第四章图形的相似精讲精练

第4讲图形的相似第一节平行线分线段成比例一、知识点归纳1、比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2、更比性质(交换比例的内项或外项)：3、反比性质(把比的前项、后项交换)：．4、合、分比性质：．5、等比性质：如果，那么6、如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。二、课前预习1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵，DF＝DE+EF．∴，故选：D．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（）A．10 B． C．12 D．14【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，∵DE＝4，∴EF＝10，∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，故选：D．3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（）A．9：4 B．3：5 C．9：16 D．3：2【解答】解：∵DE∥BC，AD＝3，BD＝2，∴＝＝，故选：D．4．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（）A．10 B．11 C． D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得，EF＝，∴DF＝DE+EF＝，故选：D．三、典型例题例1、如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，AC：AE＝BD：BF＝2：7．故选：A．例2、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝．故选：B．例3、如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝CF，再利用平行线分线段成比例，由DE∥BC得到＝，然后利用比例性质得到＝，从而可得到DE的长．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∵AE：EC＝1：2，∴AE：AC＝1：3，∴＝，∴DE＝3．故选：C．例4、如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝3.6，故选：C．例题5、如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（）A．9 B．5 C．4 D．3【分析】由直线a∥b∥c，利用平行线分线段成比例可得出DE＝EF，结合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的长．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∴DE＝•EF＝EF．∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，∴EF＝5．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出DE＝EF是解题的关键．例6、如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．【解答】解：∵ME∥CD，∴＝，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．四、课堂作业1．（2020秋•三明期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E．若AB＝2，BC＝4，BD＝3，则线段BE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，BD＝3，∴，∴，解得：BE＝6，故选：C．2．（2021•禹州市一模）如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝6，故选：C．3．（2020秋•崂山区期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥AB，∴＝＝，∴＝．故选：A．4．（2020秋•清涧县期末）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．9【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AB＝BC，∴＝＝，∴＝，而DF＝9，∴EF＝5．故选：C．五、课后作业1．（2021•肥东县二模）如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（）A．AC•CE＝BD•DF B．AC•AE＝BD•BF C．AC•DF＝CE•BD D．CD2＝AB•EF【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴AC•DF＝BD•CE；AC•BF＝BD•AE．故选：C．2．（2020秋•开封期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（）A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，∴，∴，故选：A．3．（2020秋•成华区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴＝＝，∴＝＝故选：C．第二节相似多边形及性质一、知识点归纳一、相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.二、相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.三、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.二、课前预习1．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，∴＝，∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，∴＝，则A′D′＝．故选：B．2．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．3．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为＝1：2．故选：B．三、典型例题例题1、下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A．例2、下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形【解答】解：A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．例3、下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解答】解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；故选：D．例4、下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形 D．都有内角是100°的两个等腰三角形【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；不符合题意；B、都有内角是80°的两个等腰三角形，不一定相似，B错误；不符合题意；C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；不符合题意；D、都有内角是100°的两个等腰三角形，一定相似，D正确，符合题意；故选：D．例5、两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．例6、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为＝1：2．故选：B．四、课堂作业1．（2020秋•桂林期末）下列说法中，错误的是（）A．全等图形一定是相似图形 B．两个等边三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似【解答】解：A、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．故选：D．2．（2020秋•拱墅区期末）在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A．没有发生变化 B．放大了10倍 C．放大了30倍 D．放大了100倍【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．故选：B．3．（2020秋•海陵区期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个平行四边形 D．两个菱形【解答】解：A、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；B、任意两个等边三角形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；C、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意，D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；故选：B．4．（2020秋•麦积区期末）下列说法错误的是（）A．等边三角形都相似 B．矩形都相似 C．等腰直角三角形都相似 D．正方形都相似【解答】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，故选：B．五、课后作业1．（2020秋•徐汇区期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含30°角的直角三角形必相似【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．2．（2016秋•腾冲县期末）若两个相似六边形的周长的比是3：2，其中较大一个六边形的面积为81，则较小一个六边形的面积为．【解答】解：∵两个相似六边形的周长的比是3：2，∴它们的面积的比为9：4，∵较大一个六边形的面积为81，∴较小一个六边形的面积为81×＝36；故答案为：36．3．（2020秋•邵东市期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；⑤所有的圆都相似，正确．故答案为：②③⑤．第三节相似三角形的判定一、知识点归纳一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

