二次函数精讲精练

二次函数精讲精练目录TOC\o"1-1"\h\u15800二次函数精讲精练 113786第一节二次函数的定义 115026第二节二次函数的图象与性质 69631第三节二次函数的解析式 1429931第四节二次函数的图象与系数的关系 258576第五节二次函数与一元二次方程 3611339第六节二次函数与一元二次不等式 4231355第七节列二次函数关系 559126第八节二次函数解决实际问题 633743第九节二次函数与几何综合 73二次函数精讲精练第一节二次函数的定义一、知识点归纳一、二次函数的定义：一般地，如果（是常数，），那么叫做的二次函数.

要点诠释：当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。二、课前预习1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1【解答】解：A．是二次函数，故本选项符合题意；B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A．2．下列关于x的函数一定为二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3+x+1【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，故此选项符合题意；C、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；D、x的最高次数是3，故不是二次函数，故此选项不合题意；故选：B．3．（2020秋•普陀区期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ C．y＝x（x+1） D．y＝（x+2）2﹣x2【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝x（x+1）＝x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．三、典型例题精讲精练例题1、下列函数属于二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x+5【分析】直接利用二次函数以及一次函数、正比例函数、一次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、y＝﹣3x2+1，是二次函数，符合题意；B、y＝，是正比例函数，不合题意；C、y＝，是反比例函数，不合题意；D、y＝2x+5，是一次函数，不合题意．故选：A．练习1、下列函数中①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y＝④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y＝④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有：②y＝4x2﹣3x；④y＝﹣2x2+5，故选：B．练习2、下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．例题2、若是以x为自变量的二次函数，则a＝______．【分析】根据二次函数定义可得：|a|＝2，且a+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．练习1、若函数是二次函数，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．练习2、如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是_______．【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故答案为：0．四、课堂作业1．下列函数：①y＝x2+x+1，②y＝2x2，③，④y＝x2+x﹣1．其中是二次函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①这里a＝1，b＝1，c＝1，符合题意；②这里a＝2，b＝0，c＝0，符合题意；③不是整式，不符合题意；④根据负指数幂a﹣p＝（a≠0）可知，x﹣1＝，不是整式，不符合题意．故选：B．2．已知二次函数，则m的值为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，故选：A．3．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数【解答】解：∵函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，∴m+3≠0，解得：m≠﹣3，故选：C．4．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：A．五、课后作业1．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（）A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，解得：m＝3，故选：C．2．当函数是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1【解答】解：∵是二次函数，∴a﹣1≠0，a2+1＝2，解得，a＝﹣1，故选：D．3．下列函数：①；②；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．第二节二次函数的图象与性质一、知识点归纳一、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时，开口向上

当时，开口向下(轴)(0，0)(0，)(，0)(，)（）抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.越大，开口方向越小。平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.二、课前预习1．抛物线的y＝x2﹣2x的对称轴为直线（）A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2【解答】解：根据题意可知，抛物线的y＝x2﹣2x的对称轴为x＝﹣＝﹣，故选：D．2．抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），故选：D．3．下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（）A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣x2+1【解答】解：A、y＝﹣（x+1）2+1，对称轴是直线x＝﹣1，故此选项不合题意；B、y＝（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；C、y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；D、y＝﹣x2+1对称轴是y轴，符合题意．故选：D．4．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（）A．该函数图象的对称轴在y轴左侧 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．函数图象开口朝下 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴【解答】解：A、y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；B、因y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；C、a＝＞0，开口向上，故C不符合题意；D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；故选：A．三、典型例题精讲精练例题1、二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案．【解答】解：二次函数的图象的开口向上、对称轴为直线x＝4、顶点坐标为（4，5），故选：A．练习1、已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴该抛物线的顶点坐标是（2，7），故选：B．练习2、下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＝时，y有最小值是﹣ D．在对称轴左侧y随x的增大而增大【分析】利用二次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝时，y＝﹣，∴当x＝时，y有最小值是﹣，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．例题2、把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．故选：C．练习1、平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位 B．向上平移3个单位 C．向右平移3个单位 D．向下平移3个单位【分析】把已知抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律得到答案．【解答】解：由y＝﹣（x﹣1）（x+3）得到：y＝﹣（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．B、向上平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+7，当x＝0时，y＝6，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意．C、向右平移3个单位后的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．