沪科版（新教材）八年级上册数学第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》全章教学课件

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件沪科版八年级上册数学（25秋新教材）13.1.1三角形中边的关系第13章

三角形中的边角关系、命题与证明学习目标三角形中边的关系准备好了吗？一起去探索吧！1.理解三角形概念及其基本要素.2.证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题.3.经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值.4.认识到通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学源于生活，而又在生活实践探索中得到解决.情境引入观察这些实物，里边有你熟悉的几何图形吗？下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？思考CABDBAC(3)AB

CD(1)(2)条件：DEABC①不能在同一条直线上；②不能有“缺口”“尾巴”；

由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.构成三角形的要素有哪些？构成三角形的要素有哪些？组成三角形的线段叫作三角形的边；相邻两边所组成的角叫作三角形的内角相邻两边的公共端点是三角形的顶点.AB

、AC

、BC(c)

(b)

(a)(角)；ABCabcA、B、C∠A、∠B、∠C思考如何用符号表示三角形？ABCABC△①字母没有先后顺序；②通常情况下按逆时针的顺序写.△BCA、△CAB思考等腰三角形等边三角形有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.腰腰底边底角顶角三边都相等的三角形叫作等边三角形.底边＝腰你能给下面的三角形起个名字吗？思考特殊的等腰三角形思考如何给下面的三角形分类？按边分：三边都不相等的三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等腰三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形等腰三角形(1)(2)(3)(4)(5)思考设置三组小棒的长度，让学生动手操作，看能否拼成三角形?第一组：3cm，4cm，5cm(能拼成三角形)第二组：2cm，3cm，5cm(在一条直线上，不能拼成三角形)第三组：1cm，2cm，8cm(不能拼成三角形)在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系如何？你判断的依据是什么？思考任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？CAB路线1：沿A→C→B路线走哪条路线短？为什么？路线2：沿线段AB走即：AC+BC>AB；AB+BC>AC；AB+AC>BC.三角形中两边之和大于第三边.两点之间，线段最短合作探究任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？CAB合作探究即：AC+BC>AB；AB+BC>AC；AB+AC>BC.BC>AB

ACBC>AC

AB三角形中两边之和大于第三边.三角形中两边之差小于第三边.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)

3，4，8(

)(2)

2，5，6(

)(3)

5，6，10(

)(4)

3，5，8(

)不能能能不能有没有更简便的判断方法？做一做只要满足较短的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形;

否则不能组成三角形.典型例题(1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长；解：设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm.根据题意，得x+2x+2x=18.解方程，得x=3.6.所以三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm.例1等腰三角形中，周长为18cm.x2x2x典型例题(2)如果一边的长为4cm，求另两边长.例1等腰三角形中，周长为18cm.是底还是腰？分类讨论解：若底边长为4cm，设腰长为xcm.

根据题意，得2x+4=18.解方程，得

x=7；若腰长为4cm，设底边长为xcm.

根据题意，得

2

4+x=18.解方程，得x=10.由于4+4<10，可知以4cm为腰长不能构成周长为18cm的等腰三角形.

所以，三角形的另两边长都是7cm.典型例题例2在△ABC中，AC=5，BC=2，求△ABC周长L的取值范围.关键：第三边52CAB解：∵

AC+BC>AB，∴AB<7

∵AC

BC<AB，∴AB>3

可得：3<AB<7

∵△ABC的周长L=AC+BC+AB=AB+7

∴

L的取值范围是：10<L<14第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和抢答随堂练习1.说出图中的各个三角形.并表示出来.并说一说每个三角形的边、顶点、角.ADBEC△ABE△BCE△CDE△ABC△BCD2.上图中，以BC为边的三角形有哪些？△BCE△ABC△BCD抢答随堂练习3.已知等腰三角形的一边长为5cm，一边长为6cm，求它的周长.①如果底边长为5cm，腰长为6cm，此时三边长分别为：5，6，6，满足：5+6>6，能够成三角形.三角形的周长L=5+6+6=17(cm)；②如果底边长为6cm，腰长为5cm，此时三边长分别为：5，5，6，

满足：5+5>6，能够成三角形；三角形的周长L=5+5+6=16(cm).综上，该等腰三角形的周长为16cm或17cm.解：抢答随堂练习解：∵AC

BC<AB<AC+BC，

可得：3<AB<7.

∵AB为奇数，∴

AB=5.

∴

△ABC的周长L=3+5+7=15.4.在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB为奇数，求△ABC周长L.知识点1

三角形及其相关概念

（第1题）返回（第2题）

（1）图中的三角形有___________________________________________________________________；

返回知识点2

三角形的分类（找边）3.

