湖南省湘东联盟2027届高三上学期11月联考数学试卷（含答案）

2026年11月高三试卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2,3},B={A.{0} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2}2.一位射击运动员在一次射击测试中射靶7次,每次命中的环数如下;9,6,8,9,7,aA.6 B.7 C.8 D.93.设向量a=(x-1,1),b=(2,xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.双曲线y2a-xA.22 B.12 C.135.将函数y=2cos2x-π4的图象向右平移π6个A.x=-5π24 B.x=7π246.一种细菌性感染后的人群需多次服用某种药物才能治愈,这种药物在治疗中的浓度治疗阈值又叫最低有效浓度,是指药物在血液中含量需要维持在特定浓度阈值以上才能起效,浓度下降至阈值以下,疗效就会中断,浓度过高则增加肾毒性风险.该药的最低有效浓度为100 mL血液中药物含量不低于30 mg,已知某患者第一次服用该药后当前浓度为1 mg/mL,他服用该药后血液中的药物含量会以每小时20%的速度减少,那么他经过几个小时后进行第二次服用最佳?结果精确到个位(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.3 B.5 C.7 D.97.已知函数f(x)=2esin(lnA.1 B.16 C.32 D.328.一长方体盒子的长、宽、高分别为5,4,6,盒子内装有一个半径为1的小球,小球在盒子内任意滚动,则小球在盒子内滚动部分的体积为A.24+31π3 B.76+31π3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知抛物线C的焦点为F(1,0),过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A(x1A.抛物线C的方程为yB.若x1+xC.当BF=4FA时,直线的倾斜角为D.|AB|+|DE|的最小值为1610.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC,点M为A.当λ=1时,MN∥平面B.∀λ∈[0,+∞),四面体C.当λ=13时,直线MND.当λ=2时,A11.已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为SA.数列{Sn}是等差数列C.k=1n2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数z=2-i,则|13.已知向量m=(m,3),n=(2,n),满足m⋅n=614.已知函数f(x)=e2四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查,在随机抽取的50名学生中,有20名学生表示非常满意,20名学生表示一般,10名学生表示不满意.(1)从这50名学生中随机选取2名学生,已知其中至少有一名学生非常满意,求另一名学生不是非常满意的概率;(2)若以这50名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况,且以频率作为概率,现从该校所有高一年级学生中随机抽取4名学生,设表示不满意的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.16.(本小题15分)已知函数f((1)求函数f(x)(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且17.(本小题15分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面ABC,平面SBC⊥平面SAB(1)求证:AB⊥BC;(2)若SB=1,AB=2,BC=2,且平面SBC与平面SAC所成角的余弦值为77,求三棱锥18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P在直线l:x+2y-6=0上运动,过点P（ⅰ)证明:直线AB过定点;（ⅱ)椭圆C上是否存在点E,使得四边形OAEB为平行四边形?若存在,求出直线AB的斜率;若不存在,说明理由.19.(本小题17分)已知函数f((1)当a=0时,求函数f(2)若f(x)≥0对∀（ⅰ)求a的最小值;（ⅱ)当a取最小值时,在函数h(x)=f(x)+2x的图象上是否存在点A,过点A作函数h(x)的图象2026年11月高三试卷数学参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CCABABDB1.C解析：集合B={x∣-1<x<2,2.C解析：由题可得9+6+8+9+7+a+873.A解析：当a∥b时,则x⋅(x-1)=2,解得x=2或-1,所以“4.B解析：∵双曲线的离心率e=a+1a=5.A解析：设y=f(x)=2cos2x-πy=令2x-7显然当k=-1时,对称轴x=-5π246.B解析：由题意可知100 mL血液中药物含量不低于设他第一次服药后经过x小时后药物仍有效,故(1-20%)x≥0.3两边同时取对数可得lg0.8x≥lg0.3那么他经过5个小时后第二次服用最佳.