北师大版数学 寒假作业18 一元一次不等式与一次函数（知识预习+达标检测） 试卷 含答案

一元一次不等式与一次函数【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【题型2一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】【题型3一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】【题型4一次函数与一元一次不等式(面积问题)】【题型5一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】考点：一次函数与一元一次不等式（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.（2）如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【典例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一次函数y=kx+b的图像如图所示，当y>0时，x的取值范围是（

）A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2【变式1-1】（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（

）A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2【变式1-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(8,0)和点B(0,−6)，那么关于x的不等式kx+b>0的解集是（

）A．x>8 B．x<8 C．x>−6 D．x<−6【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴，y轴分别交于A(−4,0),B(0,2)两点，则关于x的不等式kx+b<2的解集是（

）A．x>0 B．x>−4 C．x<0 D．x<2【题型2一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3．有下列结论：①图象经过点1,32；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<2时，y<3．其中正确的是（

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式2-1】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式2-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3，有下列结论：①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为−2,0，则下列说法：①k<0，b>0；②y随x的增大而减小；③关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=−2；④当x>−2时，y>0．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【题型3一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】【典例3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x<ax+4的解集为（

）A．x<32 B．x>32 C．【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）经过点A−2,0和点B−1,−1，直线y=x过点B，则关于x的不等式x<kx+b的解为（A．x>−1 B．x>0 C．x<−1 D．x<−2【变式3-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则ax+b≤kx时，x的取值范围是．【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数y1=−3x和y2=kx+4的图象相交于点Am【题型4一次函数与一元一次不等式(面积问题)】【典例4】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：y=kx+b与直线n：y=2x+8交于点A−1,6，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点B(1)求直线m对应的函数表达式；(2)求△ABC的面积；(3)直接写出不等式kx+b≥2x+8的解集．【变式4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线l1:y=kx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线l2:y=2x+8交于点P−2,a，直线l(1)求直线l1(2)求四边形OAPC的面积；(3)直接写出不等式kx+2≥2x+8的解集．【变式4-2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点A−2,0的直线l1:y=kx+b与直线l(1)求直线l1(2)直接写出kx+b<−x+1时，x的取值范围．(3)求四边形PAOC的面积．【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx的图象交于点M．(1)求正比例函数和一次函数的表达式．(2)根据图象，写出关于x的不等式kx>ax+b的解集．(3)求△MOP的面积．【题型5一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】【典例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关.【提出问题】如图，设AB两点的距离为y，点B所表示的数为x，那么y是x的函数吗？【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为x−1，当点B在点A左侧时，距离为1−x；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数y=x−1【解决问题】（1）画函数y=x−1①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象：x…−3−2−101234…y……②若点Ca,6在该函数的图象上，则a（2）仿照画函数y=x−1的过程，可以画出函数y=x+2图象，通过图象可以写出不等式【拓展延伸】不等式x+2+【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x(2)在平面直角坐标系中画出y1与x(3)已知函数y2=45x【变式5-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组−1<−2x+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；x…−4−3−2−10123…y…−3−1331−1…(2)若A(m,n)，B6,m为该函数图像上不同的两点，则(3)当−1<−2x+5≤3时，自变量x的取值范围是(4)正比例函数y=kxk≠0图象与函数y=−2x+5的图象有两个交点，那么【变式5-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关．【提出问题】如图，设AB两点的距离为y，点B所表示的数为x，那么y是x的函数吗？【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为x−1，当点B在点A左侧时，距离为1−x；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质．【解决问题】(1)填空：该函数的解析式为：___________；(2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象：x…−3−2−101234…y……②观察图象，请至少写出该函数的两条性质；(3)①若点C(a,6)在该函数的图象上，求a的值；②依据图象，求不等式x−1≥2x+41．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线y=kx+b与坐标轴交于两点，则y>0时，x的取值范围是（

