新编材料力学 第4版 课件全套 张少实 第1-16章 绪论、应力状态分析-压杆稳定

1）教材及参考书：《新编材料力学》（第4版），张少实，机工社

外文参考书Mechanicsofmaterials(FerdinandP.Beer)《材料力学》（上、下第3版），刘鸿文，高教社

平时作业（150题左右）

成绩考核：作业10分

+上机10分

+期中考试25分+

期末考试55分

计算机辅助教学开卷考试2）教学安排：

讲课70学时1-18周

上机课16学时13-18周可能组织全校软件竞赛，获奖者有加分1）教材及参考书：第1章绪论中学和大学一年级已经学习了许多力学知识，尤其是已经学习了“理论力学”课程，为什么现在还要开设“材料力学”课程？宇宙、自然界和生命运动无不存在力学问题。工农业生产、科学技术、生命科学和人类的日常生活等各个领域，总伴随着力学知识。而我们已学得的力学知识，还远远不够，还远远不能解决这些问题。第1章绪论列举几个力学问题：1）地震问题1999年土耳其地震，震中附近有一条断层，地震波沿断层一侧传播的速度慢（亚音速）；而沿另一侧传播的速度相对较快（跨音速）。波动方程为双曲型方程，产生很大破坏能量的发泄，这一侧损失很大，引起专家关注。第1章绪论列举几个力学问题：2）台北101大楼（509米）由建筑师李祖原设计。是竹节式结构，在流体力学和佛学上都有讲究。但是大楼的整体晃动（振动）却是个大问题！楼顶部88楼-92楼间的中央悬挂一个660吨大中空金属球。有效降低振动40%。第1章绪论列举几个力学问题：3）飞机机动性的设计问题飞机的机翼是朝后边倾斜的，为了提高作战的机动性，NASA设计成朝前倾斜。但对其受力要求特别高，目前的材料还不能承受如此巨大的载荷。只有高强度的复合材料成熟后，此结构才会实现。4）微电子问题集成电路是多层结构，含有多个焊点。在制备过程中由于热循环中产生的热应力、装配应力、错配应力，可能会造成电路板失效。第1章绪论列举几个力学问题：5）奥运会奖牌问题第1章绪论奖牌由象征尊贵和美德的“金”、“玉”材质组合而成，使“金”、“玉”材料达到视觉上的完美结合。彰显了“玉”的高贵品质，喻示了中国传统文化中的“金玉良缘”，体现了中国人民对奥林匹克精神的礼赞和对运动员的至尊褒奖。是中华文明与奥林匹克精神在北京奥运会形象景观工程中的又一次“中西合璧”

。2008北京奥运会奖牌第1章绪论与金属材料不同，玉是较脆、抗冲击性能较差的材料，跌落、撞击容易碎裂。必须要解决跌落、撞击容易碎裂这个力学问题。2008北京奥运会奖牌第1章绪论列举几个力学问题：6）有趣的力学问题一个胖子过独木桥——过不去（桥被压坏）两个胖子过独木桥——能过去（桥不损坏）7）杂技、魔术表演中的力学知识当然，具备了材料力学知识，也不能完全解决上述问题。但是，理论力学和材料力学，却是后续力学知识的最最基础的知识。第1章绪论构件（element）——机械、工程结构等的零件、部件等的统称轴侧俯视1-1强度刚度稳定性第1章绪论1-1强度刚度稳定性构件（element）

构件工作时因承受一定的外力（包括载荷和约束力）而发生几何形状与尺寸的改变——变形。外力超过某一限度，构件将丧失承载能力而不能正常工作。第1章绪论1-1强度刚度稳定性构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏如车床中的主轴、齿轮、传动轴等损坏轴侧俯视第1章绪论1-1强度刚度稳定性构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏演示美国华盛顿州的塔科马大桥桥体扭振破坏的视频第1章绪论第1章绪论1-1强度刚度稳定性构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏塔科马大桥造价800万美元，建成后只工作了短短的4个月时间，1940年11月7日桥体便垮塌了！第1章绪论2）构件变形过大1-1强度刚度稳定性构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏轴侧俯视第1章绪论3）构件不能保持原有的平衡形态1-1强度刚度稳定性2）构件变形过大构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏第1章绪论1-1强度刚度稳定性轴侧俯视

工程中有许多受压的杆件，如磨床工作原理动画中的活塞杆，磨削工作时就是一根受压的杆件。第1章绪论1-1强度刚度稳定性第1章绪论保证构件工作时不丧失承载能力，要求其应具有一定的