三、直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.四、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、课前预习1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，则BC的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴，∵AB＝10，AE＝8，DE＝6，∴，∴BC＝，故选：D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2DB，DE＝2，则BC＝（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵AD＝2DB，∴．∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即，∴BC＝3．故选：D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵AD＝3，BD＝4，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝．故选：D．4．如图，DE是△ABC的中位线，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，＝，∴△BDE∽△BCA，∴＝（）2＝，∴＝，故选：B．三、典型例题例1、如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴与△BFD相似的三角形是△BDA，故选：C．例2如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．【分析】根据相似三角形的判定方法即可求出答案．【解答】解：设AB＝4，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°∴DF＝1，AE＝ED＝2，∴＝＝，∴△ABE∽△DEF．【点评】本题考查相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．例3、如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴＝，∴CD＝＝＝，（2）证明：∵＝＝，＝＝∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；例4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．【分析】由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBD，结合BD2＝BC•BE（即），即可证出△BCD～△BDE．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD～△BDE．例5、如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求证：△EBF∽△FCG．先根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF＝∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE+∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG．∵∠B＝∠C＝90°∴△EBF∽△FCG．例6、如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．四、课堂练习1．（2021•温江区校级模拟）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，且，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴BD＝EF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A不正确；∵，∴，故B不正确；∴DE＝BF＝CF，∵∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴，故C不正确；设DE与BC之间的距离为h，∴S△EFC＝，S四边形DBCE＝BF•h，∵DE＝BF＝CF，∴S四边形DBCE＝2S△EFC，即＝2，故D正确．故选：D．2．（2020秋•邵阳县期末）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4【解答】解：∵点D、E是AB的三等分点，∴，，∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，∴，，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故选：C．3．（2020秋•高邑县期末）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．6 C．4 D．4【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故选：C．4．（2021春•罗湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于F，若CD＝2DE，则等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵CD＝2DE，∴DE：CD＝1：2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DE：AB＝1：2，△DEF∽△ABF，∴＝（）2＝；故选：C．五、课后作业1．（2020秋•南浔区期末）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，∴＝，故选：A．2．（2021•铁岭模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴＝，故选：D．3．（2020秋•崇左期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AE：EC＝1：4，那么S△ADE：S△EBC＝（）A．1：24 B．1：20 C．1：18 D．1：16【解答】解：∵＝，∴＝，∴S△ABE＝S△EBC，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE＝4S△ADE，又∵S△BDE＝S△ABE﹣S△ADE，∴4S△ADE＝S△EBC﹣S△ADE，∴＝，故选：B．第四节相似三角形的综合应用一、课前预习1．（2020秋•涵江区期末）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（）A．90m B．60m C．100m D．120m【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△ABD∽△ECD，∴AB：CE＝BD：CD，即AB：30＝120：40，∴AB＝90，即这条河的大致宽度是90m．故选：A．2．（2020秋•亭湖区校级期末）张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（）米．A．3.2 B．4.8 C．5.2 D．5.6【解答】解：设这棵树高度为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得：h＝4.8．故选：B．3．（2020秋•化州市期末）小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是．【解答】解：设教学楼高度为xm，列方程得：解得x＝19.2，故教学楼的高度为19.2m．故答案为：19.2m．二、典型例题例1、如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．5m B．6m C．125m D．4m【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴＝，∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，∴EF＝＝＝5（m）．故选：A．例2《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50 B．45 C．5 D．4.5【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出＝，再解即可．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：＝，解得：x＝45，答：竹竿的长度为45尺，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．例3、如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A．18m B．15m C．20m D．16m【分析】利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB．【解答】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AB＝15米．故选：B．例4、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（）A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝18.4，∴AC＝20，∴，∴CD＝15．故选：B．例5、如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：构造几何模型如图：依题意知DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米，由△DAE∽△BAC得＝，即＝，得BC＝1.8，故S圆＝（BC）2•π＝（）2•π＝0.81π，故选：B．例6、已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，∴Rt△ACE∽Rt△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝6m．故选：A．二、课堂练习1．（2021•江川区模拟）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（）A．6.4m B．7m C．8m D．9m【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得＝，h＝8米．故选：C．2．（2021•河北区模拟）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC＝7m，故树的高度为7m．故选：A．3．（2020•吉林四模）小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米．则电线杆AB长＝米．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB＝CD：AB，∴2：6＝1.5：AB，∴AB＝4.5米．答：电线杆AB长为4.5米．四、课后作业1.（2021•乌苏市二模）在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为10米．【解答】解：∵＝＝，∵CE＝2，∴CD＝4，∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．∴AB＝BD＝×20＝10米．故应填10．2.（2020•吉林四模）小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上）