）A．x>0 B．x<−2 C．x>−2 D．x<12．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线y=kx+b经过点A(−1,m)和点B(−2,0)，直线y=2x过点A，则不等式kx+b<2x的解集为（

）A．x<−2 B．−2<x<0 C．x<−1 D．x>−13．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=−x+a与直线y2=bx−4相交于点A．方程−x+a=bx−4的解是x=−3B．不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集相同C．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2<x<1D．方程组的解是y+x=ay−bx=4解为4．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知一次函数y=mx+n(m<0)的图象经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx+n>3的解集为（

）A．x>−3 B．x<−3 C．x>−2 D．x5．（2024·浙江·模拟预测）我们常用min{a,b,c}来表示实数a，b，c中最小的数，如min{1,2,3}=1．已知x为实数，则minx+2,2+A．1813 B．2 C．3513 6．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y=kx+bk>0的图象交y轴于点0,5，且与直线y=−2x−1都经过点A①当x>−1时，−2x−1>0；②当x>−2时，kx+b>−2x−1；③关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=−5；④方程组y=kx+by=−2x−1的解为上述结论中，正确结论的序号有．7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，函数y1=x和y2=12x+12的图象交于8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线y=kx+b经过点A0,5，B4,1，并与x轴交于点C，与直线y=2x−1相交于点(1)求直线AB的函数表达式；(2)求不等式kx+b>0的解集；(3)直线y=2x−1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED=2S

一元一次不等式与一次函数【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【题型2一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】【题型3一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】【题型4一次函数与一元一次不等式(面积问题)】【题型5一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】考点：一次函数与一元一次不等式（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.（2）如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【典例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一次函数y=kx+b的图像如图所示，当y>0时，x的取值范围是（

）A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2【答案】D【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性质即可求解．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标为x=2，∴当y>0时，x的取值范围是x>2，故选：D．【变式1-1】（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（

）A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2【答案】B【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧，写出对应x的取值范围即可．【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可知，当y>3时，x<0，故选：B．【变式1-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(8,0)和点B(0,−6)，那么关于x的不等式kx+b>0的解集是（

）A．x>8 B．x<8 C．x>−6 D．x<−6【答案】A【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在x轴上方时x>8，进而得到关于x的不等式kx+b>0的解集是x>8．【详解】由题意可得：一次函数y=kx+b中，y>0时，图象在x轴上方，x>8，则关于x的不等式kx+b>0的解集是x>8，故选：A．【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴，y轴分别交于A(−4,0),B(0,2)两点，则关于x的不等式kx+b<2的解集是（

）A．x>0 B．x>−4 C．x<0 D．x<2【答案】C【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．由一次函数y=kx+b的图象过点B(0,2)，且y随x的增大而增大，从而得出不等式kx+b<2的解集．【详解】由一次函数的图象可知，y随x的增大而增大，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,2)，∴当x<0时，有kx+b<2．故选：C．【题型2一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3．有下列结论：①图象经过点1,32；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<2时，y<3．其中正确的是（

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质．先用待定系数法求出该函数解析式，把点1,32代入解析式，即可判断①；该函数图象过点0,3，即当x=0时，y=3，即可判断②；由图象可得当x>2时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当x<2时，对应的图象在【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3，∴2k+b=0b=3，解得k=−∴该一次函数为y=−3把点1,32代入函数y=−3∴函数y=−32x+3∵该函数图象过点0,3，∴当x=0时，y=3，∴关于x的方程kx+b=3的解为x=0．故②正确；∵由图象可得当x>2时，对应的图象在x轴的下方，∴当x>2时，y<0．故③正确；∵由图象可得当x<2时，对应的图象在x轴的上方，∴当x<2时，y>0．故④错误．综上，正确的是①②③．故选：A【变式2-1】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键．利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3，∴当x=2时，kx+b=0，当x=0时，kx+b=3，∴关于x的方程kx+b=0的解为x=2；关于x的方程kx+b=3的解为x=0；故结论①、结论②正确；由函数图象可知，当x>2时，y<0；当x<0时，y>3；故结论③正确，结论④错误；综上，正确的结论有：①②③，故选：A．【变式2-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3，有下列结论：①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．【详解】解：由图象得：①当x<0时，y>3，错误；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；③当x>2时，y<0，正确；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；故选：C．【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为−2,0，则下列说法：①k<0，b>0；②y随x的增大而减小；③关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=−2；④当x>−2时，y>0．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】B【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在x轴上方时与x轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，∴k>0，b>0，y随x的增大而增大，故①②错误，∵一次函数与x轴交于点−2,0，∴关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=−2，当x>−2时，y>0，故③④正确，故选：B．【题型3一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】【典例3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x<ax+4的解集为（

