2026秋国家开放大学《工程数学（本）》（课程ID：00490）形考任务1-5参考答案

国家开放大学《工程数学（本）》形考任务1—5参考答案使用说明1.本资料整理自国家开放大学学习网一平台2026年秋季学期《工程数学（本）》（课程ID：00490，试卷号：11080）在线形考题库，与最新题库一致，并经多来源交叉核对与验算。2.形考任务一、二、三为客观题，每次作业由10个单项选择题、5个判断题和5个填空题组成，共20小题，每小题5分，满分100分。平台从题库中随机抽题、打乱顺序，因此每道题给出题库中该考点的常见变式（变式①/变式②），作答时请按题干内容对号入座。3.形考任务四为"综合练习书面作业（线性代数部分）"：解答题8题（每题10分，共80分）＋证明题2题（每题10分，共20分）。形考任务五为"综合练习书面作业（概率论与数理统计部分）"：解答题8题＋证明题2题，分值同上。4.平台抽题时选择题选项顺序可能随机调整，作答时请认准答案内容，不要只记选项字母。个别题干中的矩阵、行列式在平台上以图片形式给出，公开文字版无法完整还原的，已在题中注明"（题干矩阵为图片形式）"并给出答案与判断依据。形考任务一（行列式、矩阵与向量组）一、单项选择题（每小题5分，共50分）1.考点：代数余子式变式①：n阶行列式中元素aᵢⱼ的代数余子式Aᵢⱼ与余子式Mᵢⱼ之间的关系是（）。A.Aᵢⱼ=(−1)^(i+j)MᵢⱼB.Aᵢⱼ=(−1)^(i−j)MᵢⱼC.Aᵢⱼ=MᵢⱼD.Aᵢⱼ=−Mᵢⱼ答案：A（Aᵢⱼ=(−1)^(i+j)Mᵢⱼ）变式②：三阶行列式（题干矩阵为图片形式）的余子式M₂₃=（）。答案：1（按余子式定义划去第2行第3列后计算二阶行列式，取数值为1的选项）2.考点：矩阵乘法可行性变式①：若A为3×4矩阵，B为2×5矩阵，且乘积AC′B′有意义，则C为（）矩阵。A.4×2B.2×4C.5×4D.4×5答案：C（5×4）（C′为4×5，A·C′为3×5，再乘B′(5×2)可行）变式②：设A为3×4矩阵，B为4×3矩阵，则下列运算可以进行的是（）。A.A+BB.ABC.BA′D.B+A答案：B（AB）（3×4乘4×3得3×3；A、B、D均因阶数不符不可进行）3.考点：矩阵运算（题干矩阵为图片形式）变式①：设A=（图片矩阵），则BA⁻¹=（）。答案：2（按平台选项选择数值为2的一项）变式②：设A、B为（图片矩阵），利用转置与逆的运算法则（(A+B′)′=A′+B，(AB)′=B′A′等）计算即可。4.考点：方阵行列式的性质变式①：设A、B均为n阶方阵，k>0且k≠1，则下列等式正确的是（）。A.|−kA|=(−k)ⁿ|A|B.|AB|=n|A||B|C.|A+B|=|A|+|B|D.|kA|=k|A|答案：A（|kA|=kⁿ|A|，故|−kA|=(−k)ⁿ|A|）变式②：设A、B均为n阶方阵，k>0且k≠1，则下列等式正确的是（）。A.|−kA|=−k|A|B.|AB|=n|A||B|C.|A+B|=|A|+|B|D.|kA|=kⁿ|A|答案：D5.考点：矩阵运算结论变式①：下列结论正确的是（）。A.对任意方阵A，A+A′是对称矩阵B.若A、B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵C.若A、B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵D.若A、B均为n阶非零矩阵，则|AB|≠0答案：A（(A+A′)′=A′+A=A+A′）变式②：设A、B均为n阶方阵，满足AB=BA，则下列等式不成立的是（）。A.|A|+|B|=|A+B|B.(A+B)²=A²+2AB+B²C.(A+B)(A−B)=A²−B²D.(A−B)²=A²−2AB+B²答案：A（行列式一般不满足加法；B、C、D在AB=BA时均成立）6.考点：可逆矩阵变式①：方阵A可逆的充分必要条件是（）。A.A\*≠0B.|A|≠0C.|A|=0D.A≠0答案：B变式②：设矩阵A可逆，则下列不成立的是（）。A.|A|≠0B.|A\*|≠0C.A⁻¹=|A|A\*D.(A⁻¹)⁻¹=A答案：C（正确公式为A⁻¹=A\*/|A|）7.考点：二阶矩阵求逆（题干矩阵为图片形式）变式①：二阶矩阵A=（图片矩阵），求A⁻¹。近年题库该变式正确选项为B。