山东济南天桥区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试试题以及答案

—2027学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1.如图所示的几何体，其主视图是（）2.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是（）A.(−2,−1)B.(2,1)C.(−2,1)D.(2,−1)3.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD:DB=2:3，AE=4，则CE=（）A.83B.5C.64.围棋起源于中国，棋子分黑白两种。在一个不透明的盒子中装有5枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回。不断重复这一过程，摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋共有（）A.35枚B.45枚C.60枚D.75枚5.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，则四边形ABCD和四边形EFGH的周长比是（）A.2:1B.1:2C.4:1D.1:46.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，经统计所有人一共握了66次手，设参加会议的人数是x，则根据题意可列方程为（）A.x(x−1)=66B.x(x+1)=66C.x（x+1）2=667.如图，点P在△ABC的边AC上，添加下列条件无法判定△ABP∽△ACB的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=BPBCD.AP8.函数y=ax2+bx+c(a≠0)和y=ax+b(a≠0)在同一直角坐标系内的图象可能是（）9.如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，小于BC的长为半径画弧分别交AB，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点D，若∠ABD=∠A，则SA.5﹣14B.3﹣5210.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，其顶点坐标为P(1,n)，与x轴交于A，B两点，且点A在点(3,0)和(4,0)之间，下列结论：①2a+b=0；②4a−2b+c>0；③若点(−12，y1)，(12，y2)，（2，y3）在抛物线上，则y2<y1<y3；④若方程axA.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。11.已知ab=43，则a−ba+b12.关于x的一元二次方程2x2+x−k=0有两个相等的实数根，则k的值为。13.菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素。某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为cm2。14.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD。已知AB=4cm，点光源到胶片的距离OE=8cm，CD=20cm，则胶片与屏幕的距离EF为cm。15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E是边AD上的一个动点，连接EC并延长至点F，且CE=2CF，以BE和EF为邻边作平行四边形BEFG，连接GE，则GE的最小值为。三、解答题：共10小题，共90分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（8分）解方程：（1）x2−6x+3=0；（2）3x(x−1)=2(x−1)。17.（6分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF，CE，求证：AF=CE。18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(3,1)，C(2,3)。（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2:1，写出点C1的坐标______；（2）在（1）的条件下，若P(a,b)为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为______；（3）若点Q是第一象限内的点，当△A1C1Q为以A1C1为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标______。19.（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90∘，AC平分∠BAD。