）A．x<32 B．x>32 C．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，求出点A的坐标，再根据当x<32时，y=2x的图象在【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，∴3=2m，解得：m=3∴点A3∵当x<32时，y=2x的图象在∴不等式2x<ax+4的解集为：x<3故选：A．【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）经过点A−2,0和点B−1,−1，直线y=x过点B，则关于x的不等式x<kx+b的解为（A．x>−1 B．x>0 C．x<−1 D．x<−2【答案】C【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式之间的联系，根据函数图象即可得到不等式的解集是解题的关键．不等式x<kx+b的解集，指直线y=x落在直线y=kx+b下方时的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案．【详解】解：观察图象可知，当x<−1时，直线y=x落在直线y=kx+b的下方，∴不等式x<kx+b解集为x<−1，故选：C．【变式3-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则ax+b≤kx时，x的取值范围是．【答案】x≥−4【分析】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键．利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．【详解】解：由图象可知：在点P右侧图象符合ax+b≤kx，且点P的横坐标为−4，∴若不等式ax+b≤kx，则x≥−4．故答案为：x≥−4．【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数y1=−3x和y2=kx+4的图象相交于点Am【答案】x<−1【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系是解题的关键．先利用正比例函数确定点A坐标，利用kx+4<−3x即y2=kx+4的图象在【详解】解：把Am，3得3=−3m，解得：m=−1，故A−1∵kx+4<−3x即y2=kx+4的图象在结合图象得当x<−1时，kx+4<−3x，则不等式kx+4<−3x的解集为x<−1．故答案为：x<−1．【题型4一次函数与一元一次不等式(面积问题)】【典例4】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：y=kx+b与直线n：y=2x+8交于点A−1,6，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点B(1)求直线m对应的函数表达式；(2)求△ABC的面积；(3)直接写出不等式kx+b≥2x+8的解集．【答案】(1)y=−2x+4(2)18(3)x≤−1【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案；（2）先求出C点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可；（3）直接利用图象法求解即可．【详解】（1）解：把点A−1,6

