北师大版数学 寒假作业12 整式的乘法（知识预习+达标检测） 试卷 含答案

整式的乘法【题型1单项式乘单项式】【题型2单项式乘多项式】【题型3多项式乘多项式】【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【题型5多项式乘多项式的实际应用】考点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)2xy2⋅−3xy4；(2)【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)−2m2n3⋅【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：−2a【变式1-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算−x4⋅x3；(3)0.1252024×82025；考点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)5mm−n+2；(2)−2x(3)3x23x2【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：−【变式2-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算．(1)6ab2a2b−1(3)4m+2(m−2n)；(4)(2x)3【变式2-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算：(1)12ab(2a−23b)考点4：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：2a+1a−3．(2)3x−1(3)x−1x+3【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：x+5y【变式3-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）计算：5x+2y3x−2y【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：−3x+9⋅【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式4x+1ax−3+x(1)求a，b的值．(2)求a2023【变式4-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知mx−32x+n的展开式中不含x项，常数项是−6(1)求m，n的值．(2)求m+nm【变式4-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于x的代数式x+2mx2−x+12(1)求m，n的值；(2)求代数式m2023【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若x2+x−13p(1)求p，q的值；(2)求代数式−p【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到a+2ba+b左=a+2ba+b表示长为a+2b，宽为右=a2+3ab+2b2表示1块边长为a的正方形面积、3块长为a，宽为b

(1)写出图2中所表示的数学等式：______；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，有一块边长为(m+3n)米和(2m+n)米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为(m+2n)米，宽为(m+n)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．

(1)请用含m和n的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要化简）(2)若m=10,n=20，求休息区域的面积．【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为50cm，宽为35cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为

(1)求图中阴影部分的面积为S（用含x的代数式表示，要求化简）．(2)当x=10cm【变式5-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明计划用三种拼图将长为(5a+20b)米，宽为(3a+15b)米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下：(1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？(2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费．一、单选题1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算a·−2a3A．−2a2 B．−2a4 C．2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将x+mx−8展开的结果中不含x的一次项，则m的值为（

A．8 B．−8 C．0 D．8或−83．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式5x2−y变形为5A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若x+4x−5=x2+mx−20A．−9 B．1 C．−1 D．95．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为5m，宽为3m的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为xmA．2x2−11x+15C．4x2+10x−6二、填空题6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若x+2x−3=x27．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了a+bnn=1,2,3,⋅⋅⋅以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，a+bn展开式的系数和是8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为2a+3b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张．三、解答题9．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算：(1)x⋅x5+10（24-25八年级上·北京·期中）计算：−a2b2(3)x−3yx+y11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：3a+5b，宽：4a+2b，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米．(1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）；(2)若a=2，b=1，求出草坪总面积．

