江苏省盐城市初级中学等校2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏盐城市初级中学等校2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于x的方程，属于一元二次方程的是（）A.x-2y=1 B.x2-5x=0 C. D.2x+1=02.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A.3 B.4 C.5 D.63.如图，、、均为的半径，连接、，若，，则的度数为（

）

A. B. C. D.4.如图，四边形内接于，若，则的度数是（）

A. B. C. D.5.如图，是的直径，于，，则为（

）

A. B. C. D.6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是(

)

A.点 B.点 C.点 D.点7.“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（

）．

A. B. C. D.8.物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（

）

A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是

．10.如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝

cm．

11.已知关于的方程的一个根是，则的值为

．12.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是

．13.如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为

．

14.如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为

．

15.如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC=4cm,则三角形纸片BDE的周长为

cm.

16.已知正方形的边长为，点在边上，点在边上，且．连接，过点作，垂足为，则线段的最小值为

．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.解一元二次方程：(1)；(2)；四、解答题：本题共10小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AB=CD，求证：AD=CB​​​​​​​．

19.(本小题6分)如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数．

20.(本小题6分)已知：菱形内接于．

(1)证明：四边形是正方形；(2)若的半径为，求四边形的边长．21.(本小题6分)如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使．

(1)求证：是的切线．(2)若，，求的半径．22.(本小题6分)已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)若方程有两个实数根、，且，求k的值．23.(本小题6分)课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）．小组现场测量：单块花岗岩条石长，高．

(1)通过观察，拱桥跨度的长为

；A到的距离为

；(2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径．24.(本小题8分)根据以下素材，探索完成任务．素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件．素材2该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．问题解决(1)该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？(2)为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？25.(本小题8分)如图1，在菱形中，是边上的动点，是的外接圆与对角线的交点，连接、．

(1)当点是菱形对角线的交点时，说明；(2)如图2，当时，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，探究点在边上运动时，的比值是否变化，若不变请求出比值；若变化，请说明理由．26.(本小题11分)【阅读材料】我们在《圆》这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如：“作一个圆的内接正三角形”“作圆的切线”等．在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”．其中，圆规用来画圆（圆弧）、截取和转移线段长度．它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等距的工具．无刻度直尺只能用来过两点画直线（射线、线段），不能量长度．它的作用是连接交点、确定直线，实现两点定线．尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑．【例题感悟】(1)如图1，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为

．

(2)根据以下作图过程，回答下列问题：作法：如图2，①作直径；②作半径的垂直平分线与交于点C、D；③连接、．问：是正三角形吗？请说明理由．【实践操作】(3)在矩形中，，，为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．如图3，当点落在边上时，利用尺规作图，在图4中作出满足条件的图形（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出此时长为．

(4)将中劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过点，如图．请在图中使用无刻度直尺和圆规在上用两种方法求作一点，使得．

27.(本小题11分)对于图形和图形，给出如下定义：若图形上存在点关于直线的对称点在图形上，则称直线为图形与图形的“关联线”．

(1)轴是点与下列哪个点的“关联线”？

．（填序号）①；②；③；④

(2)已知，如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，的半径为，直线是过点且平行于轴的一条直线．①若直线是点与的“关联线”，则；②当满足什么条件时，能使得直线成为与一次函数图像的“关联线”？③已知，如图，与轴正半轴的交点为点，点在第四象限且在上，．当满足什么条件时，直线成为一次函数的图像与的“关联线”？

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】

10.【答案】8

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】4

14.【答案】

15.【答案】7

16.【答案】

17.【答案】【小题1】解：，，解得；【小题2】解：，，解得．

18.【答案】证明：∵AB=CD，

∴，

∴，

∴=，

∴AD=BC．

19.【答案】解：是直径，，又，，，，

20.【答案】【小题1】证明：∵菱形，∴，∵菱形内接于，∴，∴，∴菱形是正方形【小题2】解：连接，如图，根据（1）中可知，则为的直径，即，∵在中，，，∴．∴（负值舍去）．

21.【答案】【小题1】证明：连接

​​​​​​​是的直径，，，，，，，即，，为的半径，是的切线；【小题2】解：，，，即，，又，，的半径为．

22.【答案】【小题1】证明：∵关于x的一元二次方程为，∴，∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；【小题2】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，∴，∵，∴，解得．

23.【答案】【小题1】267【小题2】解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，∵，即，∴，，∴，解得：，即圆的半径为．

24.【答案】【小题1】

解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件，根据题意可知，，解得，（不符合实际意义，舍去），答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是．【小题2】解：设衬衫的单价降元，∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件，∴降价后每件利润为元，每天销售量为件，∵每天赢利1250元，∴，解得，答：衬衫的单价应该降15元．

25.【答案】【小题1】证明：连接，如图：∵四边形是菱形，∴，∴．∵点E在的外接圆上，∴，∴，∴；【小题2】，理由如下：∵四边形是菱形，，∴四边形是正方形，∴，对角线平分和，∴．过点E作于点G，如图：∵，，且点E在的平分线上，∴．∵，∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形，∴．由图可得，四边形内接于圆，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴．过点E作于点H，如图：∵，，，∴四边形是矩形，∴．在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；【小题3】解：由（2）的结论可知：，．∵，，∴，∵四边形是正方形，∴是等腰直角三角形，由（2）同理可得，，∴，∴，∴，∴，∴的比值不变，为．

26.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】是正三角形，理由如下：连接、，如图，∵垂直平分，∴，，∵圆的半径相等，即，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴根据垂径定理的推论有垂直平分，∴，∵，∴是等边三角形【小题3】

​​​​​​​根据作图可知：，∴在中，，∴，∵的垂直平分线交于点P，∴，∴，∵在中，，∴，解得：；【小题4】方法一：，

​​​​​​​方法二：

27.【答案】【小题1】①【小题2】解：①由题意得，直线l是过且平行于y轴的直线，即直线．设点关于直线的对称点为，∵两点横坐标的中点为m，∴，∴，∴．由题意得，在以原点为圆心、半径为的上，∴点到原点的距离等于半径，∴解得或；②在上，令，得，即点；令，得，即点．∴点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为．设对称后的直线解析式为，，解得，∴对称后的直线解析式为，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，如图：令，得，即；令，得，即．∴，，即．又∵，∴是等腰直角三角形．∴，，设原点O到直线的距离为d（即斜边上的高），∵，∴解得，∵“直线l是与一次函数的关联线”，∴对称后的直线与有公共点，∴圆心到直线的距离半径．∵半径，∴，∴，∴，∴，解得；③∵点C是与y轴正半轴的交点，，∴．过点D作轴于点E，如图：∵，，∴．又∵，∴是等腰直角三角形，．在中，，∵，∴，∴，∴，∵D在第四象限，∴，当对称直线刚好经过点时，此时m的值最小，如图，将代入对称直线中得，解得，在对称直线上，当时，，此时m越小，则越小，直线整体越往左边靠；m越大，则越大，直线整体越往右边靠，当时，，此时对于任意横坐标，直线上对应点的纵坐标都小于