（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）若BC=3，AC=5，求AD的长。20.（8分）为全面推进素质教育，某校准备开设人文、科技、艺术和体育四类特色课程，为合理安排课程数量，学校计划调查初二年级学生对这四类特色课程的选择情况，现随机抽取部分学生进行了问卷调查（每名学生都参加特色课程且只参加其中的一项），并将调查统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图。请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：m=，扇形统计图中，“体育”类所对应扇形的圆心角是°；（2）请补全条形统计图；（3）甲、乙两名同学从人文（A）、科技（B）、艺术（C）、体育（D）四类特色课程中随机选择一类参加，用树状图或者列表法求甲、乙两名同学选择同一类课程的概率。21.（10分）随着航天科普活动的深入开展，青少年对航天模型的关注度持续提升。某纪念品商店销售一种航天模型，每个进价为20元。据了解，当售价为30元时，每天可售出40个；售价每上涨1元，平均每天就少售出2个。商店计划通过上调售价，使这种航天模型平均每天的销售利润达到432元，且尽可能让利于顾客。（1）求调整后每个航天模型的售价。（2）随着航天主题热度持续升高，为丰富商品种类，商家新增了航天徽章，该商店又计划购进航天模型和航天徽章共100个进行销售。已知每个航天徽章的进价为12元、售价为20元，且购进航天模型的数量不超过航天徽章数量的3倍。在（1）的条件下，购进航天模型多少个时，销售完这两种商品后可以获得最大利润？最大利润是多少元？22.（8分）某校九年级数学兴趣小组的同学先后用四种方案测量校园景观塔的高度，四种方案如下表所示，测量中涉及到的点和线都在一个竖直平面上。方案测量过程与数据示意图方案一影子测高法小宇站在阳光下测量，当自己的影长恰好等于身高时，测得景观塔在地面上的影长为15m。方案二镜面反射法小雅站在E点处，将一面平面镜水平放置在C点，通过调整位置，恰好从镜面中看到塔顶A。经测量，小雅的眼睛距地面高度DE=1.5m，CE=2.5m，CB=25m。方案三标杆测高法眼睛距地面1.5m的小铭站在E点处，在距自己3m的F点竖直放置一根高6m的标杆CF，并通过标杆顶端C观测到塔顶A。测得标杆底端F到塔底B的距离BF为6m。方案四自制工具测量法小华在塔底B所在水平面上确定观测点D和D'，观测者在D点瞄准塔顶A，视线DA与过G的竖直标线交于点C，测得CG=1.5m，DG=2.5m；将D后移20m至D'，同样方法，测得C′G′=1.5m，D′G′=4.5m。（1）方案一中测得的景观塔的高度为______m；（2）从方案二、方案三、方案四中选择你喜欢的一个方案，求出景观塔AB的高度（先在答题卡上写出所选方案，再进行求解）。23.（10分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=8cm。P，Q分别为AB，BC上的动点，点P从点A出发沿AB方向向点B以2cm/s的速度做匀速运动，同时，点Q从点B出发沿BC方向向点C以同样的速度做匀速运动，设P，Q运动的时间为t(0<t≤4)。（1）当t为何值时，△BPQ与△ABC相似；（2）当t为何值时，△BPQ的面积是△ABC面积的31024.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C。点P是抛物线上的一点，且位于直线AC的下方。（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作AD⊥AC，交CP的延长线于点D，当PC=PD时，求点P的坐标；（3）如图2，过P作PE⊥AC，交直线AC于点E，连接OE，求△OAE面积的最大值及此时点P的坐标。25.（12分）【教材回顾】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，则线段BE与线段DF之间的数量关系是______，位置关系是______；【类比迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC的延长线相交于点F。当CE=2DE时，求CF的长；【拓展提升】（3）如图3，在等腰△BCD中，CB=CD，∠BCD=120∘，点E是CD边上一点，且CE=2DE=2，F为BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60∘时，根据题意补全图形，并直接写出DG的值。2026—2027学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案ABCBADCDBB二、填空题（每小题4分，共20分）11．；12．－；13．9600；14．32；15．7.5三、解答题（共90分）16．（本题8分）（1）解：x²－6x＋9＝6， 1分(x－3)²＝6， 2分∴x－3＝或x－3＝， 3分∴x₁＝3＋，x₂＝3－。 4分（2）解：3x(x－1)－2(x－1)＝0， 5分(x－1)(3x－2)＝0， 6分∴x－1＝0或3x－2＝0， 7分∴x₁＝1，x₂＝。 