强度（Strength）——构件抵抗破坏的能力

刚度（Stiffness）——构件抵抗变形的能力

稳定性（Stability）——构件保持原有平衡形态的能力1-1强度刚度稳定性3）构件不能保持原有的平衡形态2）构件变形过大构件丧失承载能力的形式：1）构件损坏第1章绪论1-2变形固体及其基本假设

刚体

变形固体（deformablebody）

基本假设（basicassumptions）1)连续性假设（continuityassumption）2)均匀性假设（assumptionofhomogeneity）a)块体（

body）b)平板（plate）c)壳体（shell）d)杆件（bar）—直杆3)各向同性假设各向同性体（bodywithisotropy）

各向异性体（bodywithanisotropy）e)曲杆第1章绪论1-3外力及其分类

静载荷（staticload）与动载荷（dynamicload）

体积力（体力）与表面力（面力）面力体力

分布力与集中力第1章绪论1-4变形（deformation）与位移（displacement）第1章绪论1-4变形（deformation）与位移（displacement）

弹性变形（elasticdeformation）

大变形与小变形

位移

线位移

角位移

塑性变形（plasticdeformation）第1章绪论第1章结束第2章应力状态分析2-1内力（internalforce）1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。

内力完全由外力引起，并随着外力改变而改变；

这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就要在

m-m面处断裂；

内力反映了材料对外力有抗力，并传递外力。

第2章应力状态分析1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。2）内力的求法截面法截面法：截、去、代、平2-1内力（internalforce）第2章应力状态分析1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。2）内力的求法截面法截面法：截、去、代、平内力是连续地分布在截面各个点上的力系，一般情况下可向截面形心简化，合成一主矢和一主矩，它们在坐标上的分量分别为：

2-1内力（internalforce）第2章应力状态分析2-1内力（internalforce）第2章应力状态分析1）内力的概念2）内力的求法截面法3）内力正负号的规定正面—外法线沿着坐标正方向的截面；反之为负面正面上与坐标正方向相同的内力为正；反之为负。负面上与坐标正方向相反的内力为正；反之为负。2-1内力（internalforce）第2章应力状态分析1）内力的概念2）内力的求法截面法3）内力正负号的规定

例1直径为d

,长为l圆截面直杆，铅垂放置,上端固定，若材料单位体积质量为r

，试求在重力作用下杆m-m

截面的内力。解：2-1内力（internalforce）第2章应力状态分析整个杆件最大的轴力发生在固定端截面上，其值解：第2章应力状态分析

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析解得

例2直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。若不计杆的重力，试求杆的m-m截面的内力。解：第2章应力状态分析

例3折杆受力如图所示（图中尺寸单位为mm），试求Ⅰ-Ⅰ截面上内力。解：1）求固定端A处约束

力第2章应力状态分析解：1）求固定端A处约束力第2章应力状态分析A处约束力2）求Ⅰ-Ⅰ截面的内力第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力1）应力（stress）的概念

通常情况下，受力构件不同截面上内力是不相同的，就是在同一截面各个点上内力也是不相同的。例如，图中吊架横梁各个横截面上的内力是不相同的；就是过A、B两点的同一个截面上，各点的内力大小也不相同，A、B两点上的内力最大。

可见，在研究构件强度时，对构件内各个点受力情况十分关心，要引入应力这个概念。第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力1）应力（stress）的概念称为

a

点的全应力

第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力1）应力（stress）的概念称为a点全应力

2）正应力（normalstress）与切应力（shearingstress）第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力

切应力有两个脚标，第一个表示应力的作用面；

第二个表示应力的方向。

应力的量纲为，其单位为

。若是保留右半部分

第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力1）应力（stress）的概念2）正应力（normalstress）与切应力（shearingstress）3）应力正负号的规定左半部分正面上：与坐标正方向相同的应力分量为正，反之为负负面上：与坐标正方向相反的应力分量为正，反之为负右半部分第2章应力状态分析2-2应力的概念正应力与切应力

以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体

数学中的点是没有意义的。用极限的概念来描述一个点。

围绕a点取一微小的六面体，称为单元体

六个面都表示通过同一点

a的面，只是方位不同而已。

相平行的两个面是表示过该点的同一截面的不同侧方向。

今后约定，以截面外法线来命名截面。

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面的应力分量亦不相同

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示

若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个切向分量——切应力和，这样,单元体上共有九个应力分量。（）第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示３）切应力互等定理同理