如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(

)D

返回

AA.

等腰三角形

B.

等边三角形C.

三边都不相等的三角形

D.

以上都不对返回知识点3

三角形的三边关系

B

返回

A

返回

3返回

返回易错点

忽视组成三角形的不同情况而漏解

11或13

返回

B

返回

DA.

最小值是11

B.

最小值是12C.

最大值是14

D.

最大值是15返回三角形中边的关系三角形的定义：三角形的分类(按边分)：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.三边关系：三角形中两边之和大于第三边.三角形中两边之差小于第三边.13.1三角形中的边角关系2.三角形中角的关系学习目标三角形中角的关系准备好了吗？一起去探索吧！1.探索并掌握三角形内角和定理.2.会用三角形内角和进行角度的计算.3.能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.4.通过探究三角形角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，并发展学生的合情推理能力，养成独立思考的习惯.情景引入在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结.可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”.老大老二老三你能帮着“大哥”解释一下吗？有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.三角形按照角的大小分类，怎样分？锐角三角形直角三角形钝角三角形三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形.斜三角形直角三角形思考直角三角形中夹直角的两边叫作直角边，直角相对的边叫作斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”.三角形按照角分类，怎样分？思考钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？思考在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？折叠法剪拼图、折叠、度量231312三角形的内角和等于180°∠1+∠2+∠3=180°思考剪拼法剪拼图、折叠、度量在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？三角形的内角和等于180°三个内角的和仍然是180°归纳总结同一个三角形中三个内角的关系三角形的内角和等于180°.ABCABCABC∠A+∠B+∠C=180°任意三角形思考你现在能解释这个问题了吗？在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结.可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”.老大老二老三三角形的内角和等于180°.如图，说出各图中∠1

的度数．80°50°1105°30°1

22°1(1)

(2)

(3)

做一做∠1=50°∠1=45°∠1=68°三角形的内角和等于180°.典型例题例已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.

B

A

C

D

解析：可以从以下三个方面考虑，①所求的角在哪个三角形内；②所在三角形内其它两个角的度数；③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算.典型例题B

A

C

D

54°18°解：因为BD⊥AC，(已知)所以∠ADB=∠CDB=90°.在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°)∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知)∠A=180°–∠ABD–∠ADB

=180°–54°–90°=36°.90°在△ABC中，∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC)=180°–36°–(54°+18°)=72°.36°例已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.

抢答随堂练习1.在△ABC中：(1)已知：∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C=

；(2)已知：∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C=

.30°75°三角形的内角和等于180°.D

抢答随堂练习2.已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D.(1)写出图中所有相等的角；(2)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边.解：(1)∠ACB=∠ADC=∠CDB，∠CAB=∠DCB，B

A

C

∠ACD=∠B.(2)

Rt△ACB，Rt△CDB，Rt△ADC，AB是斜边；CB是斜边；AC是斜边.抢答随堂练习3.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数.B

A

C

D

解：在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=46°，所有∠C=180°–70°–46°=64°.在Rt△ADC，∠C=64°，∠ADC=90°，所有∠CAD=180°–64°–90°=26°.三角形中角的关系三角形按角的大小分类：三角形三个内角的关系：三角形的内角和等于180°.任意三角形13.1.3三角形中几条重要线段第13章

三角形中的边角关系、命题与证明lAB如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线?画放移靠过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?思考回顾思考ABCD三角形的高线

从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.

注意：标明垂直的记号和垂足的字母.符号语言：∵在△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADB

∠ADC

90°.

你还能画出三角形其它边上的高吗？操作ABCDEF试着作出△ABC的另外两条高.观察图形，你发现了什么？1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.2.锐角三角形的三条高交于一点.这个结论对所有的三角形都成立吗？操作讨论几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点……ABCDEF试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高.ABCD锐角三角形直角三角形ABCD钝角三角形EF归纳钝角三角形ABCDEFABCD锐角三角形直角三角形ABCDEF锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量高之间是否相交高所在的直线是否相交三条高所在直线的交点的位置311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部归纳相同点：三角形三条高所在的直线交于一点．不同点：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；

直角三角形三条高的交点在直角顶点；

钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．思考

你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ABC三角形的中线：

三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线．DEF符号语言：∵AD是△ABC的BC边的中线，∴BD

DC

BC.操作任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？ABCDEFABC锐角三角形直角三角形ABC钝角三角形▶▶(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；