变式②：二阶矩阵A=（图片矩阵），用公式A⁻¹=(1/|A|)·[d−b;−ca]（对A=[ab;cd]）计算后对照选项即可。8.考点：向量组的秩变式①：向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(1,2,0)，α₃=(1,0,0)，α₄=(0,0,0)的秩是（）。A.1B.2C.3D.4答案：C（3）（α₄为零向量，前三个向量线性无关）变式②：向量组α₁=(1,0,0)，α₂=(0,1,0)，α₃=(0,0,1)，α₄=(1,3,4)的秩为（）。答案：3（α₄=α₁+3α₂+4α₃可由前三个向量线性表出）9.考点：极大线性无关组变式①：设向量组α₁=(1,0)，α₂=(0,1)，α₃=(0,0)，则（）是极大线性无关组。答案：α₁，α₂（近年题库正确选项为A）变式②：设向量组（题干为图片形式），则（）是极大无关组。答案：按平台选项选择含两个线性无关向量的组合（近年为选项A）10.考点：消元法解方程组变式①：用消元法解{x₁+2x₂−4x₃=1；x₂+x₃=0；−x₃=2}，其解为（）。答案：X=(−11,2,−2)′（由−x₃=2得x₃=−2，x₂=−x₃=2，x₁=1−2x₂+4x₃=−11）变式②：方程组{x₁+2x₂=1；2x₁+x₂=5}的解为（）。答案：X=(3,−1)′二、判断题（每小题5分，共25分）11.变式①：行列式的两行对换，其值不变。（）——答案：错（对换变号）变式②：两个不同阶的矩阵可以相加。（）——答案：错12.变式①：设A是对角矩阵，则A=A′。（）——答案：对变式②：同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵。（）——答案：对13.变式①：若矩阵[12a;21−3;3−31]为对称矩阵，则a=−3。（）——答案：错（对称要求a₁₃=a₃₁，即a=3）变式②：若矩阵[12−x4;x+215;450]为对称矩阵，则x=0。（）——答案：对（2−x=x+2得x=0）14.变式①：设A=（题干矩阵为图片形式），则2A=（图片结果）。（）——答案：错（数乘矩阵应乘A的每一个元素，图片中结果有元素未乘2）变式②：设A=（题干矩阵为图片形式），则A′=（图片结果）。（）——答案：对（按转置定义核对行列互换后的结果一致）15.变式①：零矩阵是可逆矩阵。（）——答案：错变式②：设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n。（）——答案：对三、填空题（每小题5分，共25分）16.变式①：计算行列式（题干行列式为图片形式）=____。——答案：7变式②：设三阶行列式D=（图片形式）=2，则（图片行列式）=____。——答案：−6（利用数乘性质与换行变号推得）17.变式①：若行列式（图片形式）=2，则a=____。——答案：1变式②：若f(x)是关于x的一个一次多项式（由行列式展开得到，图片形式），则该多项式一次项的系数是____。——答案：2118.变式①：乘积矩阵C=AB（题干矩阵为图片形式）中元素C₂₃=____。——答案：10变式②：乘积矩阵C=AB（题干矩阵为图片形式）中元素C₂₁=____。——答案：−1619.变式①：设A、B均为3阶矩阵，且|A|=|B|=−3，则|−2AB|=____。——答案：−72（|−2AB|=(−2)³·|A||B|=−8×9=−72）变式②：设A、B均为3阶矩阵，且|A|=−1，|B|=−3，则|3A′B⁻¹|=____。——答案：9（=3³·|A|·|B|⁻¹=27×(−1)×(−1/3)=9）20.变式①：矩阵[1−11;−22−2;3−33]的秩为____。——答案：1（三行成比例）变式②：矩阵（题干矩阵为图片形式）的秩为____。——答案：2形考任务二（线性方程组、特征值与随机事件）一、单项选择题（每小题5分，共50分）1.考点：解的结构变式①：设X₁、X₂是非齐次线性方程组AX=B的两个解，则下列向量中（）一定是AX=B的解。答案：2X₂−X₁（系数和2−1=1的线性组合仍是AX=B的解）变式②：设X₁、X₂是AX=0的两个解，则下列向量中（）一定是AX=0的解。答案：X₁+X₂（齐次方程组解的任意线性组合仍是解，选项中选线性组合形式的一项）2.