D、向下平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．故选：B．练习2、将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是y＝x2+1，则原抛物线的表达式是（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+8x+17【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式为y＝x2+1，抛物线y＝x2+1，左移2个单位，下移1个单位得原函数解析式y＝（x+2）2+1﹣1，即y＝x2+4x+4故选：B．练习3、抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝2x2﹣3x﹣3【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．四、课堂练习1．对于抛物线y＝ax2+（1﹣a）x+3，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣（1﹣a）+3＜0，∴a＜﹣1，∴﹣＝﹣＞0，＝＞0，∴这条抛物线的顶点一定在第一象限，故选：A．2．已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）A．m≤ B．m＜﹣ C．m＞ D．m≤【解答】解：∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，∴对称轴为x＝﹣＝，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴≤1，解得m≤，故选：D．3．下列关于二次函数y＝4（x﹣3）2﹣5的说法，正确的是（）A．对称轴是直线x＝﹣3 B．当x＝3时有最小值﹣5 C．顶点坐标是（3，5） D．当x＞3时，y随x的增大而减少【解答】解：由二次函数y＝4（x﹣3）2﹣5可得对称轴为直线x＝3，顶点为（3，﹣5），当x＞3时，y随x的增大而增大，则A、C、D错误，故选：B．4．已知二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5（t为常数），在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则t的值为（）A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．﹣1或7【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝t，函数图象开口向下，该函数有最大值5，∵2≤x≤4，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，∴当t＜2时，x＝2时，y＝﹣（2﹣t）2+5＝﹣4，解得t1＝﹣1，t2＝5（舍去）；当2≤t≤4时，该函数的最大值是5，与题意不符；当t＞4时，x＝4时，y＝﹣（4﹣t）2+5＝﹣4，解得t3＝1（舍去），t4＝7；由上可得，t的值是﹣1或7，故选：D．五、课后作业1．抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+x+2＝（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），∴点（3，c）离直线x＝﹣最远，（﹣1，b）离直线x＝﹣最近，而抛物线开口向上，∴c＞a＞b；故选：A．2．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．1 B． C．﹣ D．﹣【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a＝﹣，故选：D．3．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，则满足条件的m的最小整数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵y＝a（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为x＝2，函数的最值为1，∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，∴抛物线开口向上，∵m＞0，∴0＜m＜2m+1，当0＜m＜2时，则2﹣m＜2m+1﹣2，解得m＞1，当m＞2时，2m+1﹣2＞2﹣m，解得m＞1，∵1＜y1＜y2，∴m≠2，∴满足条件的m的最小整数是3，故选：C．解法二：解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，∴抛物线开口向上，即a＞0，∵m＞0，∴0＜m＜2m+1，∵1＜y1＜y2，∴y1﹣y2＝a（m﹣2）2+1﹣[a（2m+1﹣2）2+1]＝﹣3a（m+1）（m﹣1）＜0，∵a＞0，m＞0，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∵1＜y1＜y2，∴m≠2，∴满足条件的m的最小整数是3，故选：C．4．已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）A．1或﹣2 B．﹣或 C．﹣2 D．1【解答】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．故选：C．第三节二次函数的解析式一、知识点归纳(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二、课前预习1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，故选：D．2．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+3+1＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣（x+1）2+4．故选：B．3．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．故选：C．4．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2【解答】解：∵抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），∴c＝1，∴抛物线的解析式为y＝2x2+1，故选：A．5．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为．【解答】解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，得3＝a×12，解得a＝3，所以该抛物线的解析式为y＝3x2．故答案为：y＝3x2．三、典型例题精讲精练例题1、将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣5，＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，＝﹣（x﹣2）2﹣1．故选：D．练习1、把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝____________．【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴h＝2，k＝1，∴h+k＝2+1＝3．故答案为：3．练习2、顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是__________．【分析】设抛物线的顶点式，y＝a（x﹣h）2+k，确定h、k、a的值即可．【解答】解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，例题2、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：把点A（1，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣2）的坐标分别代入y＝ax2+bx+c得：解得：∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣2∴抛物线y＝2x2﹣2顶点坐标为（0，﹣2）练习1、若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，把点（3，1）代入得出1＝a（3﹣2）2+3，求出a即可．【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，∵经过点（3，1），∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣2，即y＝﹣2（x﹣2）2+3．故选：B．练习2、已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2【分析】由题意知二次函数经过点（﹣1，0），（2，0），即可设两点式即可【解答】解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得2＝﹣2a，解得a＝﹣1故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）整理得：y＝﹣x2+x+2故选：D．四、课堂练习1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），∴，解得，∴该抛物线的解析式为y＝．故选：D．2．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表，则二次函数的解析式为．x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；故答案为：y＝x2﹣2x﹣8．3．（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，配方得：（x﹣2）2＝5．所以．解得x1＝2+，x2＝2﹣．