●

三角形的中线的特征：▶▶(2)三角形的中线是一条线段；▶▶(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.归纳ABCDEF三角形的重心：

三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．O思考CAB准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？CABCABDC'12三角形的角平分线：

三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.符号语言：∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1

∠2

∠BAC.操作任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？CABDFFABCCBA锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.归纳三角形的高三角形的中线三角形的角平分线图形特点数量333位置三条高所在的直线交于一点在三角形内部、外部、三角形上三条中线在三角形内部交于一点三条角平分线在三角形内部交于一点典型例题例1如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC

60°，∠BCE

40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC

60°，∴∠DAC

∠BAD

30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE

40°，∴∠B

50°.∴∠ADB

180°

∠B

∠BAD

180°

30°

50°

100°.ABCDE30°40°典型例题例2在△ABC中，CD是中线，已知BC

AC

5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.解：∵CD是△ABC的中线，∴BD

AD.

又∵BC

AC

5cm，

△DBC的周长

BC

BD

CD

25cm，∴△ADC的周长

AD

CD

AC

BD

CD

BC

5

25

5

20(cm).ADBCAC

(BC

5)

cm知识点1

三角形的高

DA.

B.

C.

D.

返回（第2题）

BA.

60

B.

120

C.

90

D.

100

（第2题）

返回知识点2

三角形的角平分线

D（第3题）

返回

（第4题）返回知识点3

三角形的中线（第5题）

D

返回

10返回易错点

忽略对三角形的形状分类讨论而致错

D

B

三角形中几条重要的线段三角形的几条重要线段：高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.13.2.1定义与命题第13章

三角形中的边角关系、命题与证明思考观察下列语句，它们有什么特征？①无限不循环小数称为无理数.②不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的封闭图形叫作三角形.③三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.你还能举出类似的语句吗？试着说一说.明确所知对象的范围揭示了对象的特征性质.像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.回顾在学习“三角形中角的关系”时，得到“三角形的内角和等于180°”，你还记得怎样得到的吗？折叠法剪拼法度量法对于上面的结果，你有什么想法吗？思考针对前面得到的结果，有一些同学提出了以下疑问：(1)在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；(2)度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°.你能回答上面的问题吗？在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理.思考推理是一种思维活动.人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断.判断是通过语言来表达的，例如：(1)北京是中华人民共和国的首都；(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；(3)1+1<2；(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.从上面各语句中可以看出，人们对于客观事物的判断可能是正确的，也可能是错误的.请判断语句的正误归纳(1)北京是中华人民共和国的首都；(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；(3)1+1<2；(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.★像这样，对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.★上面判断性语句(1)(2)(4)都是正确的命题，我们称之为真命题；★(3)是错误的命题，我们称之为假命题.注意：①命题是表示判断的句子；②与正误无关；③命题有真假.做一做1.判断下列语句是否为命题？(1)你写完作业了吗？(2)欢迎前来参观！(3)以点O为圆心、3cm长为半径画弧.没有给出判断，是个疑问句.没有给出判断，是个感叹句.没有给出判断，是个祈使句.像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题.因此，疑问句、感叹句、祈使句都不是命题.做一做2.判断下列语句是否为命题？(1)如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(3)如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.这些语句有什么共同特点吗？做一做2.判断下列语句是否为命题？(1)如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(3)如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.这些语句有什么共同特点吗？条件结论“如果……那么……”可省略不写，如：对顶角相等.思考把条件设为“p”，结论设为“q”，你能写出一个命题吗？如果p，那么q(或若p，那么q)把条件设为“q”，结论设为“p”如果q，那么p(或若q，那么p)原命题逆命题这样的两个命题称为互逆命题原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？思考写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.(1)同位角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等；(3)如果a=b，则a2=b2.解：(1)两直线平行，同位角相等.

(2)如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等.

(3)如果a2=b2，那么a=b.真命题真命题假命题例如：当a=–3，b=3时，满足a2=b2，但是a≠b.反例归纳当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.讨论：我们如何判断一个命题的真假？反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.典型例题例1指出下列命题的条件与结论：(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.解析：从形式上看，能写成“如果……，那么……”的形式，且其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.典型例题例1指出下列命题的条件与结论：(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.解：(1)条件：两条直线都平行于同一条直线，