故选B.7.D解析：由题可知f1x=因为{an}又a5⋅a8=a7,所以所以a1所以f(又f(则f(8.B解析：由题意可知,能滚动到的空间部分可分为四个部分:①中间一个核心小长方体:长、宽、高分别为3,2,4的长方体,V1②十二条棱各对应一个四分之一的圆柱,共12个,底面半径为1,高分别为2,3,4,V2③八个顶点各对应一个八分之一的球,恰好拼成一个半径为1的球,V3④六个面各对应一个长方体,V4所以V=二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ADABDBCD9.AD解析：对选项A,由F(1,0)得p2=1,即p=2,所以抛物线C的方程为对选项B,由抛物线定义得|AB|=x对选项C,设直线AB的方程为x=my+1,联立y2=4x,整理得y2-4my-4=0,可得y1+y对选项D,方法一:设直线l1的方程为y联立y2=4x,y同理可得直线l2与抛物线C的交点的横坐标满足x3+x4=2由抛物线定义可知|AB|+|DE|=≥216当且仅当k1=-k方法二:设θ为直线AB的倾斜角,|AB|=4sin2θ4sin2θ10.ABD解析：对选项A,当λ=1时,点N为AC的中点,易知点N为BD的中点,又点M为DD1的中点,所以MN∥D1B,又D1B⊂平面B对选项B,由题可知AC∥A1C1,则AC∥平面A1C1M,对选项C,∠MND即为直线MN与平面ABCD所成的角,tan∠MND=MDDN,MD为定值,DN最小时,∠MND最大,当DN⊥AC时,DN最小,此时对选项D,若λ=2时,连接BN,并延长交DC于H,易知△ABN∽△CHN,则ANNC=BNNH=ABHC=2111.BCD解析：对选项A,a1=S1=2a1+a12,a1>0,解得S1=a1=2,当n对选项B,当n≥2时,an=Sn-S由an=2(n-n对选项C,k=1对选项D,令f(x)=x-1x-lnx,x≥2,则f'(x)=1+1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.5解析：由复数z=2-i,可得z2=3-4i13.25,6解析：由题可知,m⋅n=2圆C:x2+y|CA|=2<r,定点A在圆C当直线l经过圆心C时,|PQ|当CA⊥PQ时,|PQ|所以|PQ|的取值范围为2514.-12e,-12e2∪[0,+∞)令t=2ax+lnx,设g'(t)>0时,t∈(ln(e-1),+∞)所以g(t)在区间(-∞,ln(e-1))又g(0)=0,g(1)=0,所以函数若f(x)恰有2个零点,即方程2ax+ln令h(x)=2当a≥0时,h'(x)>0x→0时,h(x)→-∞,故h(x)=0和h当a<0时,由h'(x)>0,可得x所以h(x)在区间0,-x→0时,h(x)→-∞,要满足题意,可得0<h-1所以a∈四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.解析：(1)设“其中至少有一名学生非常满意”为事件A,“另一名学生不是非常满意”为事件B, (1分)n(AB)=C20n(A)=所以P(B∣备注:没化简不扣分(2)由题可知从50名学生中随机抽取1人,不满意的概率为15现从所有学生中随机抽取4名学生,则X∼B4,P(X=0)=P(X=2)=P(X=4)=所以X的分布列为X01234P25625696161所以E(X)=4×备注:期望计算错误扣1分16.解析：(1)f=3sin2x当x∈-π4,∴sin2x+π6∴函数f(x)在区间-π4(2)若f(A)=-1,则2sin2A∵0<A<π,∴π6<2A+又bcosC+ccos∵cosA=b2+∴b2+b-2=0,又b>0,∴S=117.解析：(1)证明:过点A作AH⊥SB,垂足为H,∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,∴AH⊥BC. (2分)过点S作SM⊥AB,垂足为M,同理可得SM⊥BC.又AH与SM相交,∴BC⊥平面SAB,又AB⊂平面SAB,∴AB⊥BC. (6分)(2)由(1),以B为原点,直线BA为x轴,直线BC为y轴,在平面SAB内过点B作BA的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:设∠SBA为θ,θ∈(0,π),则S(cosθ,0,sinθ∴SC=(-cosθ,2,-sinθ设平面SBC的法向量为m=(则SC⋅m=-x1设平面SAC的法向量为n=(则SC⋅n=-x2∵平面SBC与平面SAC所成角的余弦值为77∴|cos⟨m解得cosθ=45,sinθ=3又VS∴三棱锥S-ABC的体积为25或23备注:直接写出结果只给2分18.解析：(1)∵e=ca=又a+c=3,∴a=2,c∴椭圆C的标准方程为x24+（ⅰ)设A(x1,y若直线PA的斜率存在,切线PA的方程可设为y-联立y整理得(4kΔ=64化简得(4-x12∵x∴16y12k解得k=-3x∴直线PA的方程为y-化简得4y当直线PA的斜率不存在时,同理可得PA的方程为x=-2或x∴切线PA的方程为3x1x+4y同理切线PB的方程为3x2x+4y∴直线AB的方程为(-6y0+18)x+4即(-3x+2y)y0+9∴直线AB过定点23,1.备注:若直接写出答案,无解答过程,则这一问只给2分（ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=23,显然不存在点E当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y-1=nx联立y整理得(3+4n易知Δ=48(4n∴x1∴y若存在点E,使得四边形OAEB为平行四边形,则OE=OA+OB,∴点E的坐标为∴16n2将m=1-23解得n=∴存在直线AB的斜率n=即存在点E,使得四边形OAEB是平行四边形. (17分)19.解析：(1)当a=0时,f(x令f'(x)=0,可得lnx∵f'(∴f(x)在区间∴f(x)有极大值点e-2备注:没写极值扣1分,只写出极大值不扣分（ⅰ)∵f(x)≥0对∀x>0当a=0时,f(x)=1-xlnx当a=1时,f(x)=ex-下证f'(x)>0对方法一(隐零点法):令μ(x)=又μ'12由零点存在定理可知,存在m∈12,1使得μ'又μ'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴当x∈(0,m)∴μ(x)在区间∴μ即f'(x)>0对∀x方法二(放缩法):令ϕ(x)=当x∈[0,+∞)时,ϕ'(x)