整式的乘法【题型1单项式乘单项式】【题型2单项式乘多项式】【题型3多项式乘多项式】【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【题型5多项式乘多项式的实际应用】考点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)2xy2⋅−3xy4；(2)【答案】(1)−6(2)−56(3)5【分析】本题主要查了单项式乘以单项式，积的乘方：（1）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解；（2）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解；（3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，即可求解．【详解】（1）解：2xy（2）解：−7a（3）解：5m【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)−2m2n3⋅【答案】(1)﹣2m8n7(2)10【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．（1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可；（2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法．【详解】（1）解：原式＝−8=−2m（2）解：原式＝5ab⋅＝5×＝109【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：−2a【答案】−12【分析】本题主要考查整式的乘法．根据单项式乘以单项式的运算法则即可求出答案．【详解】解：−2=−12=−12a【变式1-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算(1)−x4⋅x3；(3)0.1252024×82025；【答案】(1)x(2)−8(3)8(4)2【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用以及单项式乘单项式，掌握相关运算法则进行运算，即可解题．（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解；（2）根据积的乘方运算法则即可求解；（3）把82025转化为8（4）利用单项式乘单项式的法则即可求解．【详解】（1）解：−x4（2）解：−2a（3）解：0.125====8；（4）解：−3x==2x考点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)5mm−n+2；(2)−2x(3)3x23x2【答案】(1)5(2)−6(3)9(4)−4【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，（1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；（3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；（4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键．【详解】（1）解：5m=5m⋅m−5m⋅n+5m×2=5m（2）解：−2x==−6x（3）解：3=3=9x（4）解：2a=2a⋅=−4a【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：−【答案】−8【分析】本题考查了整式的乘法，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．【详解】解：−==−8【变式2-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算．(1)6ab2a2b−1(3)4m+2(m−2n)；(4)(2x)3【答案】(1)12(2)−21(3)6m−4n(4)2【分析】本题考查单项式与多项式相乘，整式的加减；（1）用第一项分别和括号内的两项相乘再相加即可；（2）用第一项分别和括号内的两项相乘再相加即可；（3）先进行去括号计算，再进行加减运算即可；（4）先进行去括号计算，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：6ab=6ab⋅2=12a（2）解：(−3x)(7=(−3x)⋅7=−21x（3）解：4m+2(m−2n)=4m+2m−4n=6m−4n；（4）解：(2x)=8=8=2x【变式2-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算：(1)12ab(2a−23b)【答案】(1)24(2)8【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用单项式乘以多项式的每一项即可得到答案；（2）先计算括号内的单项式乘法和加法，再计算单项式的乘法即可．【详解】（1）解：12ab(2a−=24（2）−2m=4=4=8考点4：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：(1)2a+1a−3．(2)3x−1(3)x−1x+3【答案】(1)2(2)6(3)4x−3【分析】根据多项式乘以多项式法则，分别求解各个小题．【详解】（1）解：原式=2=2a（2）解：原式=6=6x（3）解：原式==4x−3．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：x+5y【答案】2【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．【详解】解：原式=2x【变式3-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）计算：5x+2y3x−2y【答案】15【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．【详解】解：5x+2y=15=15x【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：−3x+9⋅【答案】−18【分析】本题主要考查的是多项式的乘法计算，属于基础题型，明确整式的乘法以及合并同类项的计算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案．【详解】解：−3x+9=−18=−18x【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式4x+1ax−3+x(1)求a，b的值．(2)求a2023【答案】(1)a=−14(2)−4【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含x2和常数项得出4a+1=0，b−4=0（2）根据幂的运算法则得出a2023b2024=a【详解】（1）解：4x+1=4a=4a+1∵不含x2∴4a+1=0，b−4=0，∴a=−14，（2）解：a2023由（1）知a=−14，原式=−【变式4-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知mx−32x+n的展开式中不含x项，常数项是−6(1)求m，n的值．(2)求m+nm【答案】(1)m=3，n=2(2)m3+【分析】本题考查了整式化简求值，多项式中不含某个字母问题；（1）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项使得含有x的项系数为0，即可求解；（2）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项，m，n的值代入计算，即可求解；理解多项式中不含某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为0是解题的关键．【详解】（1）解：mx−3=2m=2m∵不含x项，常数项是−6，∴mn−6=0解得：m=3n=2故：m=3，n=2；（2）解：原式==m当m=3，n=2时，原式==35．【变式4-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于x的代数式x+2mx2−x+12(1)求m，n的值；(2)求代数式m2023【答案】(1)m=(2)2【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出2m−1=0，12n−2m=0，即可得出m，（2）将m，n的值代入进行计算即可．【详解】（1）解：x+2m==x∵不含x项与x2∴2m−1=0解得：m=1（2）解：m2023【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若x2+x−13p(1)求p，q的值；(2)求代数式−p【答案】(1)p=−3,q=(2)12【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键：（1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含x与x2项，得到x与x（2）先化简，再把p，q的值代入计算即可．【详解】（1）解：∵x=−x∵积中不含x与x2∴3q−1=0,3q+1∴p=−3,q=1（2）∵p=−3,q=1∴pq=−1，∴−==pq==9+3=12．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到a+2ba+b左=a+2ba+b表示长为a+2b，宽为右=a2+3ab+2b2表示1块边长为a的正方形面积、3块长为a，宽为b