结论：两条直线平行.(2)条件：∠A=∠B，

结论：∠A的补角与∠B的补角相等.典型例题例2写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：(1)内错角相等，两直线平行；(2)如果a=0，那么ab=0.解析：逆命题就是“把原命题的条件作为结论，把原命题的结论作为条件”进行改写.解：(1)两直线平行，内错角相等.(2)如果ab=0，那么a=0.例2写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：(1)内错角相等，两直线平行；(2)如果a=0，那么ab=0.真命题假命题反例，当a=1，b=0时，ab=0.典型例题抢答随堂练习1.把下列命题写出“如果p，那么q”的形式：(1)两条直线相交，只有一个交点；(2)直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°.(3)两直线平行，同位角相等；(4)等角的补角相等.解：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)如果直线AB⊥直线CD，交点为O，那么有∠AOC=90°.(3)如果两直线平行，那么同位角相等.(4)如果两个角相等，那么它们的补角相等.抢答随堂练习2.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例：(1)若|a|=|b|，则a=b；(2)如果ab>0，那么a，b都是正数；(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等.真命题假命题假命题假命题反例：(1)当a=–1，b=1时，满足|a|=|b|，但是a≠b.(2)当a=–2，b=–3时，满足ab>0，但此时a，b都是负数.(4)如右图.abl知识点1

定义1.下列句子中，属于定义的是______.①两点确定一条直线；②同角或等角的余角相等；③两直线平行，内错角相等；④有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；⑤三角形三条中线的交点是三角形的重心.④⑤返回知识点2

命题的判断及形式

AA.

①②

B.

③④

C.

②③

D.

①④返回3.

下列命题中，是真命题的是(

)

B返回4.

以下命题是假命题的是(

)A

返回5.请将命题“三角形两边之和大于第三边”改写成“如果……那么……”的形式：_______________________________________________________.

如果一个图形是三角形，那么该三角形两边之和大于第三边返回知识点3

互逆命题与举反例6.

对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是(

)C

返回

真返回

34

返回命题命题的概念：真假命题：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.判断性语句是正确的命题，我们称之为真命题；判断性语句是错误的命题，我们称之为假命题.互逆命题：若原命题是“如果p，那么q”，则逆命题是“如果q，那么p”.注：①命题是表示判断的句子；②与正误无关；③命题有真假.注：①成对出现；②原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.定义的概念：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.13.2.2证明第13章

三角形中的边角关系、命题与证明情境引入考考你的眼力！横向的线都是互相平行的吗？这些横向的线都是互相平行的！其实一个黑色的点都没有！情境引入考考你的眼力！你能看到几个黑色的点？其实这两条线段一样长！情境引入考考你的眼力！这两条线段哪条长？因此，判断一个结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够；必须有有根有据的推理过程才能确定.论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.要求：★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.如：“对顶角相等”“同角的补角相等”等.从“基本事实”出发从“其它真命题”出发交流可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.需要判断归纳命题的正确性已知条件定义、事实、已证定理经过证明的真命题叫定理★从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).★演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.思考探究请你试着证明“内错角相等，两直线平行”已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.求证：a∥b.分析：①已知∠1=∠2；②∠1=∠3(对顶角相等)；③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.123cab探究请你试着证明“内错角相等，两直线平行”已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.求证：a∥b.证明：又因为∠1=∠3，(对顶角相等)因为∠1=∠2，(已知)所以∠2=∠3.(等量代换)所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)证明过程“因为”简写为“∵”“∵”读作“因为”；“所以”简写为“∴”“∴”读作“所以”.123cab探究请你试着证明“内错角相等，两直线平行”已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.求证：a∥b.证明：又∵∠1=∠3，(对顶角相等)∵∠1=∠2，(已知)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)更简单了！“因为”简写为“∵”“∵”读作“因为”；“所以”简写为“∴”“∴”读作“所以”.123cab证明命题的一般步骤归纳①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；③分析因果关系，找出证明途径；④有条理地写出证明过程.注意数学符号的运用！典型例题例1已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.

ACOBEF21典型例题例1已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)

又∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)

∴OE⊥OF.(垂直的定义)ACOBEF21典型例题例2已知：如图，直线b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.证明：∵

a⊥b，(已知)∴∠1=90°.(垂直的定义)∵b∥c，(已知)∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等)∴∠2=∠1=90°.(等量代换)∴a⊥c.(垂直的定义)12bca关键是得到∠2等于90°.抢答随堂练习在下列各题的括号内，填上推理的依据：1.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B.求证：∠C=∠2.12ABCED证明：∴AD∥BC.(

)∵∠1=∠B，(

)∴∠C=∠2.(

)已知同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等抢答随堂练习在下列各题的括号内，填上推理的依据：2.已知：如图，∠1=∠2.求证：AB∥CD.证明：∴∠1=∠3.(

)∵∠1=∠2，(

)∴AB∥CD.(

)又∵∠2=∠3，(

)231EBDACF已知对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行知识点1

基本事实与定理1.

