河南省普通高中2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省普通高中2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=−1,m,2，b=−1,2,−1，若a⊥bA.13 B.12 C.162.平面α的法向量u=(x,1,−2)，平面β的法向量v=(−1,y,2)，已知α//β，则x+y等于(

)A.154 B.174 C.3 3.在三棱锥P−ABC中，AD=2DB，PE=14PC，若PA=a，PB=bA.12a+12b−144.已知A1,2,−3，B2,0,−2，C1,4,−1，则AC在AB上的投影的数量为A.6 B.−6 C.5.设a∈R，则“直线ax+2y=0与直线x+a+1y+2=0平行”是“a=1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1D1A.263 B.2537.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为四边形ABCD内(包括边界)一个动点，若直线PEA.223

B.63

C.38.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直。如果公共边AC=a，则异面直线AB与CD的距离是(

)

A.a2 B.a C.22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a，b，c满足a+2b+7c=0A.a,b=π3 B.a−b=10.在平面直角坐标系中，过点P2,1的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，点M与点P关于x轴对称，点N与点P关于y轴对称，直线AM与y轴交于点C，直线BN与x轴交于点D，则(

)A.AD⊥BC B.四边形ABDC是菱形

C.四边形ABDC面积的最小值为16 D.直线l的斜率k的取值范围为−1,011.如图，半圆面O⊥平面ABCDEF，AF是圆O的直径，多边形ABCDEF是正六边形，AB=2，M，H分别是弧AF，线段AE上的动点(均不含端点)，MH=1，则(

)

A.平面DMF⊥平面DAM B.不存在点M，H，使得AF⊥MH

C.点H的运动轨迹长度为1 D.HA⋅HF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=2,1,−1,b=−1,1,0,c=13.在空间直角坐标系Oxyz中，过点Px0,y0,z0且一个法向量为n=A,B,C的平面α的方程为Ax−x0+By−y014.过点(1,2)的直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆面积的取值范围是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知▵ABC的三个顶点为A1,4，B−1,0，(1)求边AC上的中线所在直线方程；(2)求▵ABC的面积；(3)求一点D的坐标，使得四边形ABCD为平行四边形．16.(本小题15分)已知a(1)设向量c=2,m,n,(2)若ka+b(3)若向量p+kq与2p+317.(本小题15分)如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB//AN，NA=AB=2，BM=4，CN=2(1)证明：MB⊥平面ABCD；(2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E，使得二面角E−BN−M的余弦值为33，若存在，求出的CEEM18.(本小题17分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=4，(1)若点D

为线段AC

的中点，求证：BD⊥

平面CEC1(2)线段CC1

上有一点F

，当平面AEF

与平面CEF

的夹角的余弦值为155

时，求三棱锥19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD

中，四边形ABCD

为菱形，PA=AB=AD=4，∠PAB=∠DAB=120∘，M为(1)求证：PD//平面ACM；(2)若平面DAB⊥

平面PAB，求PD

到平面ACM

的距离；(3)若三棱锥P−ABC

外接球半径为4，求直线PD

和平面PAC

所成角的余弦值．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】−113.【答案】614.【答案】π415.【答案】解：(1)记AC的中点为M，则M的坐标为3,3，所以直线BM的斜率为3−03+1所以边AC上的中线所在直线的方程为y=3即3x−4y+3=0．(2)因为k所以直线AB的方程为y=2x+1，即2x−y+2=0因为AB=点C到直线AB的距离d=2×5−2+2所以▵ABC的面积为12(3)设点D的坐标为m,n，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=所以−2,−4=5−m,2−n所以m=7， n=6，即D7,6故当D为7,6时，四边形ABCD为平行四边形．

16.【答案】解：(1)由a=2,2,2,所以b−a=(2,−7,−2)因此c=(2,−7,−2)，所以|(2)由(1)知，|a由ka得k=12k−4k−2+82=8k+80=0，所以k=−10．(3)p=1,0,2因为向量p+kq与所以p+kq⋅2pp+kq⋅若向量p+kq与2p+3q即1−k,k,2=λ可得1−k=−λk=3λ2=4λ，解得λ=1故4k+7>0k≠32，解得k>−即k的取值范围为−7

17.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，∴BC⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABMN，且平面ABCD∩平面ABMN=AB，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面ABMN，

∵BM，BN⊂平面ABMN，

∴BC⊥BM，BC⊥BN，

∴BN=CN2−BC2=12−4=22，

又NA=AB=2，

∴NA2+AB2=BN2，即AN⊥AB，

∵MB//AN，

∴MB⊥AB，

∵BC∩AB=B，BC、AB⊂平面ABCD，

∴MB⊥平面ABCD．

(2)解：以B为原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C(0,0,2)，M(0,4,0)，N(2,2,0)，

∴CM=(0,4,−2)，BC=(0,0,2)，BN=(2,2,0)，

设CE=λCM，λ∈(0,1)，

∴BE=BC+CE=BC+λCM=(0,4λ,2−2λ)，

设平面BEN的法向量为n1=(x,y,z)，

则n1⋅BN=0n1⋅BE=0，即2x+2y=04λy+(2−2λ)z=0，

令x=1，则y=−1，z=2λ1−λ，∴n1=(1,−1,2λ1−λ)，

由(1)知，BC⊥18.【答案】解：(1)因为ABC−A1B则以B为原点，BA,BC,且AB=4，BC=2，AA所以B0,0,0由A1E=3EB因为点D为线段AC的中点，则D2,1,0所以BD=则BD⋅即BD⊥CC又CC1∩CE=C，C所以BD⊥平面CEC(2)点F在线段CC1上，设F0,2,t由(1)知，AE=CE=设平面AEF的法向量为m=则m⋅AE=−3x+3z=0m⋅所以m=由(1)BD⊥平面CEC1

，点F在线段故BD=2,1,0为平面又平面AEF

与平面CEF

的夹角的余弦值为15则cosm即4+4−t22展开可得58−t化简可得8−t2=324−8t+t2则F0,2,2，故CF=2因为CC1⊥平面A1B所以EC1⊥CC1因为AC=则点A到平面CEF的距离为d=ACV

19.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，所以O为BD的中点，因为在▵PBD中，M为PB的中点，所以OM为▵PBD的中位线，所以MO//PD，又因为MO⊂平面ACM，PD不在平面ACM上，所以PD//平面ACM．(2)以A为原点，以AB所在直线为x轴，在平面ABCD内过A作与AB垂直的直线为y轴，过A作与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以A0,0,0在平面PAB内过P作PH⊥AB，交BA的延长线于H，连接DH，因为平面DAB⊥平面PAB，平面DAB∩平面PAB=AB,PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD，所以PH//z轴.因为∠PAB=∠DAB=120∘因为PA=AD,AH=AH，所以▵PAH≅▵DAH，所以PH=DH,∠DHA=∠PHA．即DH⊥AB，所以DH//y轴.在Rt▵PAH中，PA=4，所以AH=PAcos所以D−2,2因为M为PB的中点，所以M1,0,3设平面ACM的法向量为n=x,y,z，所以令x=−3，则y=1,z=1，则设点D到平面ACM的距离为d，所以d=AD由(1)知PD//平面ACM，所以PD到平面ACM的距离即为点D到平面ACM的距离．所以PD到平面ACM的距离为4(3)根据(2)中的坐标系，设Px,y,z，则