考点：有解判别条件变式①：设A与[A⋮B]分别代表非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（）。答案：r(A)=r([A⋮B])变式②：若这个方程组无解，则（）。答案：r(A)≠r([A⋮B])（即r(A)<r([A⋮B])）3.考点：解的情况讨论变式①：若某个非齐次线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（）。答案：可能无解变式②：以下结论正确的是（）。答案：齐次线性方程组一定有解（至少有零解）4.考点：线性相关性变式①：若向量组α₁,…,αₛ线性相关，则向量组内（）可被该向量组内其余向量线性表出。答案：至少有一个向量变式②：若向量组α₁,…,αₛ线性无关，则齐次线性方程组x₁α₁+…+xₛαₛ=0（）。答案：只有零解5.考点：特征值变式①：矩阵A=[22;31]的特征值为（）。答案：−1，4（特征多项式λ²−3λ−4=(λ−4)(λ+1)）变式②：设矩阵A的特征多项式（题干多项式为图片形式），则A的特征值为（）。答案：取该多项式f(λ)=0的根（即特征多项式的零点）6.考点：特征值性质变式①：设矩阵A的特征值为0，2，则3A的特征值为（）。答案：0，6（kA的特征值为kλᵢ）变式②：已知可逆矩阵A的特征值为−3，5，则A⁻¹的特征值为（）。答案：−1/3，1/5（A⁻¹的特征值为1/λᵢ）7.考点：特征向量变式①：设A、B为n阶矩阵，λ既是A又是B的特征值，x既是A又是B的特征向量，则结论（）成立。答案：x是A+B的特征向量（(A+B)x=Ax+Bx=2λx）变式②：设α₁、α₂、α₃是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，则向量组α₁、α₂、α₃的秩是（）。答案：3（属于不同特征值的特征向量线性无关）8.考点：事件的关系与运算变式①：设A、B为两个随机事件，则（）成立。答案：若B⊂A，则P(A−B)=P(A)−P(B)变式②：设A、B为两个随机事件，下列事件运算关系正确的是（）。答案：A−B=A−AB（即A·B̄）9.考点：对立事件与独立变式①：如果（）成立，则事件A与B互为对立事件。答案：AB=∅且A+B=Ω变式②：若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)（且P(A)、P(B)均大于0），则A与B一定（）。A.不互斥B.相互独立C.互不相容D.不相互独立答案：A（不互斥）（互不相容且概率非零时P(AB)=0≠P(A)P(B)）10.考点：古典概型与二项分布变式①：袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）。答案：C(3,3)·C(5,1)/C(8,4)=5/70=1/14变式②：某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.3，则3个抽奖者中恰有1人中奖的概率为（）。答案：C(3,1)×0.3×0.7²=0.441二、判断题（每小题5分，共25分）11.变式①：齐次线性方程组AX=0可能无解。（）——答案：错（必有零解）变式②：非齐次线性方程组AX=B相容的充分必要条件是r(A)=r([A⋮B])。（）——答案：对12.变式①：当λ=1时，线性方程组（题干方程组为图片形式）只有零解。（）——答案：对（λ=1时系数行列式≠0）变式②：当λ=1时，线性方程组（题干方程组为图片形式）有无穷多解。（）——答案：错13.变式①：设A是三阶矩阵，且r(A)=3，则线性方程组AX=B有唯一解。（）——答案：对变式②：设A是三阶矩阵，且r(A)=2，则线性方程组AX=B有无穷多解。（）——答案：错（还需r([A⋮B])=r(A)=2<3才有无穷多解）14.变式①：若向量组α₁,…,αₛ（s≥2）线性相关，则其任一部分组也线性相关。（）——答案：错变式②：若向量组α₁,…,αₛ线性无关，则其任一部分组也线性无关。（）——答案：对15.变式①：特征向量必为非零向量。（）——答案：对变式②：若矩阵A可逆，则0是A的特征值。（）——答案：错（A可逆⇔特征值全不为零）三、填空题（每小题5分，共25分）16.变式①：当λ=____时，齐次线性方程组（题干方程组为图片形式）有非零解。