（2）配方得：y＝（x+1）2+2，顶点坐标（﹣1，2），开口向上，则该函数最小值为2．五、课后作业1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，故选：B．2．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．3．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是．【解答】解：设所求抛物线是y＝ax2+bx+c，根据题意得，，解得，故所求函数解析式是y＝2x2﹣8x+6．故答案是y＝2x2﹣8x+6．综合练习一．填空题（共5小题）1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．故答案是：y＝（x+2）2﹣3．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有③④⑤（只填序号）．【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴的交点有两个，∴b2﹣4ac＞0，②错误；③∵，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值，∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；⑤∵对称轴x＝﹣1，∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，∴ax12+bx1＝ax22+bx2，∴结论⑤正确．综合以上可得：③④⑤．3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤2．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，∴m≤2．故答案为：m≤2．4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．故答案为y＝（x﹣1）2+3．5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝2．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．故答案为：2．二．解答题（共3小题）6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a•2•（﹣2），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．把A（﹣1，0），C（2，3）代入，得，解得，∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ×3＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，△APC的面积最大，最大值为．8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，根据题意可得20（x+2）+30x＝340，解得x＝6，x+2＝8，答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，根据题意可得，，解得60＜m≤80，∵m为整数，∴m的值为61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80，∴进货方案有20种；②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，∵1.5＞0，∴W随m的增大而增大，且60＜m≤80，∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．第四节二次函数的图象与系数的关系一、知识点归纳抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线；①当时，对称轴为轴；②(即同号)时，对称轴在轴左侧；③(即异号)时，对称轴在轴右侧.（即左同右异）(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置；当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)。

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.二、课前预习1．如图，二次函数图象的对称轴是x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．2a+b＝0 D．b2﹣4ac＜0【解答】解：A、根据开口向下，a＜0，故A错误．不符合题意．B、抛物线交y轴的正半轴，故c＞0，故B错误，不符合题意．C、对称轴x＝1，，故2a+b＝0，故C正确，符合题意．D、抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，故D错误，不符合题意．故选：C．2．二次函数的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．故选：D．3．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是．【解答】解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，∴对称轴为x＝0，∵x1＜x2，要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，∴a＞0，故a的取值范围是：a＞0．三、典型例题精讲精练例题1、已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误，不符合题意；②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，故③正确，符合题意；④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0正确，符合题意；故选：C．例题2、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），其中正确的结论有（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【分析】①根据抛物线的开口方向确定a的符号，对称轴在y轴左侧确定b的符号，抛物线与y轴的交点位置确定c的符号即可；②根据x＝﹣1时y的取值范围即可判断；③根据x＝2时y的取值范围即可判断；④根据选择题的筛选法和①②③的判断即可知选项．【解答】解：①根据图象可知：a＜0，c＞0，对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∴abc＜0．∴①正确；②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．∴②错误；③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0．∴③错误．∴选项A、B、D都错误．故选：C．练习1、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），有下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为x＝可得出b＝﹣a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b＝﹣a可得出a+b＝0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（﹣，），由此可得出＝1，去分母后即可得出4ac﹣b2＝4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x＝1与x＝0时y值相等，由此可得出a+b+c＝c＞0，④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②∵b＝﹣a，∴a+b＝0，②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴＝1，∴4ac﹣b2＝4a，③正确；④∵抛物线的对称轴为x＝，∴x＝1与x＝0时y值相等，∵当x＝0时，y＝c＞0，∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误．综上所述：正确的结论为①②③．故选：C．练习2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（）A．①③ B．② C．②④ D．③④【分析】①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；②根据对称轴的x＝1来判断对错；③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；④根据对称轴x＝1来判断对错．【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；综上所述，正确的结论为②④．故选：C．练习3、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①a＞0，②a+b+c＝2，③bc＜0，④a﹣b+c＞0，正确的有（）A．①④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【分析】根据函数的图象的开口向上，即可判断①，把（1，2）代入函数解析式，即可判断②；根据函数的对称轴即可求出b＞0，根据函数图象与y轴的交点的位置求出c＜0，即可判断③，把x＝﹣1代入函数解析式，即可判断④．【解答】解：抛物线开口向上，则a＞0，因此①正确；抛物线过（1，2），代入得，a+b+c＝2，因此②正确；对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，而a＞0，则b＞0，∵二次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴bc＜0，因此③正确，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，因此④不正确；故选：B．