B2,0代入−k+b=62k+b=0解得k=−2b=4所以，直线m对应的函数表达式为y=−2x+4；（2）把y=0代入y=2x+8，则2x+8=0，解得x=−4，则C−4,0∴BC=6，∴S△ABC答：△ABC的面积为18；（3）由图象可知：不等式kx+b≥2x+8的解集为x≤−1．【变式4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线l1:y=kx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线l2:y=2x+8交于点P−2,a，直线l(1)求直线l1(2)求四边形OAPC的面积；(3)直接写出不等式kx+2≥2x+8的解集．【答案】(1)y=−x+2；(2)四边形OAPC的面积为10；(3)x≤−2．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．（1）由直线l2:y=2x+8求得P的坐标，代入（2）由直线l1的解析式求得B、C的坐标，由直线l2:y=2x+8求得A的坐标，然后根据四边形OAPC的面积等于△PAB（3）利用图象直接得出结论．【详解】（1）解：∵直线l2:y=2x+8过点∴a=2×−2∴P−2,4把P−2,4代入y=kx+2得：4=−2k+2解得：k=−1，∴直线l1的函数表达式为：y=−x+2（2）解：把y=0代入y=−x+2，得：−x+2=0，解得x=2，∴B2,0把x=0代入y=−x+2得：y=2，∴C0,2∴OB=2,OC=2，把y=0代入y=2x+8得：2x+8=0，∴x=−4，∴A−4,0∴AB=6，过P点作PH⊥x轴于H，如下图所示：∴四边形OAPC的面积为S==1（3）解：∵P−2,4∴由图象知：不等式kx+2≥2x+8的解集为x≤−2．【变式4-2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点A−2,0的直线l1:y=kx+b与直线l(1)求直线l1(2)直接写出kx+b<−x+1时，x的取值范围．(3)求四边形PAOC的面积．【答案】(1)y=2x+4(2)x<−1(3)5【分析】（1）由点P−1,a在直线l2:y=−x+1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点A（2）根据不等式的解集为直线l1在直线l2的下方所对应的（3）根据S四边形【详解】（1）解：∵点P−1,a在直线l∴a=−−1∴P−1,2∵直线l1:y=kx+b过点A−2,0∴−2k+b=0−k+b=2解得：k=2b=4∴直线l1对应的表达式y=2x+4（2）由函数图象可知：当x<−1时，直线l1在直线l∴kx+b<−x+1时，x的取值范围为x<−1；（3）∵直线l2:y=−x+1与y轴相交于点C，与x轴相交于点当x=0时，得：y=1；当y=0时，得：x=1，∴C0,1，B∴OC=1，OB=1，∵A−2,0，P∴AB=AO+OB=2+1=3，∴S==5∴四边形PAOC的面积为52【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx的图象交于点M．(1)求正比例函数和一次函数的表达式．(2)根据图象，写出关于x的不等式kx>ax+b的解集．(3)求△MOP的面积．【答案】(1)一次函数解析式为y=2x−2，正比例函数解析式为y=x(2)x<2(3)1【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后根据待定系数法求出正比例函数解析式；（2）结合图象写出正比例函数图象在直线y=ax+b的上方所对应的自变量的范围即可；（3）先利用一次函数解析式求出P点坐标，然后利用三角形面积公式．【详解】（1）解：∵y=ax+b经过(1，0)和∴a+b=0解得a=2，∴一次函数表达式为y=2x−2．∵点M在该一次函数图象上，∴m=2×2−2=2，则M点坐标为2,2，又∵M在函数y=kx图象上，∴2k=2，解得k=1，∴正比例函数的表达式为y=x．（2）解：由图象可知，x<2时，kx>ax+b．（3）解：当y=0时，2x−2=0，解得x=1，则P1,0所以，S△MOP【题型5一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】【典例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关.【提出问题】如图，设AB两点的距离为y，点B所表示的数为x，那么y是x的函数吗？【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为x−1，当点B在点A左侧时，距离为1−x；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数y=x−1【解决问题】（1）画函数y=x−1①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象：x…−3−2−101234…y……②若点Ca,6在该函数的图象上，则a（2）仿照画函数y=x−1的过程，可以画出函数y=x+2图象，通过图象可以写出不等式【拓展延伸】不等式x+2+【答案】（1）①见解析；②7或−5（2）画图象见解析，x<−94或x>−32【分析】本题主要考查一次函数．熟练掌握分段函数性质，描点法图函数图象，图象法解绝对值方程、解不等式，是解题的关键．（1）①列表、描点、连线，绘图即可；②结合图像解方程a−1=6（2）画出函数y=x+2与y=13x+1的图象，根据两函数图象交点拓展延伸：在平面直角坐标系中画出函数y1=x+2+x−1=−2x−1(x<−2)【详解】解：（1）①填表：填入表中y=x−1的x，yx…−3−2−101234…y…43210123…描点，连线：得到y=x−1②∵(a,6)，∴a−1=6∴a−1=±6，∴a−1=6，或a−1=−6，∴a=7，或a=−5；故答案为：7或−5；（2）列表：y=x+2的x，yx…−6−5−4−3−2−1012…y…432101234…y=13x+1的xx…−30…y…01…在同一平面直角坐标系中描点，连线：得到y=x+2的图象，y=当x≤−2时，y=x+2有−x−2=1∴x=−94，当x>2时，y=x+2有x+2=1∴x=−32，∴函数y=x+2与y=13∴由图象看出，不等式x+2>13x+1的解集为故答案为：x<−94或拓展延伸：设y1=x+2在同一平面直角坐标系中作出y1，y两函数图象相交于M−2,3∴不等式x+2+x−1>12故答案为：x<−2或x>2．