——答案：1变式②：若线性方程组（题干方程组为图片形式）有非零解，则λ=____。——答案：−117.变式①：向量组（含零向量）线性____。——答案：相关变式②：一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性____。——答案：相关18.变式①：设齐次线性方程组的系数行列式=0，则这个方程组有____解。——答案：非零变式②：向量组的秩与矩阵的秩____。——答案：相等19.变式①：设线性方程组AX=0中有5个未知量，且r(A)=3，则其基础解系中线性无关的解向量有____个。——答案：2（n−r=5−3）变式②：线性方程组AX=B中一般解的自由元的个数是2，其中A是4×5矩阵，则方程组增广矩阵的秩=____。——答案：3（r([A⋮B])=r(A)=5−2）20.变式①：设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量X，使得AX=λX，则称λ为A的____。——答案：特征值变式②：设A为n阶方阵，若存在数λ和____n维向量X，使得AX=λX，则称λ为A的特征值，X为A相应于特征值的特征向量。——答案：非零形考任务三（概率论与数理统计）一、单项选择题（每小题5分，共50分）1.考点：古典概型变式①：同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（）。A.0.5B.0.25C.0.125D.0.375答案：D（0.375）（C(3,2)/2³=3/8）变式②：从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）。答案：0.4（个位取2或4：2×4×3/（5×4×3）=2/5）2.考点：乘法公式变式①：设A、B是两事件，则下列等式中（）是不正确的。A.P(AB)=P(A)P(B|A)，其中P(A)≠0B.P(AB)=P(A)P(B)，其中A、B相互独立C.P(AB)=P(B)P(A|B)，其中P(B)≠0D.P(AB)=P(A)P(B)，其中A、B互不相容答案：D（互不相容时P(AB)=0，而P(A)P(B)一般不为0）变式②：已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，则（）成立。答案：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)（加法公式恒成立）3.考点：加法公式变式①：已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当事件A、B互不相容时，P(A+B)=（）。A.0.7B.0.8C.0.5D.0.6答案：B（0.8）（互不相容时P(A+B)=P(A)+P(B)）变式②：对于事件A、B，命题（）是正确的。答案：如果A与B对立，则Ā与B̄也对立4.考点：伯努利概型变式①：某随机试验每次试验的成功率为p（0<p<1），则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（）。A.3(1−p)B.(1−p)³+p(1−p)²+p²(1−p)C.1−p³D.(1−p)³答案：C（1−p³）（对立事件为3次全部成功）变式②：已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当事件A、B相互独立时，P(A+B)=（）。答案：0.65（0.3+0.5−0.15）5.考点：分布参数变式①：设随机变量X~B(n,p)，且E(X)=4.8，D(X)=0.96，则参数n与p分别是（）。答案：6，0.8（np=4.8，np(1−p)=0.96⇒1−p=0.2）变式②：设随机变量X~N(μ,σ²)，且E(X)=0，D(X)=4，则参数μ与σ分别是（）。A.0，4B.0，2C.4，0D.2，0答案：B（0，2）6.考点：密度函数与期望变式①：设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a<b，P(a<X<b)=（）。答案：∫ₐᵇf(x)dx变式②：设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则E(X)=（）。