在受力构件内过一点相互垂直的两个微面上，垂直于两微面交线的切应力大小相等，方向相向或相背。这一规律称为切应力互等定理。

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示３）切应力互等定理4）应力状态分类

三向应力状态

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示３）切应力互等定理4）应力状态分类

三向应力状态

二向应力状态

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示３）切应力互等定理4）应力状态分类

三向应力状态

二向应力状态

单向应力状态

第2章应力状态分析2-3一点的应力状态切应力互等定理１）单元体２）一点的应力状态表示３）切应力互等定理4）应力状态分类

三向应力状态

二向应力状态

单向应力状态

纯切应力状态

第2章应力状态分析2-4二向应力状态分析——解析法第2章应力状态分析2-4二向应力状态分析——解析法

第2章应力状态分析2-4二向应力状态分析——解析法用倍角公式简化同理第2章应力状态分析第2章结束第3章应变状态分析3-1应变（strain）概念线应变与切应变

一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均要发生变形（固定约束点处除外）。并累积成构件整体变形。

若要研究构件内某一点a

的变形，可围绕该点取一单元体如下图所示。

在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，棱边ae

由

Dx

伸长到Dx+Du

。

点a在x方向的平均线应变点a在x

方向的线应变（或正应变）第3章应变状态分析3-1应变（strain）概念线应变与切应变

点a

在x

方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在x

这个线度方向变形的程度。

同理，

、分别表示点

a沿

y、z方向的线应变。

单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae和

af两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。

称为点

a在平面内的切应变或角应变。

同理，用分别表示y-z

平面内和

x

-z平面内的切应变。

第3章应变状态分析3-1应变（strain）概念线应变与切应变

规定以伸长的线应变为正，缩短的为负；使夹角p/2减小时的切应变为正，反之为负

综上所述，通常情况下，受力构件内某一点即有线应变，又有切应变等六个应变分量。

线应变和切应变都没有量纲，切应变用弧度表示。今后应变的单位用微应变m

表示，一个微应变等于10-6。第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程

首先分析在一个平面内（例如，在平行x-y坐标面内），过点

a所取的单元体aBCD的变形。

根据变形固体的连续性假设，位移分量u和v都应是x和y的连续函数。与点a相比，点C的y坐标不变，但x坐标有一增量Dx

，所以点C的位移分量应为

同理，点B的位移分量应为第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程

其中，和是函数u和v因x有一增量Dx而引起的相应增量。在小变形情况下，位移v的增量项只引起线段的轻微转动，并不改变其长度。于是，可以认为的长度就是

第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程同理可得到a点在y方向的线应变变形后转过了a角。由于a很小，则

小变形情况下，与1相比甚小可以忽略，于是

同理第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程

按着上述的分析方法，再考虑过点a的单元体，分别在与

y-z、x-z两坐标面平行的面的变形。综合所得结果，即上述六个方程，称为几何方程第3章应变状态分析3-3应变协调条件相容方程

由几何方程知，若位移u、v、w确定后，那么，经微分运算就能得到六个应变分量:

。

反过来，要从已知的六个应变分量函数得到三个未知的位移分量函数,数学上就是要由六个方程解出三个未知数。这样，六个应变分量之间必须满足一定的关系才行。下面仅就平面应变这一比较简单的情况证明和导出这一关系。

平面问题几何方程为

将对y的二阶导数和对x的二阶导数相加，得

即相容方程第3章应变状态分析3-3应变协调条件相容方程

对于平面问题，三个应变分量间存在着微分关系，反映了单元体变形应变协调这一事实。这就是应变协调条件，这个方程称为平面问题的相容方程。

相容方程

相容方程的意义也可以从几何角度加以解释。如前所述，我们假想将物体分割成无数单元体，使每个单元体发生变形。如果表示单元体变形的应变分量之间没有一定关系，则在物体变形之后，就不能将这些单元体重新拼合成连续体，相邻单元体之间或产生裂缝、或发生嵌入。为使变形后的小单元体能重新拼合成连续体，则应变应满足协调条件。变形具有协调性。第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析

若受力物件内某一点M只存在三个应变分量，而且都在同一个平面内，其余的应变分量为零。例如在x-y平面内，只有，而。斜向方向应变

在xoy坐标系内,点M的坐标(x,y)、位移矢的分量u、v；三个应变分量均已知

在新坐标系下，点M的坐标为；位移矢的分量

平面应变状态

于是有

第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析复合函数求导的链式法则第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析

仿照上述的过程，可以导出

将三角函数略作简化，写成类似二向应力状态斜截面应力公式的形式，得

斜向方向应变

第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析

仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例如，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为主应变，这个方向称为主应变方向或应变主轴。

主应变

主应变及主应变方向

主应变方向

第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析最大切应变及其方向即

最大切应变最大切应变方向第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析应变圆斜向方向应变公式中消去参数a，得应变圆方程第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析应变圆第4章材料的力学性能应力应变关系4-1材料的力学性能与基本实验

