人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用第2课时向量的数量积学案

PAGE第2课时向量的数量积(2)【学习目标】1.理解平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算)2.能利用向量的数量积解决向量的模与夹角问题.(数学运算)3.能利用向量的数量积解决向量的垂直问题.(逻辑推理、数学运算)必备知识自主导学知识点1向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ;

(2)a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=−|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=a·(4)|a·b|≤|a||b|.[点睛]若a·b=0,则a=0或b=0,或a⊥b.知识点2向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).[点睛](a·b)c=a(b·c)不一定成立,因为a·b,b·c都是实数,则(a·b)c为与向量c共线的向量,(b·c)a为与向量a共线的向量,而向量a与向量c未必共线,所以不一定成立.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a2=b2,则a=b或a=−b.(×)提示:因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以还有可能|a|=|b|,不一定方向相同或相反.(2)(b·c)a−(c·a)b与c垂直.(√)提示:因为[(b·c)a−(c·a)b]·c=(b·c)·(a·c)−(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)a−(c·a)b与c垂直.(3)a,b为非零向量,若a⊥b,则|a+b|=|a−b|.(√)提示:先对|a+b|和|a−b|进行平方,然后利用题意可得a·b=0,从而得出结论正确.关键能力师生共研题型一向量数量积运算律的应用【典例1】(1)(2026·巴中高一检测)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为π3,则a·(a−b)=(A.7 B.1 C.4−33 D.4+33【解析】选B.因为a·(a−b)=a2−a·b=|a|2−|a||b|cosπ3=4−2×3×12(2)若四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则AE·EF=()A.−12 B.12 C.−32 【解析】选A.因为四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,所以AB·AD=2×2×cos60°=2.所以AE·EF=(AB+12AD)·12BD=12(AB+12AD)·(AD-AB)=12(12AB·【解题有招】关于向量数量积的运算律(1)利用向量数量积的运算律把要求的式子展开,将条件代入运算;(2)注意完全平方、平方差等公式在运算中的应用,可以起到简化运算过程的作用.【即学即练】1.设向量a,b的夹角的余弦值为−13,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b=(A.−23 B.23 C.−27 D.27【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cosθ=−13,因为|a|=2,|b所以a·b=|a||b|cosθ=2×3×(−13所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=−4+27=23.2.边长为2的等边三角形ABC的外心为O,则OA·AB=()A.−2 B.2 C.23 D.−3【解析】选A.取BC边的中点D,连接AD,因为O为边长为2的等边三角形的外心,所以AO=23AD=23×1所以OA=−13(AB+AC所以OA·AB=−13(AB+AC)·AB=−13(AB2+AC·AB)=−13(22题型二与向量模和夹角相关的问题(重点讲解)【典例2】(1)已知向量a,b满足|a|=6,|b|=2,(a−b)·b=1,则向量a,b夹角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选A.设向量a,b的夹角为θ,由(a−b)·b=1,得a·b−b2=1,即|a||b|cosθ−|b|2=1,因为|a|=6,|b|=2,所以23cosθ−2=1,解得cosθ=32,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°,即向量a,b的夹角的大小为30°(2)(2026·全国Ⅱ卷)已知|a+b|=1,|a−b|=3,则a·b=(A.12 B.13 C.−13【解析】选D.由|a+b|=1,得|a+b|2=1,所以(a+b)2=1,即a2+2a·b+b2=1;由|a−b|=3,得|a−b|2=3,所以(a−b)2=3,即a2−2a·b+b2=3两式相减,得4a·b=−2,所以a·b=−12【解题有招】1.求向量的模的关注点(1)依据:a·a=a2=|a|2或|a|=a2(2)策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2.2.向量的夹角(1)公式:cosθ=a·b|a||b|(2)注意:θ∈[0,π].【即学即练】1.已知|a|=1,|b|=2,|2a−b|=2,则<a,b>=()A.π6 B.π2 C.π3【解析】选C.由|2a−b|=2得4a2−4a·b+b2=4,又因为|a|=1,|b|=2,代入解得a·b=1,由cos<a,b>=a·b|因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π32.已知向量|a|=22,|b|=2,a·(a+b)=9,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=()A.12 B.22 C.24【解析】选D.因为a·(a+b)=9,即a2+a·b=9,又|a|=22,|b|=2,向量a与b的夹角为θ,所以(22)2+22×2cos题型三与向量垂直相关的问题(难点突破)【典例3】已知不共线的两个平面向量a,b满足|a|=3,|b|=4.(1)若a与b的夹角θ=π3,求|a+b(2)若(a+kb)⊥(a−kb),求实数k的值.【解析】(1)由题意,|a|=3,|b|=4,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+2|a||b|cosπ3+|b|2=32+2×3×4×12+42=37,所以|a+b|=(2)因为(a+kb)⊥(a−kb),所以(a+kb)·(a−kb)=0,即a2−k2b2=0,因为|a|=3,|b|=4,所以9−16k2=0,解得k=±34【解题有招】向量垂直问题的处理方法(1)依据:a⊥b⇔a·b=0;(2)方法:利用数量积的运算代入,结合向量的模、夹角相关的知识解题.【即学即练】已知非零向量