2025年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期末考试试题解析

2025年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期末考试试题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.下列四个行列式中，值为0的是（）。（A）det(αI+βJ)，其中αβ≠0，I为2阶单位矩阵，J=⎡⎢⎣1001⎤⎥⎦。（B）det(A^T)A，其中A为3阶非零矩阵。（C）det(A^3)，其中A为2阶可逆矩阵。（D）det(AB)，其中A为2阶可逆矩阵，B为3阶零矩阵。2.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵。若det(ABA^T)=1，则det(A)的值为（）。（A）1（B）-1（C）n（D）-n3.已知齐次线性方程组Ax=0有非零解，则矩阵A（）。（A）可逆（B）不可逆（C）的秩为0（D）的秩等于其列数4.设A,B为n阶方阵，且AB=I。则下列结论正确的是（）。（A）A或B中至少有一个是零矩阵。（B）A或B中至少有一个是单位矩阵。（C）A和B都是可逆矩阵，且A=B^(-1)。（D）A和B都是可逆矩阵，且B=A^(-1)。5.将一个非零矩阵A通过有限次初等行变换化为B，则必有（）。（A）det(A)=det(B)（B）A与B有相同的秩（C）A与B是等价矩阵（D）A的行向量组与B的行向量组等价二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.若α,β,γ是两两不同的数，则det(⎡⎢⎣αβγ⎤⎥⎦⎡⎢⎣βγα⎤⎥⎦⎡⎢⎣γαβ⎤⎥⎦)=_______。7.设A为3阶矩阵，det(A)=-2。则det(3A^T-2A)=_______。8.若矩阵A=⎡⎢⎣1001⎤⎥⎦，则(det(A))^2=_______。9.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β可由α₁,α₂,α₃线性表示，且β=2α₁-α₂+3α₃。若α₁=β+α₂，则该向量组α₁,α₂,α₃,β的秩为_______。10.若n阶矩阵A的秩为r<n，且det(A)≠0，则矩阵AA^T的秩为_______。三、计算题（本大题共4小题，共45分。）11.（本小题10分）计算行列式det(A)的值，其中A=⎡⎢⎢⎢⎣1234⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0112⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎦。12.（本小题12分）设矩阵A=⎡⎢⎣101⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎣211⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎦，B=⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎦。求矩阵X，使得3XA-B=A^T。13.（本小题10分）设矩阵A=⎡⎢⎢⎣1234⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0012⎤⎥⎥⎥⎦，求矩阵A的逆矩阵A^(-1)（若存在）。14.（本小题13分）设向量组α₁=(1,1,1)^T,α₂=(1,2,3)^T,α₃=(1,3,t)^T。讨论当t取何值时，向量组α₁,α₂,α₃线性相关？当向量组线性相关时，求出它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。四、证明题（本大题共1小题，共15分。）15.证明：若n阶矩阵A满足A^k=0（k为正整数），则A-I是可逆矩阵，并求其逆矩阵。试卷答案一、单项选择题1.(C)2.(B)3.(B)4.(D)5.(C)二、填空题6.αβγ(α-β)(α-γ)(β-γ)7.548.19.310.r三、计算题11.解：利用按行展开法，对第1行展开：det(A)=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣112⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦-2*det(⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎥⎦+3*det(⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦-4*det(⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣001⎤⎥⎥⎥⎦-2*det(⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0-11⎤⎥⎥⎥⎦+3*det(⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣010⎤⎥⎥⎥⎦-4*det(⎡⎢⎢⎢⎣001⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣100⎤⎥⎥⎥⎦=1*(1*1-1*0)-2*(1*1-1*0)+3*(1*1-1*0)-4*(0*0-1*0)=1-2+3-0=2。12.解：由3XA-B=A^T得3XA=A^T+B。det(3X)=det(A^T+B)。det(A^T)=det(A)=1，det(I)=1。det(A^T+B)=det(⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦)=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)-1*det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦)+0*det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=det(⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)=0*(1*1-1*1)-1*(1*1-1*1)+1*(1*1-1*0)=0-0+1=1。det(3X)=1。det(3)=3，det(X)=1/3。X=(1/3)*(A^T+B)^(-1)。(A^T+B)^(-1)=[B+A^T]^(-1)=B^(-1)*(B+A^T)^(-1)*A^T。需要计算B^(-1)和B+A^T。B=⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦。计算B的行列式det(B)=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)-1*det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)+0*det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=1*(0*1-1*1)-1*(1*1-1*1)+0=-1-0+0=-1。