材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，称为材料的力学性能。

材料不同，其力学性能也不同。

同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环境的不同，其力学性能也不相同。

本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的力学性能。

最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-1材料的力学性能与基本实验

试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。例如，国家标准

GB6397—1986《金属拉伸试验试样》中规定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。

拉伸试件压缩试件短圆柱试件第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力

F与试件的伸长量

l之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线（F-

l曲线），称为拉伸图。

除去尺寸因素，变为应力-应变曲线。即

s-e

曲线。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

分析曲线，有几个特征点，把曲线分成四部分，说明低碳钢拉伸时，变形分为四个阶段。

将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力

F与试件的伸长量

l之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线（F-

l曲线），称为拉伸图。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第一阶段——弹性变形阶段

（曲线ob段）在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称卸载）为零，变形会消失。b

点对应的应力称材料的弹性极限。即，材料处于弹性变形阶段时所能承受的最大应力，用表示，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第一阶段——弹性变形阶段

（曲线ob段）该阶段，曲线有很大一段是直线段（oa直线段），说明应力应变成正比关系，即E为比例常数，是材料的弹性模量，它反映了材料抵抗弹性变形的能力。胡克定律第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第一阶段——弹性变形阶段

（曲线ob段）a

点对应的应力称材料的比例极限。即，材料应力应变处于正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用表示，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第二阶段——屈服（流动）阶段

（曲线bc段）外力在小范围内波动，但变形显著增加。即，材料暂时失去了抵抗变形的能力。在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。试件表面出现滑移线（与试件轴线成45度角度）。第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第二阶段——屈服（流动）阶段

（曲线bc段）曲线最低点所对应的应力，称为材料的屈服点，用表示，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第三阶段——强化阶段

（曲线ce段）过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的强度极限，用表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承受的最大应力，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

第四阶段——颈缩破坏阶段

（曲线

ef段）过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速降低，最后在颈缩处试件被拉断。第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

延伸率其中，是试件试验前的横截面面积，是颈缩处的最小横截面面积。其中，是试件包括塑性变形的长度，是试件试验前的长度。断面收缩率第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

冷作硬化现象

经过弹性阶段以后，若从某点（例如d点）开始卸载，则力与变形间的关系将沿与弹性阶段直线大体平行的

dd

线回到

d

点。

若卸载后从d

点开始继续加载，曲线将首先大体沿d

d线回至d点，然后仍沿未经卸载的曲线def变化，直至

f点发生断裂为止。

可见，在再次加载过程中，直到

d点以前，试件变形是弹性的，过

d点后才开始出现塑性变形。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（1）低碳钢的拉伸试验

冷作硬化现象

比较这两个图形中的曲线，说明在第二次加载时，材料的比例极限得到提高（），而塑性变形和伸长率有所降低。

在常温下，材料经加载到产生塑性变形后卸载，由于材料经历过强化，从而使其比例极限提高、塑性降低的现象称为冷作硬化。第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（2）铸铁的拉伸试验

铸铁拉伸时，没有屈服阶段，也没有颈缩现象。

铸铁的应力应变曲线没有明显的直线段，通常在应力较小时，取图上的弦线近似地表示铸铁拉伸时的应力应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量

E。

反映强度的力学性能只能测得强度极限，而且拉伸时强度极限的值较低。

由于铸铁的抗拉强度较差，一般不宜选做承受拉力的构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（3）低碳钢的压缩试验

低碳钢试件压缩时的应力应变曲线。

与拉伸曲线相比，屈服阶段以前曲线基本重合，即低碳钢压缩时，弹性模量

E、屈服点均与拉伸时大致相同。

过了屈服阶段，继续压缩时，试件的长度愈来愈短，而直径不断增大，由于受试验机上下压板摩擦力的影响，试件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。

压力继续增加，直径愈益增大，最后被压成薄饼，而不发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-2轴向拉伸与压缩实验

（4）铸铁的压缩试验

与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极限很高，例如，HT150压缩时的强度极限约为拉抻时强度极限的四倍。

抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点，也是脆性材料的共同特点。

铸铁试件受压缩发生断裂时，断裂面与轴线大致成45

的倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。第4章材料的力学性能应力应变关系4-3没有明显屈服阶段的塑性材料

工程中，有一类塑性材料，其应力应变曲线中没有明显的屈服阶段。例如，中碳钢、合金钢等。

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常人为地规定，把产生0.2%塑性应变时所对应的应力称为材料的屈服强度，并用表示。第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律