【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x(2)在平面直角坐标系中画出y1与x(3)已知函数y2=45x【答案】(1)y(2)见解析，当0<x<4时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可）(3)0<x<5【分析】本题主要考查了勾股定理，一次函数一次函数图象和性质，读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式是解题的关键．（1）根据题意分类讨论：当点P在边AB上运动时，当点P在边BC上运动时；（2）根据函数解析式描点作出函数图象，再写出一条性质即可；（3）先求出两函数的交点坐标，再根据函数图象即可求解．【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=4，AC=5，∴BC=A当点P在边AB上运动，即0<x≤4时，AP=x，∴S△PAC当点P在边BC上运动，即4<x<7时，AB+BP=x，∴PC=3+4−x=7−x，∴S△PAC综上，y1（2）解：如图所示函数图象即为所求；性质：当0<x<4时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可）；（3）解：联立y=45x∴y1，y由函数图象可知，当0<x<5时，y1的函数图象在y2的函数图象上方，即此时【变式5-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组−1<−2x+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；x…−4−3−2−10123…y…−3−1331−1…(2)若A(m,n)，B6,m为该函数图像上不同的两点，则(3)当−1<−2x+5≤3时，自变量x的取值范围是(4)正比例函数y=kxk≠0图象与函数y=−2x+5的图象有两个交点，那么【答案】(1)1，5，表格见解析(2)−7(3)−3<x≤−1或1≤x<3；(4)−2<k<0或0<k<2【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可；（2）把6,m代入y=−2x（3）根据图象即可得到答案；（4）画出函数y=−2x和y=2x的图象，根据图象即可得到答案．【详解】（1）解：当x=−2时，y=−2×−2当x=0时，y=−2×0表格如下：x…−4−3−2−10123…y…−3−113531−1…函数的图象如图所示，（2）把6,m代入y=−2x+5得到，故答案为：−7（3）解：由图象可得：当−1<−2x+5≤3时，自变量x的取值范围是−3<x≤−1或故答案为：−3<x≤−1或1≤x<3（4）当x≥0时，y=−2x当直线y=kxk≠0与y=−2x+5平行时，即k=−2时，正比例函数y=−2x图象与函数y=−2当x≤0时，y=−2x当直线y=kxk≠0与y=2x+5平行时，即k=2时，正比例函数y=2x图象与函数y=−2∴由图象可知，当−2<k<0或0<k<2时，正比例函数y=kxk≠0图象与函数y=−2故答案为：−2<k<0或0<k<2【变式5-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关．【提出问题】如图，设AB两点的距离为y，点B所表示的数为x，那么y是x的函数吗？【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为x−1，当点B在点A左侧时，距离为1−x；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质．【解决问题】(1)填空：该函数的解析式为：___________；(2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象：x…−3−2−101234…y……②观察图象，请至少写出该函数的两条性质；(3)①若点C(a,6)在该函数的图象上，求a的值；②依据图象，求不等式x−1≥2x+4【答案】(1)y=(2)①见解析；②函数关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；y的最小值0(3)①a=−5或a=7；②x≤−1【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及求函数解析式、描点绘图、解绝对值方程和数形结合解不等式，解题的关键是数量掌握绝对值的意义和数形结合思想的应用．1根据题意给定的距离表达式，结合绝对值的意义即可求得答案；2①将给定的点代入求得对应的函数值，利用描点法绘图即可；②结合图像得出其性质即可；3①根据题意得6=a−1，利用绝对值的意义解方程即可；②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数y=2x+4的图象，结合（1）可得可能得范围，联立方程即可求得交点，结合图像即可求得x【详解】（1）解：根据题意得，当点B在点A右侧时，即x>1时，距离为x−1，当点B在点A左侧时，即x<1时，距离为1−x，则y=x−1故答案为：y=x−1（2）解：①x−3−2−1012345…y432101234…②函数关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；y的最小值0；（3）①∵点C(a,6)在该函数的图象上∴6=∴a=−5或a=7②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数y=2x+4的图象．当x≥1时，由图象可知直线y=2x+4在直线y=x−1的上方，因此不存在使x−1≥2x+4的当x<1时，由图象可知，存在使1−x≥2x+4成立的x值．设直线y=2x+4与y=x−1的交点为B解方程组y=2x+4解得x=−1y=2∴点B(−1,2)∴当x≤−1时，1−x≥2x+4∴x−1≥2x+4的解集为1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线y=kx+b与坐标轴交于两点，则y>0时，x的取值范围是（