(1)写出图2中所表示的数学等式：______；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2【答案】(1)a+b+c(2)45【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式和长方形的面积公式是解决此题的关键．（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积，即可得出结论；（2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可．【详解】（1）解：该图形是个正方形，其边长为a+b+c，故其面积为a+b+c2；该正方形是由3个小正方形和6个长方形组成，故其面积为：a∴a+b+c2故答案为：a+b+c2（2）将（1）中等式变形，得a2将a+b+c=11，ab+bc+ac=38代入，得：a2【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，有一块边长为(m+3n)米和(2m+n)米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为(m+2n)米，宽为(m+n)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．

(1)请用含m和n的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要化简）(2)若m=10,n=20，求休息区域的面积．【答案】(1)游泳池的面积为m2+3mn+2n(2)1300平方米【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积−游泳池的面积，将数值代入计算即可；（2）将m=10,n=20代入（1）中化简后的式子计算即可；【详解】（1）解：由题意可得，游泳池的面积是：m+2n休息区域的面积是：m+3n2m+n即休息区域的面积是：m2（2）解：当m=10,n=20时，m2即若m=10,n=20，则休息区域的面积是1300平方米；【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则．【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为50cm，宽为35cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为

(1)求图中阴影部分的面积为S（用含x的代数式表示，要求化简）．(2)当x=10cm【答案】(1)S=4(2)4500【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长乘以宽，列出代数式，根据多项式的乘法进行计算即可求解；（2）将x=10代入（1）中的结果，即可求解．【详解】（1）解：依题意，S=50−2x（2）当x=10时，30×15×10=4500c答：当x=10cm时，盒子的体积为4500【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，代数式求值，数形结合是解题的关键．【变式5-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明计划用三种拼图将长为(5a+20b)米，宽为(3a+15b)米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下：(1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？(2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费．【答案】(1)需要A，B和C三种拼图分别为：15块，300块，135块(2)小明的总花费为1011元【分析】（1）根据题意求出（5a＋20b）（3a＋15b）即可得出答案；（2）根据（1）中的A，B和C三种拼图块数乘以对应的单价即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得：（5a＋20b）（3a＋15b）＝15a2＋75ab＋60ab＋300b2＝15a2＋135ab＋300b2∵SA＝a2，SB＝b2，SC＝ab，∴分别需要A，B和C三种拼图15块，300块，135块．（2）解：15×5＋300×3×0.8＋135×2×0.8＝75＋720＋216＝1011（元），答：小明的总花费为1011元．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，有理数的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．一、单选题1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算a·−2a3A．−2a2 B．−2a4 C．【答案】B【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可．【详解】解：a·−2故选：B．2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将x+mx−8展开的结果中不含x的一次项，则m的值为（

A．8 B．−8 C．0 D．8或−8【答案】A【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=x由结果不含x的一次项，得到m−8=0，解得：m=8．故选：A．3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式5x2−y变形为5A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律【答案】C【分析】本题主要考查了整式的运算，5x【详解】解：把代数式5x2−y故选：C．4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若x+4x−5=x2+mx−20A．−9 B．1 C．−1 D．9【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得．【详解】解：∵x+4x−5=x∴x2∴m=−1，故选：C．5．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为5m，宽为3m的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为xmA．2x2−11x+15C．4x2+10x−6【答案】A【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，列代数式等知识点，熟练掌握利用多项式乘多项式表示图形面积是解题的关键：将题中涉及的面积用未知量表示出来，应用整式的乘法公式等运算法则进行化简，并代值求解，有时还会用到整体代入的方法．根据题意可得，该花园的长为5−2xm，宽为3−xm，然后根据“该花园的面积=长【详解】解：根据题意可得：该花园的长为5−2xm，宽为3−x∴该花园的面积为：S===2=2故选：A．二、填空题6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若x+2x−3=x2【答案】6【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．根据x+2x−3【详解】解：由题意知，x+2x−3∵x+2x−3∴x2∴m=6．故答案为：6．7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了a+bnn=1,2,3,⋅⋅⋅以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，a+bn展开式的系数和是【答案】2【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题的关键是数形结合．通过观察展开式中所有项的系数和，