2026-2027学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设抛物线C：y2=16x的焦点为F，点A(1,a)在C上，则|AF|=(

)A.2 B.3 C.4 D.52.圆x2+y2−2x+6y=0上的点到直线A.2+10 B.2+103.设P是椭圆x25+y23A.2+5 B.5−4.设双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)经过点A.y=±26x B.y=±35.已知F1、F2是椭圆C：x216+y28=1的两个焦点，点A.8 B.12 C.9 D.66.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，A是右顶点，A.3 B.2 C.85 D.7.古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为A(1,2)，军营所在位置为B(5,6)，河岸线所在直线的方程为x−y−1=0，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为(

)A.(2,1) B.(3,4) C.(4,3) D.(6,5)8.已知点P为椭圆C：x225+y221=1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2−4x=0A.[3,35] B.(3,35] C.[5,45] D.(5,45]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：mx2+nA.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上

B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n

C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±−mnx

D.若10.已知⊙O：x2+y2=1，⊙A：A.⊙A圆心的坐标为(−3,−4)

B.当k=−11时，⊙O与⊙A内切

C.当k=9时，⊙O与⊙A外切

D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x+8y−k−1=011.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2A.∠NA1M=5π6

B.C的渐近线方程为y=±23x

C.|M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(2,2)在抛物线Γ：y=ax2上，则求抛物线Γ焦点的坐标为

．13.已知直线x−3y+4=0和圆(x−1)2+y2=r2(r>0)相交于A，B14.已知焦点在x轴上的椭圆Γ：x2a2+y2=1(a>1)，y轴正半轴上点M(0,m)，A是Γ的右顶点，若AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，若∠CMD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知动点M(x,y)到两个定点O(0,0)，A(0,3)的距离比为12，设动点M(x,y)的轨迹为E．

(1)求E的轨迹方程．

(2)过P(2,−2)作E的切线求切线方程及切线段长．16.(本小题15分)

已知椭圆E对称中心为O(0,0)，焦点在y轴上且两个顶点坐标分别为A1(0,−2)，A2(0,2)且离心率为12，设上焦点为F2(0,c)，过点P(0,−3c)的直线交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆的方程．

(2)求证：三角形F2AB的面积是三角形OAB面积的43倍.17.(本小题15分)

已知双曲线E方程为x24−y212=1，左右顶点为A(−2,0)，B(2,0)，直线l经过P(2,4)与双曲线右支交于C，D两点．

(1)设直线l的斜率为k，求k的取值范围．

(2)设直线lBC，l18.(本小题17分)

已知椭圆E的方程为x24+y23=1，左右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)，直线l1，l2经过F2(1,0)且相互垂直，l1与椭圆E交于A，B两点，l2与椭圆E交于M，N两点．

(1)当l19.(本小题17分)

已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b)，椭圆E的长轴长和短轴长分别为6和2.设椭圆左右顶点为A(−a,0)，B(a,0)，直线l过P(1,0)交椭圆于C，D两点，C在x轴上方.连接AC，BD且lAC∩lBD=Q．

(1)求椭圆E的方程和焦距．

(2)若直线AC，AD的斜率为kAC，kAD，求证：kACkAD为定值．

(3)(i)求证：Q在一条定直线m1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】CD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】(0,113.【答案】8914.【答案】(0,15.【答案】解：(1)根据题意，动点M(x,y)到两个定点O(0,0)，A(0,3)的距离比为12，

则|MO|=12|MA|，则有x2+y2=14[x2+(y−3)2]，

变形可得x2+(y+1)2=4，

即E的轨迹方程为x2+(y+1)2=4；

(2)根据题意，E的轨迹方程为x2+(y+1)2=4，则E的轨迹是以(0,−1)为圆心，半径为2的圆，

若过P(2,−2)直线的斜率不存在，此时直线的方程为x=2，是圆的切线，符合题意，

若过16.【答案】解：(1)由题意可得椭圆焦点在y轴上，a=2，e=ca=12，

所以c=1，b=a2−c2=3，

所以椭圆的方程为y24+x23=1

(2)证明：由(1)知F2(0,1)、P(0,−3)，且直线AB斜率一定存在，

故设AB直线方程为y=kx−3，即kx−y−3=0，设点A(x1,y1).B(x2,y2)，如图所示，

设点O到直线AB的距离为d1，点F2到直线AB的距离为d2，则d1=3k2+1，d2=4k2+1，

则S△OAB=12×d1×|AB|=32k2+1⋅|AB|17.【答案】解：(1)设直线l的方程为：y−4=k(x−2)，即y=kx+4−2k，

联立y=kx+4−2kx24−y212=1，整理可得(k2−3)x2+(8k−4k2)x+4k2−16k+28=0，

设C(x1,y1)，D(x2,y2)，若直线l和双曲线右支交于两点，则Δ>0x1+x2>0x1x2>0k2≠3，

由Δ>0⇔(8k−4k2)2−4(k2−3)(4k2−16k+28)>0⇔48(7−4k)>0⇔k<74，

注意到4k2−16k+28=4(k−2)2+12>018.【答案】解：(1)椭圆E中a=2，b=3，c=1，F2(1,0)

当l1⊥x轴时，l1：x=1，代入x24+y23=1，得14+y23=1，

即y2=94,y=±32，所以|AB|=3．

(2)证明：设l1：x=my+1(m∈R)，代入3x2+4y2=12得3(my+1)2+4y2=12，

即(3m2+4)y2+6my−9=0，所以y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，

于是|y1−y2|2=36m2(3m2+4)2+3619.【答案】解：(1)由题意得2a=6，2b=2，解得a=3，b=1，由a2=b2+c2得c2=9−1=8，

即c=22，所以椭圆E的方程为x29+y2=1，焦距为42．

(2)证明：设直线l的方程为x=my+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立x=my+1x29+y2=1，整理得(m2+9)y2+2my−8=0，

由韦达