答案：∫₋∞⁺∞x·f(x)dx7.考点：分布函数变式①：设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，P(a<X<b)=（）。答案：F(b)−F(a)变式②：设f(x)为X的密度函数，F(x)为分布函数，则（）。答案：F′(x)=f(x)（在f(x)连续点处）8.考点：期望与方差的性质变式①：设X是随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ²，设Y=aX+b，则（）。答案：E(Y)=aμ+b，D(Y)=a²σ²变式②：设X为随机变量，则D(2X−3)=（）。A.2D(X)B.2D(X)−3C.2D(X)+3D.4D(X)答案：D（4D(X)）9.考点：统计量与无偏估计（选项为图片形式）变式①：设X₁,…,Xₙ是来自正态总体N(μ,σ²)（μ、σ²均未知）的样本，则（）是统计量。答案：样本均值X̄=(X₁+…+Xₙ)/n（不含未知参数的表达式才是统计量）变式②：设X₁,…,Xₙ是来自正态总体N(μ,σ²)（μ未知）的样本，则统计量（）不是μ的无偏估计。答案：X̄²（E(X̄²)=μ²+σ²/n≠μ；X̄、X₁、(X₁+X₂)/2都是μ的无偏估计）10.考点：假设检验变式①：对正态总体方差的检验用的是（）。A.U检验法B.t检验法C.χ²检验法D.F检验法答案：C（χ²检验法）变式②：设X₁,…,Xₙ是来自正态总体N(μ,σ²)（σ已知）的样本，则检验假设H₀:μ=μ₀采用统计量U=（）。答案：U=(X̄−μ₀)/(σ/√n)~N(0,1)（近年题库正确选项为C）二、判断题（每小题5分，共25分）11.变式①：若事件A、B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.5，则P(A+B)=0.7。（）——答案：错（应为0.2+0.5−0.1=0.6）变式②：若事件A、B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A+B)=0.7。（）——答案：对（0.4+0.5−0.2=0.7）12.变式①：掷两颗均匀的骰子，事件"点数之和为3"的概率是1/6。（）——答案：错（应为2/36=1/18）变式②：盒中装有6个白球4个红球，无放回地每次抽取一个，则第2次取到红球的概率是0.4。（）——答案：对（抽签原理，每次抽到红球概率均为4/10）13.变式①：已知连续型随机变量X的分布函数F(x)，且密度函数f(x)连续，则F(x)=f′(x)。（）——答案：错（应为f(x)=F′(x)）变式②：设连续型随机变量X的密度函数是f(x)，则∫₋∞⁺∞f(x)dx=1。（）——答案：对14.变式①：若E(X)=4，则E(2X−1)=7。（）——答案：对（E(2X−1)=2E(X)−1=7）变式②：若D(X)=2，则D(2X−1)=4。（）——答案：错（应为D(2X−1)=4D(X)=8）15.变式①：设X₁、X₂是来自正态总体N(μ,σ²)的容量为2的样本，其中μ为未知参数，则X₁+X₂是μ的无偏估计。（）——答案：错（E(X₁+X₂)=2μ，应为(X₁+X₂)/2）变式②：设X₁、X₂是来自正态总体N(μ,σ²)的容量为2的样本，其中μ为未知参数，则(X₁+X₂)/2是μ的无偏估计。（）——答案：对三、填空题（每小题5分，共25分）16.变式①：设A、B是两个随机事件，且P(B)≠0，则称P(A|B)为事件B发生的条件下，事件A发生的____。——答案：条件概率变式②：如果两事件A、B中任一事件的发生不影响另一事件的概率，则称事件A与事件B是____。——答案：独立的17.变式①：已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当A、B事件互不相容时，P(A−B)=____。——答案：0.3（互不相容时P(AB)=0，P(A−B)=P(A)−P(AB)=0.3）变式②：已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当A、B事件相互独立时，P(AB)=____。——答案：0.1518.变式①：若D(X)=6，则D(2X−3)=____。