由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即

实验表明，在比例极限内，横向（与应力垂直的方向）线应变（或）与纵向应变之比为一常量。用

v表示这一比值，则（1）简单胡克定律

简单拉、压胡克定律第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律

由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即

实验表明，在比例极限内，横向（与应力垂直的方向）线应变（或）与纵向应变之比为一常量。用

v表示这一比值的绝对值，则（1）简单胡克定律

简单拉、压胡克定律v称为横向变形系数或泊松比，是材料常数，其值可通过实验进行测定。

第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律

由试验（扭转试验）还可指出，在材料的比例极限范围内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即

G称为材料的切变模量，其值与材料有关，可由实验测得。剪切胡克定律（1）简单胡克定律

第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律

空间应力状态下，对于各向同性材料，在线弹性范围内，坐标轴方向的正应力只引起坐标轴方向的线应变，而不引起切应变；同样，各坐标面内的切应力只引起该坐标面内的切应变，而不引起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理，即（2）广义胡克定律

（1）简单胡克定律

第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律

同理得叠加得（1）简单胡克定律

第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律（2）广义胡克定律

据剪切胡克定律

同理

综上所述，对于原三向应力状态，有

（1）简单胡克定律

第4章材料的力学性能应力应变关系4-4各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律

若单元体的三个主应力已知时，其广义胡克定律可写成：

（1）简单胡克定律

第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（1）体变应变与形状变形

变形分为两类：体积变形与形状变形。单元体如果原是立方体，变形后仍为立方体，或单元体原是球体，变形后仍为球体。这种变形只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为纯体积变形。如果原是立方体的单元体，变形后为体积相等的长方体，或原是球形单元体，变形后为体积相等的椭球体。这种变形只是形状发生了变化，而体积没有变化，称为纯形状变形。

为方便起见，在主轴坐标系中进行考察。取一主单元立方体，变形前各棱边的长度均为da

，则变形前体积变形后体积第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能代入广义胡克定律，得体变应变体变应变胡克定律其中平均应力体变应变弹性模量（忽略高阶微量）（1）体变应变与形状变形

第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能体变应变

各主应力

1、

2、

3偏离平均应力

m的量用s1、s2、s3表示，即s1=

1-

m，s2=

2-

m，s3=

3-

m。形状变形是由这些应力偏离量引起的。

主单元体在主应力

1、

2、

3作用下，不仅体积发生了变化，而且形状也发生了变化，由原来的立方体变为长方体。

体变应变量是由单元体各面上平均应力引起的。形状变形（1）体变应变与形状变形

第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

弹性体变形过程的同时外力要做功，并且转变为能量储存于该弹性体中。这种能量称为弹性变形势能，简称变形能。当逐渐卸去外力，弹性体又将所储存的变形能逐渐释放而做功，使变形逐渐消失。若外力增加十分缓慢时，可忽略弹性体内的动能及其他能量损失，可以认为变形能就等于外力功W，即

轴向拉伸直杆，当拉力从零开始缓慢地增加到最终值

F时，则杆的变形亦同时从零开始慢慢地增加到最终值

l。在比例极限内，外力F与变形量

l之间成正比关系，F—

l图呈一过原点的斜直线

单向应力状态下的应变能第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

在逐渐加力的过程中，当拉力为F1时，杆的变形量为

l1，假如此时拉力再增加一个

dF1，那么杆的变形将含有一增量

d(

l1)。于是已作用于杆件上的拉力F1因位移

d(

l1)而做功

dW，就等于图中画阴影线部分的微分面积。

单向应力状态下的应变能dW=F1d(

l1)

把最终的拉力

F和最终的变形量

l分别视为一系列

dF1和

d(

l1)的积累，这样，拉力

F所作的总功

W便等于这些微分面积总和，即图中直线下三角形的面积。于是总功整个杆件的变形能第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

储存在单元体内的变形能一般亦称应变能。单位体积中积蓄的应变能称为应变比能或应变能密度。

单向应力状态下的应变能

该图表示单元体受单向应力

x作用，右图给出了相应的变形。

单元体内的应变能密度

将从杆件拉伸得到的结论应用于该单元体中，那么，

x方向的力

xdydz在

x方向位移

xdx上所做的功，即等于储存在该单元体内的应变能，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

对于纯切应力状态，仿照上述分析，作用在单元体的上表面x方向的力，在x方向位移上所做的功，即为储存在单元体内的应变能，即

单向应力状态下的应变能单元体内的应变能密度

纯切应力状态下的应变能第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

在三向应力

1、

2、

3作用下，变形固体内一点的应变能只与最终的力学状态（应力、应变）有关，与加载的历史（应力变化的历史）无关，故总应变能等于各应力分量分别在自己方向的应变上所做功的代数和。因此，相应的应变能密度为