8分17．（本题6分）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD 1分∵AE＝CF∴AD－AE＝CD－CF 2分即DE＝DF 3分在△ADF与△CDE中AD＝CD，∠ADF＝∠CDE，DF＝DE， 4分∴△ADF≌△CDE 5分∴AF＝CE。 6分18．（本题8分）（1） 3分△A₁B₁C₁即为所求。C₁(4,6)； 4分（2）P′(2a，2b)； 6分（3）Q(8，4)。 8分19．（本题8分）（1）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD。 1分∵在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90° 2分∴△ABC∽△ACD； 3分（2）在Rt△ABC中∵BC＝3，AC＝5，∴AB＝＝4， 5分∵△ABC∽△ACD，∴＝， 6分∴＝，∴AD＝。 8分20．（本题8分）（1）24； 1分28.8； 3分（2） 4分(3)甲乙ABCDA（A,A）（A,B）（A,C）（A,D）B（B,A）（B,B）（B,C）（B,D）C（C,A）（C,B）（C,C）（C,D）D（D,A）（D,B）（D,C）（D,D） 6分共有16种等可能结果，甲乙同学选择同一类课程的结果有(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)4种， 7分∴P(选择同一类课程)＝＝。 8分21．（本题8分）（1）解：设售价上涨x元，则售价为（30＋x）元，销量为（40－2x）个， 1分∴(10＋x)(40－2x)＝432， 3分解得x1＝2，x2＝8， 4分∵要尽可能让利于顾客，∴x＝2， 5分∴售价为30＋2＝32元， 6分答：调整后每个航天模型的售价为32元。（2）解：设购进模型m个，则徽章(100－m)个，总利润为w元，∵m≤3(100－m)，∴m≤75， 7分∵总利润w=(32－20)m＋(20－12)(100－m)＝12m＋8(100－m)＝4m＋800， 8分∵4＞0，w随m的增大而增大，∴当m=75时，总利润最大， 9分最大利润为：4×75＋800＝1100（元）， 10分答：购进航天模型75个时，总利润最大，最大总利润是1100元。22．（本题10分）（1）15m； 2分（2）选择方案二：由题意得：∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC＝90°， 4分∴△ABC∽△DEC， 5分∴， 6分即，解得AB＝15。 8分选择方案三：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交CF于点G，由题意可得：DE＝1.5m，EF＝3m，FB＝6m，CF＝6m，因为四边形BFGH、DEFG是矩形 3分∴GF＝BH＝DE＝1.5m，DG＝EF＝3m，GH＝FB＝6m，∴CG＝CF﹣GF＝6﹣1.5＝4.5m，DH＝DG+GH＝3+6＝9m 4分∵∠CDG＝∠ADH，∠DGC＝∠DHA＝90°， 5分∴△DCG∽△DAH， 6分∴， 7分∴，∴AH＝13.5m，∴AB＝AH+HB＝13.5+1.5＝15m。 8分选择方案四：∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝∠ABD＝90°，∴△DCG∽△DAB， 4分∴，设AB＝xm，BD＝ym，则， 5分同理可得△∽△AB，∴，∴， 6分∴，解得y＝25； 7分经检验，y＝25是原方程的解，则，∴x＝15，∴AB＝15m。 8分（本题10分）解：（1）在Rt△ABC中，AB＝=10，当△PBQ∽△ABC时，，即，解得t＝； 3分当△PBQ∽△CBA时，，即，解得t＝． 6分综上所述t＝s或s时，△BPQ与△ABC相似；（2）过点P作PD⊥BC于D，则∠BDP＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BPD∽△BAC，∴，∴PD＝•BP＝， 7分∴S△BPQ＝BQ•PD＝×2t×＝，∵S△ABC＝×6×8＝24∴＝×24∴t2+6=0 9分解得＝2，＝3。 10分24．（本题12分）（1）解：将点A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得 2分解得 3分∴y＝x2﹣2x﹣3； 4分（2）方法一：连接AP，∵∠CAD＝90°，PC＝PD∴AP＝CD＝PC 5分∴点P在AC的中垂线上，令x=0，y=-3，∴C（0，﹣3）设直线AC的表达式为y＝kx+b′，将点A，点C的坐标分别代入得：，解得：，∴直线AC的表达式为y＝x﹣3；∵AC中点为（），∴AC的中垂线的表达式为yx 6分令x=x2﹣2x﹣3∴x1=，x2=（舍） 7分∴P（，）； 8分方法二：设P点坐标，表示D点坐标，将D点坐标代入AD直线表达式求解；方法三：求AD直线表达式，设D点坐标，表示P点坐标，代入二次函数表达式求解；方法四：根据∠CAD＝90°，过点D作x轴的垂线构造一线三垂直，设点P坐标，表示点D坐标，根据