大梦杯数学测试真题试卷备考使用

2021学年第一学期慈溪市九年级学科竞赛数学试题一、选择题1．已知＝，则的值是（）A． B． C．2 D．2．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0 B．任意一个三角形都有外接圆 C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 D．一匹马奔跑的速度是每秒100米3．如图所示物体的俯视图是（）A． B． C． D．4．有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是90°；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．1＜y＜4 B．1＜y＜5 C．4≤y≤5 D．1＜y≤56．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°（第6题图）（第7题图）7．已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．128．已知抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．289．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，OB，DE相交于点F．若EF：FD=3：4，则cosA的值是（）10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，AE的中垂线分别交AB，AE，BD，DC于点F，G，H，I．若FG＝1，HI＝3，则正方形ABCD的边长等于（）A． B． C． D．（第9题图）（第10题图）（第12题图）二、填空题11．二次函数y＝x2﹣2图象的对称轴是．12．如图所示，图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形恰好是正方体展开图的概率是．（第13题图）（第14题图）（第15题图）13．如图为一个圆锥的三视图，这个圆锥的侧面积为mm2．14．如图是小明画的小狗图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是．15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与x轴交于点A，与直线y＝﹣x相交于点B，点C是线段OB上一动点，连接AC，在AC上方取点D，使得cos∠CAD＝，且＝，连接OD，当点C从点O运动到点B时，线段OD扫过的面积为．（第16题图）三、解答题17．（8分）（1）计算sin30°﹣2cos230°+tan260°．（2）已知，求的值．18．（8分）在一个不透明的口袋中有四个一样的小球，四个小球上分别标有数字﹣4，﹣1，2，5．（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？（2）从口袋中随机摸出两个小球，①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？②若依次摸出的两个小球所标数字作为点的横坐标和纵坐标，求这个点位于第四象限的概率是多少？19．（8分）清代数学家梅文鼎最先以“十字”描绘相互垂直的两条直线，我们称对角线相互垂直的四边形为十字四边形．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD为十字四边形．已知P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画图．（1）以PQ为边，在图2中画一个是轴对称图形的格点十字四边形．（2）以PQ为对角线，在图3中画一个面积为15的格点十字四边形．20．（8分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板．上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，当∠CDE＝60°时，求：（1）求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；（2）若∠DCB＝90°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）．21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．22．（12分）某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m．（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？23．（12分）如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC．（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，边CE与边AB交于点F，则CF的长为cm；（2）如图3，将图1中的△BCE旋转到当点E落在BA延长线上时，求AC：AE的值；（3）如图4，继续旋转图3中的△BCE，当AC＝AE时停止旋转，求此时α的度数及△AEC的面积；（4）将图4中的△BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，请说明理由，如果能，无需说明理由，请直接写出此时△AEC的面积的值．24．（14分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“奇点”．（1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有（填写正确的序号）．①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点．（2）如图2，△ABC中，BC＝11，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“奇点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC上一点，连接OD，AD，若OD⊥AD．①求证：点D是△ABC中BC边上的“奇点”；②若AD是△ABC的角平分线，求的值．图1图2图3参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）12345678910DDCADCCAAC二、填空题（每小题5分，共30分）11．直线x=0（或y轴）；12．；13．；14．；15．；16．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．（8分）（1）；（2）．（各4分）18．（8分）解：（1）P＝；（2分）（2）①用表格表示摸出的两个小球所标数字所有可能出现的结果如下所示：（5分）第一次摸第二次摸出小球后所构成的坐标组合﹣4（﹣4，﹣1）（﹣4，2）（﹣4，5）﹣1（﹣1，﹣4）（﹣1，2）（﹣1，5）2（2，﹣4）（2，﹣1）（2，5）5（5，﹣4）（5，﹣1）（5，2）②位于第四象限的点有（2，﹣4）、（2，﹣1）、（5，﹣4）、（5，﹣1）这四个，依次摸出两个小球所标数字为横、纵坐标的点位于第四象限的概率有P＝＝．（8分）19．（8分）解：（1）如图2，四边形PQMN为所作；（4分）（2）如图3，四边形PEQF为所作．（8分）20．（8分）解：（1）过点C作CH⊥DE于H，在Rt△CDH中，sin60°＝＝，∴CH＝×70＝35（mm）；（3分）（2）过点C作CH⊥DE于H，过点C作CM∥DE，过A作AM⊥CM于M，∵∠CDE＝60°，∠ACD＝90°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝40（mm），（5分）∴点A到DE的距离为AM+CH＝40+35≈101（mm）．∴点A到直线DE的距离约为101mm．（8分）21．（10分）解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（5分）（2）∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD，∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD＝4，（7分）在Rt△BCD中，BD＝＝4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF＝，∴AC＝2AF＝．（10分）22．（12分）解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+2（a＝0），把A（0，0.5），代入得：9a+2＝0.5，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）2+2，令y＝0，﹣（x﹣3）2+2＝0，解得：x＝3±2，∴抛物线（第一象限）的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+2（0＜x＜3+2）；（4分）（2）解法一：对于y＝﹣（x﹣3）2+2，令x＝4，则y＝﹣（4﹣3）2+2＝＞1.7，∴小明不会被水喷到；解法二：令y＝1.7，则﹣（x﹣3）2+2＝1.7，解得：x1＝3+，x2＝3﹣，∵3+＞4，3﹣＜4，∴小明不会被水喷到；（8分）（3）设喷水管OA的高度要升高hm，则抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+2+h．把（7，0）代入得：0＝﹣（x﹣3）2+2+h，解得：h＝，∴喷水管OA的高度要升高m．（12分）23．（12分）解：（1）．（2分）（2）过点C作CG⊥AB于G．∵CE＝AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BCE＝90°，∴BE＝＝10（cm），AE＝BE﹣AB＝10﹣8＝2（cm），∵∠CBG＝∠EBC，∠CGB＝∠ECB＝90°，∴△CBG∽△EBC，∴＝，∴BG＝＝（cm），∴EG＝BE﹣BG＝10﹣＝（cm），∴CG＝＝（cm），∴AG＝AB﹣BG＝8﹣＝（cm），在Rt△ACG中，AC＝＝＝（cm），∴AC：AE＝：2＝：5．（5分）（3）设EC的中点为H，连接AH，过点A作AM⊥BC交BC的延长线于M．∵AC＝AE，EH＝CH，∴AH⊥EC，∵∠HCM＝∠M＝∠AHC＝90°，∴四边形AHCM是矩形，∴AM＝CH＝EC＝4（cm），在Rt△ABM中，BM＝＝＝4（cm），∴cos∠ABM＝＝，∴∠ABM＝30°，∴α＝90°﹣∠ABM＝60°，（7分）∵AH＝CM＝BM﹣BC＝（4﹣6）cm，∴S△AEC＝•CE•AH＝•CE•AH＝（16﹣24）cm2．（9分）（4）能相等，取EC的中点H，连接AH，过点B作BN⊥AH于N．同法可证，四边形BCHN是矩形，HN＝BC＝6cm，AN＝4cm，∴AH＝AN+NH＝（4+6）cm，∴S△AEC＝×EC×AH＝（16+24）cm2．