——答案：24（D(2X−3)=4D(X)）变式②：若X~N(μ,σ²)，则P(|X−μ|<3σ)=____。——答案：0.9973（3σ原则）19.变式①：若二维随机变量(X,Y)的相关系数ρ=0，则称X、Y____。——答案：不相关变式②：E[(X−EX)(Y−EY)]称为二维随机变量(X,Y)的____。——答案：协方差20.变式①：如果参数θ的估计量θ̂满足E(θ̂)=θ，则称θ̂为参数θ的____。——答案：无偏估计量变式②：若θ̂₁、θ̂₂都是θ的无偏估计，而且D(θ̂₁)<D(θ̂₂)，则称θ̂₁比θ̂₂更____。——答案：有效形考任务四（综合练习书面作业·线性代数部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1.设矩阵A=[12;13]，B=[1−2;31;10]，已知XA=B，求X。解：由XA=B知X=BA⁻¹。利用初等行变换求A⁻¹：[A⋮I]=[12⋮10;13⋮01]→[12⋮10;01⋮−11]→[10⋮3−2;01⋮−11]所以A⁻¹=[3−2;−11]。于是X=BA⁻¹=[1−2;31;10]·[3−2;−11]=[5−4;8−5;3−2]。2.设矩阵A=[012;114;2−11]，B=[213;−356]，解矩阵方程AX=B′。解：对[A⋮I]作初等行变换可得A⁻¹=[5−32;7−42;−32−1]（|A|=1）。X=A⁻¹B′=[5−32;7−42;−32−1]·[2−3;15;36]=[13−18;16−29;−713]。3.解矩阵方程AX−X=B，其中A=[45;59]，B=[12;34]。解：由AX−X=B可得(A−I)X=B。A−I=[35;58]，|A−I|=−1。利用初等行变换可得(A−I)⁻¹=[−85;5−3]。于是X=(A−I)⁻¹B=[−85;5−3]·[12;34]=[74;−4−2]。4.求齐次线性方程组{x₁−x₂+3x₃−x₄=0；2x₁−x₂−x₃+4x₄=0；x₁−4x₃+5x₄=0}的通解。解：将系数矩阵化为阶梯形：A=[1−13−1;2−1−14;10−45]→[1−13−1;01−76;0000]→[10−45;01−76;0000]一般解为x₁=4x₃−5x₄，x₂=7x₃−6x₄（x₃、x₄为自由未知量）。令x₃=1，x₄=0，得X₁=(4,7,1,0)′；令x₃=0，x₄=1，得X₂=(−5,−6,0,1)′。{X₁,X₂}为基础解系，通解为X=k₁X₁+k₂X₂（k₁、k₂为任意常数）。5.求齐次线性方程组{x₁−3x₂+x₃−2x₄=0；−5x₁+x₂−2x₃+3x₄=0；−x₁−11x₂+2x₃−5x₄=0；3x₁+5x₂+4x₄=0}的通解。解：将系数矩阵化为阶梯形：A=[1−31−2;−51−23;−1−112−5;3504]→[1−31−2;0−143−7;0000;00017]→[1−31−2;0−143−7;00017;0000]由第3行得x₄=0；由第2行得14x₂=3x₃；由第1行得x₁=3x₂−x₃=−5x₃/14。一般解为x₁=−5x₃/14，x₂=3x₃/14，x₄=0（x₃为自由未知量）。令x₃=14，得基础解系X₁=(−5,3,14,0)′，通解为X=kX₁（k为任意常数）。6.当λ取何值时，齐次线性方程组{x₁+2x₂+x₃=0；4x₁+5x₂+λx₃=0；3x₁+7x₂+2x₃=0}有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解。解：将系数矩阵化为阶梯形：A=[121;45λ;372]→[121;0−3λ−4;01−1]→[103;01−1;00λ−7]故当λ=7时，方程组有非零解。此时一般解为x₁=−3x₃，x₂=x₃（x₃为自由未知量）。令x₃=1，得基础解系X₁=(−3,1,1)′。通解为X=kX₁（k为任意常数）。7.当λ取何值时，非齐次线性方程组{x₁+x₂+x₃=1；−x₁+2x₂−4x₃=2；2x₁+5x₂−x₃=λ}有解？在有解的情况下求方程组的通解。解：对增广矩阵作初等行变换：B=[1111;−12−42;25−1λ]→[1111;03−33;03−3λ−2]→[1111;01−11;000λ−5]因r(A)=2，故当r(B)=2，即λ=5时，方程组有无穷多解。