练习3、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据图象的开口可确定a．再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵x＝﹣＞0，∴b＞0，∵图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x＝﹣＜1，a＜0，∴b＜﹣2a，∴2a+b＜0，故②正确；∵当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵图象和x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，故④错误．故选：C．四、课堂作业1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：开口向上则a＞0，与y轴交点在原点下方，c＜0，故①正确；对称轴为x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），则点（﹣1，a﹣b+c）在x轴下方，故②正确；x＞2时，图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，故③正确；图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；故选：D．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0．当x＝0时，y＝c＞0，∴abc＜0，①错误；②当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，②错误；③∵抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，∵当x＝0时，y＝c＞0，∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，∴△＝b2﹣4ac＞0，④正确．综上可知：成立的结论有2个．故选：B．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，由于抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0；则2a+b＞0，abc＜0；∴①正确，∴③错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确．故选：B．课后作业1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1，给出下列四个结论：①b2＜4ac；②b＝2a；③abc＞0；④3a+c＞0．其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①不正确；②如图所示，对称轴x＝﹣＝﹣1，则b＝2a，故②正确；③抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝2a＞0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以abc＜0，故③不正确；④当x＝1时对应的函数图象在x轴上方，即y＞0，∴a+b+c＞0，而b＝2a，∴3a+c＞0，故④正确；综上所述，正确的结论个数为2个．故选：B．2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，∴y1＝y2，所以④不正确．故选：A．3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．第五节二次函数与一元二次方程一、知识点归纳函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

（1）当时，方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与轴有两个交点；（2）当时，方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与轴有且只有一个交点；（3）当时，方程没有实根，这时二次函数的图象与轴没有交点。二、课前预习1．直线y＝x+2m经过第一，三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【解答】解：∵直线y＝x+2m经过第一，三、四象限，∴2m＜0，又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，∴抛物线与x轴无交点．故选：A．2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），故选：B．3．抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（）A．﹣3，﹣4 B．3，4 C．﹣3，4 D．3，﹣4【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）知，该抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，﹣4．故选：D．三、典型例题精讲精练例题1、已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______________．【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，∴，解得：k＞﹣1且k≠0．故答案是：k＞﹣1且k≠0．例题2、已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．故选：A．练习1、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（）A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣3，x2＝1．故选：A．练习2、抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对【分析】让函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．0＝﹣x2+2kx+2，△＝b2﹣4ac＝4k2+8＞0，∴方程有2个不相等的实数根，∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，故选：C．练习3、二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】方法一：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣7，∴a＞0．﹣＝﹣7，即b2＝28a，∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4am≥0，即28a﹣4am≥0，解得m≤7，∴m的最大值为7，方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，由图象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，∴m的最大值为7，故选：B．练习4、二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．9【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．【解答】解：由图象可得，二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，∴﹣m≥﹣3，解得，m≤3，∴m的最大值是3，故选：A．四、课堂作业1．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（）A．3 B．6 C．9 D．18【解答】解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．故选：B．2．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2，故选：A．3．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为．【解答】解：物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为：x＝﹣1或3，故答案为：﹣1或3．五、课后作业1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A．5 B．7 C．12 D．﹣7【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴，解得：，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，△＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．2．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣1 B．2 C．25 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16，∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．第六节二次函数与一元二次不等式一、知识点归纳一元二次不等式解法步骤：先看不等式对应的一元二次方程根的情况；再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。二、课前预习1．