单向应力状态下的应变能代入广义胡克定律

纯切应力状态下的应变能

空间应力状态下的应变能

总变形包括体积变形与形状变形，故而，总应变能密度

e等于体变应变能密度

和形变应变能密度的总和，即第4章材料的力学性能应力应变关系4-5应变能（2）应变能

体变应变能密度等于三个坐标轴方向的平均应力

m在自己方向的应变

m上所做功的代数和，即

单向应力状态下的应变能

纯切应力状态下的应变能

空间应力状态下的应变能则，体变应变能密度代入体变应变胡克定律则，形变应变能密度或第4章材料的力学性能应力应变关系4-6各向同性材料弹性常数之间的关系

各向同性材料，材料常数E、v、G间存在如下关系

考虑纯切应力状态，单元体只有形状变形，而无体积变形，形变应变能密度就是总的应变能密度。

证明

纯切应力状态为一种特殊的二向应力状态：

1=

xy，

2=0，

3=-

xy，应用形变应变能密度表达式，得上两式右端相等，得证第5章轴向拉伸与压缩5-1轴向拉压杆的内力轴向拉伸与压缩变形compressiontension

第5章轴向拉伸与压缩5-1轴向拉压杆的内力直杆，所受外力或其合力与杆轴线重合。受力特点：

沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。

变形特点：

以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面n-n上内力量

只有轴力一个内力分量

轴力(normalforce)的正负号

第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力１）平面假设

planeassumption

假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面,只是两截面的距离发生了改变。

第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力１）平面假设

简述平面假设的正确性第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力１）平面假设

２）横截面上应力公式线应变在横截面上均匀分布

单向应力状态单向应力状态胡克定律

第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力１）平面假设

２）横截面上应力公式

轴力为正值时，正应力得正值，为拉应力。反之，正应力得负值，为压应力。

第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力解：1.分段求轴力

例5-1图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力

例5-1图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。解：

2.分段求正应力

第5章轴向拉伸与压缩5-２轴向拉压杆的应力

例5-2直径为

d长为

l的圆截面直杆，铅垂放置，上端固定，如下图所示。若材料单位体积质量为

，试求因自重引起的杆的轴力和最大正应力。轴力方程作轴力图最大轴力最大应力解：第5章轴向拉伸与压缩5-3圣维南原理应力集中1）圣维南原理（Saint-Venantprinciple）

根据圣维南原理，对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。

理论分析与实验证明，影响区的轴向范围约为杆件一个横向尺寸的大小。第5章轴向拉伸与压缩5-3圣维南原理应力集中2）应力集中（stressconcentration）理论应力集中系数

截面尺寸改变得越急剧，角越尖，孔越小，应力集中的程度就越严重。

第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能1）轴向变形轴向变形横截面应力x方向线应变

取dx微段，其轴向变形为

整个杆件的轴向变形

第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能1）轴向变形EA为杆的抗拉刚度

当轴力为负值时，计算得到的

l为负值，表示为缩短变形。

、A为常数时第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能1）轴向变形2）横向变形第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能1）轴向变形2）横向变形3）变形能单向应力状态的应变能密度

dx微段的变形能

整个杆件的变形能

第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能

例5-3在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA=10kN,FB=20kN,

l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2，ABC=200mm2，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。1）杆的轴向变形

解：AB

段与BC

段的轴力

第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能解：AB

段与BC

段的轴力

2）端面A与D-D截面间的相对位移uAD

例5-3在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA=10kN,FB=20kN,

l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2，ABC=200mm2，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。第5章轴向拉伸与压缩5-4轴向拉压杆的变形变形能解：AB

段与BC

段的轴力

3）变形能

例5-3在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA=10kN,FB=20kN,

l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2，ABC=200mm2，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。第5章轴向拉伸与压缩5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力1）静定问题与超静定问题约束力或轴力全部可由静力平衡方程求得，这类问题称为静定问题（statically

determinateproblem）。

未知约束力或轴力的个数与独立静力平衡方程数目的差值，称为超静定次数。仅凭静力平衡方程不能求得约束力或轴力，这类问题称为超静定问题（

statically

indeter-minateproblem）。第5章轴向拉伸与压缩第5章轴向拉伸与压缩第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法

弹性模量为E1、横截面面积为A1的实心圆杆与弹性模量为E2、横截面面积为A2的圆筒用刚性板联接，如图a所示。试求在F力作用下圆杆和圆筒的应力。

力学条件（平衡方程）

变形谐调条件（谐调方程）

物理条件

（物理方程）式（b）代入式（a）得补充方程5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法联立（1）和（2）式，解得圆杆和圆筒的轴力