B^(-1)=(1/-1)*adj(B)=-adj(B)。计算adj(B)的代数余子式：M₁₁=det(⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)=1。M₁₂=-det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)=-1。M₁₃=det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=1。M₂₁=-det(⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)=-1。M₂₂=det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=1。M₂₃=-det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=-1。M₃₁=det(⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎥⎦)=1。M₃₂=-det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=-1。M₃₃=det(⎡⎢⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦)=1。adj(B)=⎡⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣-11-1⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎥⎦。det(adj(B))=1*(1*1-(-1)*(-1))-(-1)*((-1)*1-1*(-1))+1*((-1)*(-1)-1*1)=1*(1-1)+1*(-1-1)+1*(1-1)=0-2+0=-2。B^(-1)=-adj(B)/(-2)=adj(B)/2=(1/2)*⎡⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣-11-1⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1-11⎤⎥⎥⎥⎦。B+A^T=⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦=2*⎡⎢⎢⎣110⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣011⎤⎥⎥⎥⎦。det(B+A^T)=2*det(B)=-2。(B+A^T)^(-1)=(1/-2)*adj(B+A^T)。计算adj(B+A^T)的代数余子式，过程较繁，略。最终X=(1/3)*B^(-1)*(B+A^T)^(-1)*A^T。（注：此处省略了adj(B+A^T)的具体计算过程，实际求解时需完成所有代数余子式和行列式的计算）。13.解：计算det(A)。det(A)=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦)-0+0-4*det(⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦)=1*det(⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦)-4*det(⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦)=0。由于det(A)=0，矩阵A不可逆。14.解：设向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则存在不全为零的数k₁,k₂,k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0。即k₁(1,1,1)^T+k₂(1,2,3)^T+k₃(1,3,t)^T=(0,0,0)^T。得线性方程组：k₁+k₂+k₃=0k₁+2k₂+3k₃=0k₁+3k₂+tk₃=0系数矩阵为A=⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣123⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣13t⎤⎥⎥⎥⎦。将A化为行阶梯形矩阵：(1)R₂-R₁→R₂:⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣02t-1⎤⎥⎥⎥⎦(2)R₃-R₁→R₃:⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣01t-2⎤⎥⎥⎥⎦(3)R₃-R₂→R₃:⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣00t⎤⎥⎥⎥⎦线性相关即系数矩阵的秩r<3。r<3当且仅当t=0。当t=0时，向量组α₁,α₂,α₃线性相关。此时系数矩阵化为⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣012⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣000⎤⎥⎥⎥⎦。R₂-2*R₁→R₂:⎡⎢⎢⎣111⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣010⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣000⎤⎥⎥⎥⎦。R₁-R₂→R₁:⎡⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣010⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣000⎤⎥⎥⎥⎦。行阶梯形矩阵为⎡⎢⎢⎣101⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣010⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣000⎤⎥⎥⎥⎦。可见r=2。极大无关组包含2个向量。观察行阶梯形矩阵，第一列和第二列非零，对应原向量组的α₁和α₂线性无关。所以α₁,α₂是极大无关组。求α₃的表示：设α₃=k₁α₁+k₂α₂。由R₁:1*x₁+0*x₂+1*x₃=0=>x₃=-x₁。由R₂:0*x₁+1*x₂+0*x₃=0=>x₂=0。所以x₁=k₁,x₂=0,x₃=-k₁。即α₃=k₁α₁+0*α₂=k₁(1,1,1)^T。令k₁=1，则α₃=α₁-α₂=(1,1,1)^T-(1,2,3)^T=(0,-1,-2)^T。因此，α₁,α₂是向量组α₁,α₂,α₃的一个极大无关组，且α₃=-α₁+0*α₂。四、证明题15.证明：设A为n阶矩阵，满足A^k=0（k为正整数）。要证明A-I是可逆矩阵。方法一：利用逆矩阵的定义。设B=A-I。要证B可逆，需找到一个矩阵C，使得BC=CB=I。考虑B+I=A。由于A^k=