继续化简得x₁=−2x₃，x₂=x₃+1（x₃为自由未知量）。令x₃=0，得特解X₀=(0,1,0)′；导出组的基础解系为X₁=(−2,1,1)′。通解为X=X₀+kX₁（k为任意常数）。8.求线性方程组{x₁−2x₂+4x₃=−5；2x₁+3x₂+x₃=4；3x₁+8x₂−2x₃=13；4x₁−x₂+9x₃=−6}的通解。解：将增广矩阵化为阶梯形：B=[1−24−5;2314;38−213;4−19−6]→[1−24−5;07−714;014−1428;07−714]→[102−1;01−12;0000;0000]一般解为x₁=−2x₃−1，x₂=x₃+2（x₃为自由元）。令x₃=0，得特解X₀=(−1,2,0)′；不计最后一列，令x₃=1，得导出组的基础解系X₁=(−2,1,1)′。于是通解为X=X₀+kX₁（k为任意常数）。二、证明题（每题10分，共20分）1.对任意方阵A，试证A+A′是对称矩阵。证明：由转置运算性质，(A+A′)′=A′+(A′)′=A′+A=A+A′即(A+A′)′=A+A′，所以A+A′是对称矩阵。证毕。2.设n阶方阵A满足A²+A−I=O，试证矩阵A可逆。证明：由A²+A−I=O得A²+A=A(A+I)=I。故A与A+I互为逆矩阵，即A可逆，且A⁻¹=A+I。证毕。形考任务五（综合练习书面作业·概率论与数理统计部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1.设X~N(3,2²)，试求：(1)P(X<5)；(2)P(X>9)。（已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987）解：(1)P(X<5)=P((X−3)/2<(5−3)/2)=Φ(1)=0.8413。(2)P(X>9)=1−P(X≤9)=1−P((X−3)/2≤3)=1−Φ(3)=1−0.9987=0.0013。2.设X~N(4,1)。(1)求P(|X−4|>2)；(2)若P(X>k)=0.9332，求k。（已知Φ(2)=0.9772，Φ(1.5)=0.9332）解：(1)P(|X−4|>2)=1−P(|X−4|≤2)=1−P(−2≤X−4≤2)=1−[Φ(2)−Φ(−2)]=2[1−Φ(2)]=2×0.0228=0.0456。(2)P(X>k)=0.9332⇒P(X≤k)=0.0668=1−0.9332=1−Φ(1.5)=Φ(−1.5)。故(k−4)/1=−1.5，得k=2.5。3.设X~N(20,2²)，试求：(1)P(22<X<26)；(2)P(X>24)。（已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987）解：(1)P(22<X<26)=P(1<(X−20)/2<3)=Φ(3)−Φ(1)=0.9987−0.8413=0.1574。(2)P(X>24)=1−P(X≤24)=1−P((X−20)/2≤2)=1−Φ(2)=1−0.9772=0.0228。4.某车间生产滚珠，滚珠直径X服从正态分布。今从一批产品中随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为0.06²，试求滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间（u₀.₉₇₅=1.96）。解：由于σ已知，选取U=(X̄−μ)/(σ/√n)~N(0,1)，置信区间为[X̄−u₀.₉₇₅·σ/√n，X̄+u₀.₉₇₅·σ/√n]。由X̄=15.1，σ=0.06，n=9：下限=15.1−1.96×0.06/3=15.0608；上限=15.1+1.96×0.06/3=15.1392。所以滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为[15.0608,15.1392]。5.设某一批零件重量X服从正态分布N(μ,0.6²)，随机抽取9个测得平均重量为5（单位：千克），试求此零件重量总体均值的置信度为0.95的置信区间（已知u₀.₉₇₅=1.96）。解：由X̄=5，σ=0.6，n=9：下限=5−1.96×0.6/3=4.608；上限=5+1.96×0.6/3=5.392。