圆杆和圆筒的应力

静力平衡方程补充方程5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法

从上例可见，求解超静定问题的工作，归纳为以下三个方面：

(1)力学方面建立静力平衡方程式

(2)变形方面建立变形谐调方程式

(3)物理方面建立变形与力之间的关系式

5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法

从变形的几何关系入手，再根据物理关系，建立了与超静定次数相等的补充方程后，超静定问题便迎刃而解。可见，建立补充方程，是解决超静定问题的关键。

由内力结果可见，超静定问题中各杆的轴力与各杆抗拉刚度的大小有关。这是超静定问题不同于静定问题的一个重要特点。5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法3）温度应力力学方面变形方面物理方面补充方程温度应力

联立（1）、（2）两式得5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩1）静定问题与超静定问题2）超静定问题的解法3）温度应力4）装配应力5-5轴向拉压超静定问题温度应力装配应力第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算

在动载荷作用下，构件内的应力称为动应力

求解构件受惯性力作用问题的基本方法是动静法

达朗伯原理指出，对作加速运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法。于是，以前关于内力、应力和变形的计算方法，就可以直接用于惯性力作用下的杆件。

第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算长l

，横截面A，牵引力F，加速度a

，密度ρ

，不计摩擦惯性力的线分布集度

分布的惯性力与作用于杆的牵引力F

组成平衡力系

用截面法求得内力

横截面上动应力

最大动应力

1）构件作匀加速直线运动时的应力第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算1）构件作匀加速直线运动时的应力

例5-6起重机以加速度a匀加速吊起重物，如图所示。已知：重物重量为W，吊索横截面面积为A，吊索材料的单位体积质量为ρ，起吊重物时吊索的瞬时长度为l，试求吊索中的动应力。吊索上的重力集度

吊索上的惯性力集度

作用在重物上的惯性力

解：

第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算令则称kd

为动荷系数

最大动应力

1）构件作匀加速直线运动时的应力

例5-6起重机以加速度a匀加速吊起重物，如图所示。已知：重物重量为W，吊索横截面面积为A，吊索材料的单位体积质量为ρ，起吊重物时吊索的瞬时长度为l，试求吊索中的动应力。解：

第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算动应力沿吊索轴线线性分布

1）构件作匀加速直线运动时的应力

例5-6起重机以加速度a匀加速吊起重物，如图所示。已知：重物重量为W，吊索横截面面积为A，吊索材料的单位体积质量为ρ，起吊重物时吊索的瞬时长度为l，试求吊索中的动应力。解：

第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算1）构件作匀加速直线运动时的应力2）构件作匀角速转动时的应力

作匀角速转动时，构件内各质点具有向心加速度，因而要承受离心惯性力作用。

长为l、横截面面积为A的杆，以角速度ω绕O转动，材料密度为

，弹性模量为E

，求杆内最大动应力及杆的总伸长量。

向心加速度

离心惯性力分布集度

截面的轴力

第5章轴向拉伸与压缩5-6构件受惯性力作用时的应力计算1）构件作匀加速直线运动时的应力

x=l处杆的总伸长量2）构件作匀角速转动时的应力第6章扭转torsion扭转变形受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动的外力偶变形特点：杆件相邻两横截面绕轴线要发生相对转动发生扭转变形的杆件称为轴

第6章扭转6-1扭转杆件的内力用截面法可求得该杆任一横截面

n—n

上只有扭矩一个内力分量，其值为由内力符号的规定，扭矩的正负号正的扭矩矩矢背向截面；负的扭矩矩矢指向截面。第6章扭转6-1扭转杆件的内力解：1）求作用在轴上的外力偶

例1传动轴，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=14.8kW、PC=7.3kW。试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

第6章扭转6-1扭转杆件的内力解：1）求作用在轴上的外力偶矩2）计算横截面上的扭矩OC与段各截面扭矩均为零CA段任一截面（图中Ⅰ—Ⅰ截面）AB段任一截面（图中Ⅱ—Ⅱ截面）3)作扭矩图

例1传动轴，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=14.8kW、PC=7.3kW。试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

第6章扭转1）平面假设6-2圆轴扭转横截面上的切应力第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力1）平面假设2）横截面上的切应力公式

几何方程采用柱坐标系

x，取dx

微段第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

几何方程

物理方程纯切应力状态

切应力沿径向线性分布采用柱坐标系

x，取dx

微段第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

几何方程

物理方程

静力平衡方程式(b)代入上式（c）：

式(6-1)代入式(b)：

截面的极惯性矩

为抗扭刚度

第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

最大切应力发生在截面外圆周的各个点上

令称为抗扭截面系数

第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力1）平面假设2）横截面上的切应力公式

3）截面的极惯性矩与抗扭截面系数

实心圆截面

空心圆截面第6章扭转

例2

传动轴，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮

B、C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。要求：1）若该轴为

d=20mm的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径

D=40mm,内径

d=20mm

空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。解：1）求外力偶，作扭矩图（见例1）6-2圆轴扭转横截面上的切应力2）求实心圆轴的最大切应力最大切应力在AB段各截面外圆周各点上第6章扭转3）求空心圆轴的最大切应力6-2圆轴扭转横截面上的切应力2）求实心圆轴的最大切应力最大切应力发生在AB段各截面外圆周各个点上