）A．x>0 B．x<−2 C．x>−2 D．x<1【答案】C【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象得出一次函数y=kx+b交x轴于点−2，【详解】解：根据图象可知：一次函数y=kx+b的图象交x轴于点−2，∴函数值y>0时，x的取值范围是：x>−2．故选：C．2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线y=kx+b经过点A(−1,m)和点B(−2,0)，直线y=2x过点A，则不等式kx+b<2x的解集为（

）A．x<−2 B．−2<x<0 C．x<−1 D．x>−1【答案】D【分析】根据函数图象找到直线y=kx+b的函数图象在直线y=2x的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键．【详解】解：∵直线y=kx+b经过点A(−1,m)和点B(−2,0)，直线y=2x过点A，∴点A是直线y=kx+b与直线y=2x的交点，∴由函数图象可知，当直线y=kx+b的函数图象在直线y=2x的图象下方时，则x的取值范围为x>−1，∴不等式kx+b<2x的解集为x>−1，故选：D．3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=−x+a与直线y2=bx−4相交于点A．方程−x+a=bx−4的解是x=−3B．不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集相同C．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2<x<1D．方程组的解是y+x=ay−bx=4解为【答案】C【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线y1=−x+a与直线y2=bx−4相交于点P1,−3即可判断选项A；由图象可得−x+a>−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为x>1，即可判断选项B；求出−x+a<0的解集是x>−2，当x<1时，bx−4<−x+a【详解】解：A．由图象可得直线y1=−x+a与直线y2∴方程−x+a=bx−4的解是x=1，故选项错误，不符合题意；B．由图象可得−x+a>−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为x>1，∴不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集不相同，故选项错误，不符合题意；C．将1,−3代入y1=−x+a得解得a=−2，∴y1将y=0代入y1=−x−2得由图象可知，−x+a<0的解集是x>−2，由图象可知，当x<1时，直线y2=bx−4在直线∴当x<1时，bx−4<−x+a，∴不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2<x<1，故选项正确，符合题意；D．∵直线y1=−x+a与直线y2∴方程组y+x=ay−bx=−4的解为x=1故选项错误，不符合题意．故选：C．4．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知一次函数y=mx+n(m<0)的图象经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx+n>3的解集为（

）A．x>−3 B．x<−3 C．x>−2 D．x【答案】D【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．一次函数y=mx+n(m<0)的图象经过点P−2,3【详解】解：一次函数y=mx+n(m<0)的图象经过点P−2,3当x<−2时，mx+n>3，所以，关于x的不等式mx+n>3的解集为x<故选：D．5