所以零件重量总体均值的置信度为0.95的置信区间为[4.608,5.392]。6.为了对完成某项工作所需时间建立一个标准，工厂随机抽查了16名工人分别去完成这项工作，结果发现他们所需的平均时间为15分钟，样本标准差为3分钟。假设完成这项工作所需的时间服从正态分布，在标准差不变的情况下，试确定完成此项工作所需平均时间的置信度为0.95的置信区间（已知u₀.₉₇₅=1.96）。解：由X̄=15，σ=3，n=16：下限=15−1.96×3/4=13.53；上限=15+1.96×3/4=16.47。所以完成此项工作所需平均时间的置信度为0.95的置信区间为[13.53,16.47]。7.据资料分析，某厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N(32.5,1.21)。今从该厂最近生产的一批砖中随机抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg/cm²）的平均值为31.18。假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，问这批砖的抗断强度是否合格（u₀.₉₇₅=1.96）。解：建立假设H₀:μ=32.5，H₁:μ≠32.5。因σ=1.1已知，选取统计量U=(X̄−32.5)/(1.1/√9)=(31.18−32.5)/(1.1/3)=−3.6。由Φ(1.96)=0.975，临界值u₀.₉₇₅=1.96。因为|U|=3.6>1.96，所以拒绝H₀，即认为这批砖的抗断强度与32.5有显著差异，这批砖的抗断强度不合格。8.设某产品的性能指标X服从正态分布N(μ,σ²)，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，测得均值为17，取显著性水平α=0.05，问原假设H₀:μ=20是否成立（u₀.₉₇₅=1.96）。解：建立假设H₀:μ=20。因σ已知，选取统计量U=(X̄−20)/(σ/√n)=(17−20)/(4/√10)=−3/1.2649≈−2.37。由α=0.05，临界值u₀.₉₇₅=1.96。因为|U|=2.37>1.96，所以拒绝H₀，即认为该产品的平均性能指标与20有显著差异，原假设不成立。二、证明题（每题10分，共20分）1.设随机事件A与B相互独立，试证A与B̄也相互独立。证明：因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)。P(A·B̄)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)·P(B̄)。所以A与B̄相互独立。（同理可证Ā与B、Ā与B̄也相互独立。）证毕。2.设A、B为两个事件，试证加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)。证明：因为A+B=A∪B=A∪(B−A)，且A与B−A互不相容，所以P(A+B)=P(A)+P(B−A)。又B=(AB)∪(B−A)，且AB与B−A互不相容，所以P(B)=P(AB)+P(B−A)，即P(B−A)=P(B)−P(AB)。代入得P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)。证毕。附录：任务四、任务五常见变式解答题（平台抽题可能涉及）任务四常见变式变式1.设A=[12;−35]，B=[−11;43]，C=[54;3−1]，求：(1)A+B；(2)A+C；(3)AB；(4)(AB)C。解：(1)A+B=[03;18]；(2)A+C=[66;04]；(3)AB=[1×(−1)+2×4,1×1+2×3;−3×(−1)+5×4,−3×1+5×3]=[77;2312]；(4)(AB)C=[77;2312]·[54;3−1]=[5621;15180]。变式2.已知A=[310;−121;342]，B=[102;−111;211]，求满足方程3A−2X=B的X。解：由3A−2X=B得X=(3A−B)/2。3A−B=[9−1,3−0,0−2;−3+1,6−1,3−1;9−2,12−1,6−1]=[83−2;−252;7115]。X=(1/2)·[83−2;−252;7115]=[43/2−1;−15/21;7/211/2