例2

传动轴，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮

B、C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。要求：1）若该轴为

d=20mm的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径

D=40mm,内径

d=20mm

空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。解：第6章扭转6-2圆轴扭转横截面上的切应力4）求空心圆轴的最小切应力3）求空心圆轴的最大切应力2）求实心圆轴的最大切应力最小切应力发生在CA段各截面上内圆周各个点上解：

例2

传动轴，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮

B、C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。要求：1）若该轴为

d=20mm的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径

D=40mm,内径

d=20mm

空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。第6章扭转6-3圆轴扭转破坏模式的分析塑性材料脆性材料从圆轴表面取一单元体

与轴线夹角为

的任一斜截面上应力

第6章扭转6-3圆轴扭转破坏模式的分析塑性材料脆性材料塑性材料抗剪切能力比抗拉伸能力弱；脆性材料抗拉伸能力比抗剪切能力弱。第6章扭转6-4圆轴扭转变形与变形能1）圆轴扭转变形公式由式（6-1），dx

微段的扭转角为

整个圆轴的扭转角为

——

抗扭刚度（torsionalrigidity）第6章扭转6-4圆轴扭转变形与变形能2）圆轴扭转的变形能纯切应力状态的应变能密度杆dx微段的变形能整个杆的变形能第6章扭转6-5非圆截面杆扭转1）自由扭转与约束扭转自由扭转约束扭转2）矩形截面杆的自由扭转

周边线上，切应力方向与周边相切

四个角点处切应力等于零

在周边线的中点处，切应力极大

在长边中点处切应力最大

a、b、g是与h/b有关的系数，可查表得到。对于狭长矩形截面，即b<<h时第6章扭转6-5非圆截面杆扭转1）自由扭转与约束扭转自由扭转约束扭转2）矩形截面杆的自由扭转

周边线上，切应力方向与周边相切

四个角点处切应力等于零

沿着宽度方向（z方向）认为线性分布

在长边有很长一段各点切应力最大

对于狭长矩形截面，即b<<h时a、b、g是与h/b有关的系数，可查表得到。第6章扭转6-6薄壁杆的自由扭转剪力流1）开口薄壁杆的自由扭转

视为若干狭矩形截面杆拼接而成

扭转时横截面轮廓不变从式（b）中解出再代入式（a）中第6章扭转6-6薄壁杆的自由扭转剪力流

1）开口薄壁杆的自由扭转

令式（c）改写为由于第6章扭转6-6薄壁杆的自由扭转剪力流

2）闭口薄壁杆的自由扭转

由于杆壁很薄，可认为切应力沿厚度方向均匀分布并平行于截面中线的切线。称q为剪力流

在横截面的图面内取任一点O，计算切应力对点O的力矩，有1）开口薄壁杆的自由扭转

横截面上切应力第6章扭转6-6薄壁杆的自由扭转剪力流

称q为剪力流

在横截面的图面内取任一点O，计算切应力对点O的力矩，有而hds/2为ds所对扇形区的面积dω，所以

1）开口薄壁杆的自由扭转

2）闭口薄壁杆的自由扭转

横截面上切应力第6章扭转6-6薄壁杆的自由扭转剪力流应变能密度

变形1）开口薄壁杆的自由扭转

2）闭口薄壁杆的自由扭转

讨论课的讨论题（一）截面的几何性质1）基本图形组合在一起的组合图形形心的求法（二）材料常数的取值范围2）基本图形的惯性矩、惯性积、极惯性矩3）组合图形的惯性矩、惯性积的求法4）主轴、形心主轴、主惯性矩、主形心惯性矩定义（三）讨论横截面上的应力第7章弯曲弯曲（bending)工程中有许多发生弯曲的构件第7章弯曲弯曲（bending)工程中有许多发生弯曲的构件轴侧俯视第7章弯曲弯曲（bending)平面弯曲（planebending)第7章弯曲弯曲（bending)受力特点：

（集中力、分布力、集中力偶、分布力偶）作用在杆过轴线的对称平面内，并垂直于轴线。变形特点：

轴线由直线变成了在过轴线对称平面内的平面曲线。