

故答案为：②③.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌

握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键.

2.若x、hz为实数，且F+Ny-z”,则代数式f-3卢^的最大值是

x-yH-2z=l

【答案】26

'x+2y-z=4①

【解析】

x"2z二1②

①■②得，尸1+z,

把y=1+z代入①得，x=2-z,

则-3/+/=(2-z)2-3(1+z)2+/=-/-10z+l=-(z+5),+26,

当z=5时，A2-3/+/的最大值是26,

故答案为：26.

3.二次函数y=-(x-6尸+8的最大值是一

【答案】8

【解析】利用二次函数的性质解决问题.

<。=-1<0,

••y有最大值,

当工=6时，y有最大值8.

【答案】72

【解析】过点C作C£_L48于E,交8。于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最知可知CE为

尸G+CG的最小值，当尸与点尸重合，。与G重合时，PQ+0C最小，在直角三角形8EC中，勾股定理即可

求解.

如图，过点C作CEUB于E,交BD于G,根据轴对称确定最短菖线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG

的最小值，当尸与点尸重令，。与G重合时，尸最小，

BPFC

•••菱形48C。的边长为2,ZABC=45°,

Rt.gEC中，EC=—BC=41

2

，产0+0。的最小值为及

故答案为：J5

【点睛】考查菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键.

7.如图，点尸是//0C的角平分线上一点，PD1OA,垂足为点。，且产。=3,点/是射线0C上一

动点，则的最小值为______.

【答案】3

【解析】根据垂线段最短可知当PM_LOC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案.

根据垂线段最短可知：当PMJ_OC^LPM最小，

当PM_L0C^4，

又70P平分NAOC,PD1OA,PD=3,

，PM=PD=3

故答案为：3

【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键.

8.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度

y（单位：加）与它距离喷头的水平距离x（单位：〃力之间满足函数关系式y=-*+4/1喷出水珠的最大

高度是____w.

【解析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度.

•・？=-2「+4x+l=-2（x-1）2+3,

・••当x=l时，），有最大值为3,

・••喷出水珠的最大高度是3〃?，故答案为：3.

9.如图，NMON=40",以。为圆心，4为半径作弧交OA7于点4,交ON于点儿分别以点4A为圆

心，大于上48的长为半径画弧，两弧在NMON的内部相交于点C,画射线OC交AB于点。，E为04上一

2

动点，连接4七，DE,则阴影部分周长的最小值为.

9

【解析】利用作图得到04=04=00=4,NBOD=NAOD=2。。，则根据弧长公式可计算出标的长度为

生，过8点关于的对称点凡连接QE交0M于,连接0凡如图，证明△OQ/为等边三角形得

9

到。户=4,接着利用两点之间线段最短可判断此时E'B+E'D囱值最小，从而得到阴影部分周长的最小值.

解：由作法得OC平分NMOMOA=OB=OD=4,

A^BOD=AX40°=20°,

22

.•・加的长度为兀X4&,

1809

过5点关于O"的对称点尸，连接。尸交。“于E',连接。凡如图,

：,OF=OB,ZFOA=ZBOA=40a,

：.OD=OF,

为等边三角形，

：,DF=OD=4,

,:E'B=E'F,

:・E'B+E'D=E'F+E'D=DF=4,

・•・此时£B+E'。的值最小，

・•・阳影部分周长的最小值为4+&.

9

故答案为4-&.

10.如图，在矩形力8。。中，48=8,BC=6,E,b分别是4%48的中点，/力。。的平分线交/出于

点G,点P是线段DG上的一个动点，则&PEF的周长最小值为_________.

【答案】5+历

【解析】在CO上取点〃，使DH=DE,连接£77,PH,过点/作尸K_LC。于点K,可得OG垂直平分

从而得到当点八P、"三点共线时，△PEr的周长最小，最小值为"+ER再分别求出所和“，即可

求解.

如图，在CD.上取点”,使DH=DE,连接PH,过点F作FKLCD于点、K,

在矩形/BCD中,ZA=ZADC=9Q",AD=BC=6,CD=AB=S,

•••ADEH为等腰直角三角形，

•••0G平:分/力。C,

••・0G垂直平分EH,

:・PE=PH,

：.APEF的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EFWF,

・•・当点/、P、〃三点共线时，△P£1/的周长最小，最小值为人H+ER

,:E,”分别是/。，的中点,

，心DE=DH=3,AF=4,

：,EF=5,

■:FK工CD,

：・NDKF=NA=/ADC=90°,

・•・四边形4。"为矩形，

：,DK=AF=4,FK=AD=6,

••・FH=dFK〜HK，=V37，

：・FH+EF=5+历，即△尸£尸的周长最小为5+历.

故答案为：5+历

【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点人

尸、〃三点共线时，的周长最小，最小值为FH+4是解题的关键.

