2025高考函数与导数

试卷第=page22页，共=sectionpages1919页试卷第=page11页，共=sectionpages1919页2025高考函数与导数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2025·北京高考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）A【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象.故选A.2．（2025·上海·高考）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且D【解析】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选D3．（2025·天津高考）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．B【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选B.4．（2025·天津高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．D【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选D5．（2025·新高考Ⅰ卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．A【解析】由题知对一切成立，于是.故选A.6．（2025·北京高考）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选A.7．（2025·北京高考）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40hB【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选B.8．（2025·新高考Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．B【解析】法一：设，所以令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选B．法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选B．二、多选题8．（2025·新高考Ⅱ）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点ABD【解析】对于A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对于B，当时，，则，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确.故选ABD.三、填空题9．（2025·新高考Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则.【解析】因为，所以，假设与的切点为，则，解得.10．（2025·新高考Ⅱ卷）若是函数的极值点，则【解析】因为，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意.所以.11．（2025·北京高考）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：①存在在上单调递增的函数使得恒成立；②存在在上单调递减的函数使得恒成立；③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．其中正确结论的序号是．②③【解析】对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确；对于③，取，此时，由可得有无穷多个，故③正确；对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，故④错误.12．（2025·天津高考）若，对，均有恒成立，则的最小值为【解析】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.四、解答题13．（2025·上海高考）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围.【解析】（1）因为，故，故，故，故，即为，设，则，故在上为增函数，而，即为，故，故原不等式的解为.（2）在有极大值即在有极大值点.，若，则当时，；当时，，故为的极小值点，无极大值点，不合题意.若，即，则当时，；当时，，故为的极大值点，符合题意.若，则时，，无极值点，不合题意.若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求.综上，且.14．（2025·新高考Ⅱ卷）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数·证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．【解析】（1）由题意，得，因为，所以，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，，令，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上存在唯一极值点，对函数有在上恒成立，所以在上单调递减，所以在上恒成立，又因为，时，所以时，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.（2）（i）由（1）知，则，，，则.，，即在上单调递减.（ii），证明如下：由（i）知：函数在区间上单调递减，所以，即，又，由（1）可知在上单调递减，且对任意，所以.15．（2025·上海高考）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【解析】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得（3）（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.16．（2025·北京高考）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．【解析】（1）设，，由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为.（2）因为，所以直线的方程为，即，设，则，由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，而当时，，所以总有，单调递增故，从而命题得证；（3）解法一：由题意，直线，直线，所以，，当时，，在上单调递增，所以，所以，由（1）可得当时，，所以，所以.解法二：由可设，又，所以，即，因为直线的方程为，易知，所以直线的方程为,，.所以,由（1）知,当时，，所以,所以.17．（2025新高考Ⅰ卷）（1）设函数,求在的最大值；（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；（3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值．【解析】（1）法1：，因为，故，故，当时，即，当时，即，故在上为增函数，在为减函数，故在上的最大值为.法2：我们有.所以：.这得到，同时又有，故在上的最大值为，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解；故存在，使得，法2：由余弦函数的性质知的解为，若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：记，因为，故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.当时，，当时，，此时，令，则，而，，故，当，在（2）中取，则存在，使得，取，则，取即，故，故，综上，可取，使得等号成立.综上，.法2：设.①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.所以对任意恒成立，这直接得到.设，则根据恒成立，有所以均不超过，再结合，就得到均不超过.假设，则，故.但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.所以假设不成立，这意味着.②另一方面，若，则由（1）中已经证明，知存在，使得.从而满足题目要求.综合上述两个方面，可知的最小值是.18．（2025·天津高考）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．【解析】（1）当时，，，则，则，且，则切点，且切线的斜率为，故函数在点处的切线方程为；（2）（i）令，，得，设，则，由解得或，其中，