命题“对顶角相等”是(

)DA.

角的定义

B.

假命题

C.

基本事实

D.

定理返回2.

下列说法正确的是(

)AA.

命题一定有逆命题B.

所有的定理一定有逆定理C.

真命题的逆命题一定是真命题D.

假命题的逆命题一定是假命题返回知识点2

推理与证明3.

下列说法错误的是(

)BA.

命题是判断一件事情正确或不正确的句子B.

基本事实的正确性必须得到证明C.

证明假命题举一个反例即可D.

演绎推理的过程叫作证明返回4.

［2025安庆四中模拟］阅读下面材料，①~④步中的数学依据错误的是

(

)

A.

①

B.

②

C.

③

D.

④B返回5.

在括号内填写推理依据：

垂直的定义等式的性质

内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等返回

返回命题的证明定理：演绎推理：从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).证明：演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.13.2命题与证明第3课时学习目标三角形内角和定理的证明准备好了吗？一起去探索吧！1.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处.2.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用.3.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.4.经历三角形内角和定理的推理证明过程，培养学生勇于探索、合作交流的精神，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值.回顾回顾一：回想一下证明的一般步骤是什么？①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；③分析因果关系，找出证明途径；④有条理地写出证明过程.回顾你能证明一下这个定理吗？三角形的内角和等于180°.回顾二：三角形的内角和定理是什么？追问：我们当时是怎样验证的？测量法、拼剪法、折叠法.都不是证明请你试着证明“三角形的内角和等于180°”已知：△ABC，如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？不管是折叠，还是拼剪，最终都是把三个角拼在一起得到180°.你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？B

A

C

探究请你试着证明“三角形的内角和等于180°”已知：△ABC，如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？B

A

C

B

A

C

1

2

∠1=∠C

∠2=∠B

探究通过转换，把三角形的3个角拼到一起，形成一个平角.请你试着证明“三角形的内角和等于180°”已知：△ABC，如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.B

A

C

2

1

证明：如图，过点A作直线l平行于BC，

则∠1=∠C，∠2=∠B，(两直线平行，内错角相等)l

且∠1+∠2+∠BAC=180°.∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)你还有其它的证明方法吗？探究请你试着证明“三角形的内角和等于180°”已知：△ABC，如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.B

A

C

2

1

证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，

则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行)E

∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∵B、C、D在同一条直线上，(所作)D

∴∠1+∠2+∠ACB=180°.∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.探究(虚线)思考★问题一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.

由此你能得到什么结论？直角三角形的两个锐角的和是90°.解：在△ABC中，

根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠C=90°，

∴

∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.直角三角形的两锐角互余.像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.推论1：思考★问题二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.

由此你能得到什么结论？解：在△ABC中，

根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

∴

∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.在△ABC中，(1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B=

；(2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=

；(3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，则∠B=

；(4)∠A+∠B=90°，则△ABC是

三角形.做一做60°65°75°直角全班作答典型例题例1如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.已知：①DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；②∠A＝30°；③∠FCD＝80°.典型例题例1如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.还可以在△BDE中求∠D的大小.试一试吧！例2如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．典型例题分析：要计算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.已知：①∠BAC＝40°；②∠B＝75°；③由“AD是△ABC的角平分线”，易得∠CAD=∠BAD.典型例题例2如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=40°，

在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.典型例题【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．

归纳基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.3

1

24A

B

C

D

E

3

1

24A

B

C

D

3

2

1

4A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

抢答随堂练习A

B

C

D

E

1.补充完整下列证明，并填上推理的依据：已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：过点A作DE∥BC，则∠DAB=

，()

∠EAC=

，()∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=

，(所作)∴

∠B+∠BAC+∠C=

+

+

()=180°.()∠B两直线平行，内错角相等∠C两直线平行，内错角相等180°∠DAB∠BAC∠EAC等量代换平角的定义抢答随堂练习2.补充完成下列证明：已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.

∵DE∥AB，(所作)A

B

C

D

E

F

3

1

2

∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)∵DF∥AC，(所作)∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)三角形内角和定理的证明三角形内角和定理：三角形内角和定理推论1：三角形的内角和等于180°.直角三角形的两锐角互余.三角形内角和定理推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.13.2.4三角形外角的性质第13章

三角形中的边角关系、命题与证明情境引入在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？ABC1

2

有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.那∠2呢？2

ABC1

归纳像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如