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，∴点A（0，3），当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点B（3，0），∴等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3，故答案为0＜x＜3．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．故答案为：﹣3＜x＜0．3．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是．【解答】解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．故答案为x＜﹣2或x＞8．三、典型例题精讲精练例题1、下表时二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：x…012…y…﹣1m﹣1n…则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．③④【分析】由图表可得二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，a＞0，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣1；当x＝，y＝﹣；当x＝，y＝﹣；∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．∴a＞0即二次函数有最小值则①④错误由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；故选：A．例题2、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，故选：D．练习1、已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）（1）求二次函数的解析式；（2）在图中，画出二次函数的图象；（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．【分析】（1）根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），可以求得该函数的解析式；（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；（3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当y≤0时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），∴，得，即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向上，过点（﹣1，0），（3，0），（0，3），（2，3），该函数图象如右图所示；（3）由图象可得，当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．练习2、二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．练习3、二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为________．【分析】利用二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x＝4，利用抛物线的对称性得到x＝2和x＝6对应的函数值相等，由于抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，所以只有x＝2和x＝6时，y＝0，然后把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4中可求出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，∴x＝2和x＝6对应的函数值相等，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴x＝2和x＝6时，y＝0，即抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（6，0），把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得a（2﹣4）2﹣4＝0，解得a＝1．故答案为1．练习4、“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根可得出二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．四、课堂练习1．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，解得m＝﹣1，∴y＝（x+2）2﹣1，当x＝0时，y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，∴点B坐标为（﹣4，3）．（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．（1）求A，B两点的坐标．（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，把点C（0，3）代入，得3＝a+4，解得a＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝0时，解得x＝1或x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，∴D（﹣2，3），由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜﹣2或x＞1．五、课后作业1．抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是．【解答】解：∵y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，∴抛物线向左平移3个单位得到y＝（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c，∴A（﹣1，t），B（5，t）的对应点为（﹣4，t）、（2，t），∵a2+2＞0，∴抛物线开口向上，∴（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c＞t，即（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是x＞2或x＜﹣4．故答案为x＞2或x＜﹣4．2．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．3．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．故答案为：x≤0或x≥6．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（）A．4 B．2 C．6 D．9【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，故选：A．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，∴m＝0或m＞5．故选：C．3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．当a＝2时，经过坐标原点O C．抛物线与x轴无公共点 D．不论a为何值，都过定点【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．故选：C．4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m【解答】解：如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，故选：A．5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，∴△＝b2﹣4＝0，解得b＝±2，故选：B．二．解答题（共4小题）6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．（1）b＝4a；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；【解答】解：（1）由题意得：抛物线的x＝＝﹣2解得b＝4a，故答案为：4a；（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解∴△＝b2﹣4ac≥0即：（﹣4）2﹣4×（﹣1）•c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c在﹣3＜x＜1的范围内有交点当x＝﹣2时y＝﹣4；当x＝1时，y＝5故可得：﹣4＜c＜57．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．【解答】解：（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．故k的值为﹣4．（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．（3）如图，∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．∴顶点M为∴△ABM的高为∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，∴S△ABM＝，故△ABM的面积为．8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，∴C1的顶点坐标为（0，0），根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，解得，x1＝﹣3，x2＝1，∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．