11.如图，D是等边三角形Z8C外一点.若BD=8,CD=6,连接力。，则/。的最大值与最小值的差

为_____.

A

【解析】以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE,可证得△ECBgADCA从而得到BE=AD,再根据

三角形的三边关系即可得出结论.

如图1,以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE,

A

Si

VCE=CD,CB=CA,ZECD=ZBCA=60°,

AZECB=ZDCA,

AAECB^ADCA(SAS),

・・・BE=AD,

VDE=CD=6,BD=8,

86<BE<8+6»

A2<BE<14,

A2<AD<14.

・•.则ZQ的最大值与最小值的差为12.

故答案为：12

【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为

BE从而求解，是一道较好的中考题.

12.如图，在口力BCD中,ZB=60°,AB=IO,8C=8,点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长

至点F,使得。R以EC、EF为邻边构造口EbGC,连接EG,则EG的最小值为—

【答案】96.

【解析】连接FC,交EG于点0,过点D作DM//FC,交EG于点M,如图所示,

DF=-DE

4

4

DE=-EF

5

DM//FC,

△DEM^AFEO,

DMDEEM_4

~F0~~EF~~E0~~5,

DM//FC,

△DMN^ACON,

MNDM

~NO~~OC"

四边形ECGF是平行四边形,

CO=FO,

WDMA

~NO~~OF~~5

4

.g/EN—EO

EN-EM_5_4,A

EO-EN~EO-EN-5

9

・•・EO=-EN,

8

过点C作CH_LAB于点H,

在RtZ\CBH,ZB=60°,BC=8,

/.CH=BCsin60°=46

根据题意得，EG必过点N,当EN_LCD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，

•••EN=CH=45

.\EO=-x技

82

，EG=2EO=9JJ.故答案为：9g.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.

13.如图，E、尸分别是正方形力8C。的边力8、BC上的动点，满足力£=4凡连接CE、DF,相交于点G,

连接力G,若正方形的边长为2.则线段4G的最小值为一.

【答案】V2：

【解析】如图1，取C。的中点儿连接G",

在正方形力8c。中，AB=BC=2,/B=/DCF=90°,

,:AE=BF,

:,BE=CF,

在和中，

'CD=CB

<ZDCF=ZB，

CF=BE

:.△DCgXCBE(5J5),

：.NCDF=NBCE,

:NDCE+NBCE=90°,

；・NCDF+/DCE=90",

・・・NCGQ=90°,

.••点G在以。。为直径和圆上，

如图2,连接4C,BD交于点、O,取QC的中点〃，

由勾股定理得：AC=^22+22=1^2,

•:E、”分别是正方形力4。。的边力8、4c上的动点,

-----------------------7\B(E)

DHC(F)

图2

・••点G在以〃为圆心，C〃为半径的工圆上运动，当点G与。重合时，力G最小,

4

此时AG=AO=X4C=yJ~2^

即AG的最小值=血.

14.如图，AC,劭在/仍的同侧，AC=2,做=8,/48,点必为/18的中点，若NCM=120°,则切的最

大值是•

【答案】14

【解析】如图，作点A关于CM的对称点A',点B关于DM的对称点,证明AA'MB，为等边三角形,

即可解决问题.

如图，作点A关于CM的对称点A，,点B关于DM的对称点.

VZCMD=120°,

/.ZAMC+ZDMB=60°,

・・・NCMA'+NDMB'=60°,

AZA1MB*=60°,

TMA'=MB',

••・△A'MB'为等边三角形

■DWCA'+A'B'+B'I)=CA+AM+BD=2+4+8=14,

・・・CD的最大值为14,

故答案为14.

【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型.

15.如图，在边长为3的菱形力A。)中./4=60。，服是〃)边上的一点，且用W=_L"),/V是力《边上

的一动点，将沿MN所在直线翻折得到MN,连接，C.则4'。长度的最小值是

【解析】过点"作A/〃_LCO交CO延长线于点〃，连接CM,

•・7M=Xi。，AD=CD=3

3

：,AM=1,MD=2

VCD//AB,

"HDM=N4=60°

Z.//Z)=XWD=I,HM=J3HD=y/3

2

：,CH=4

A4/C=VMH2+CH2=^

•・•将△4WN沿MN所在直线翻折得到'MN,

„=4M=1,

・••点4在以，“为圆心，4W为半径的圆上，

・•・当点4在线段MC上时，4c长度有最小值

・・・/C长度的最小值=历。-忖4=57

故答案为：V19~1

16.如图，在菱形力8。。中，8C=2,NC=120°,0为48的中点，P为对角线8。上的任意一点，则4P+P0

的最小值为一.

D

Q.

---------------------r

【答案】V3.

【解析】如图，连接尸C.过点C作于〃.证明以=PC,可得%+为=尸。+?。2cH，解直角三

角形求出C”,可得结论.

如图，连