第三章《一元二次方程》（B卷）-湘教版数学九年级上册单元测试

第三章《一元二次方程》（B卷）—湘教版数学九年级上册单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．若方程2(x2−1)+1=3x(A．−1 B．−2 C．3 D．52．若关于x的一元二次方程(a−2)xA．2 B．−2 C．2或−2 D．03．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）．A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C．2t2-7t-4=0化为(t−74)2=4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．x2+(10−x5．若菱形两条对角线的长度是方程x2A．5 B．4 C．25 D．56．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）A． B．C． D．7．已知x1,x2是方程A．4053 B．4052 C．2026 D．18．《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7−4=3.”小唐按此方法解关于A．4 B．6 C．8 D．109．使得关于x的不等式组6x−a≥−10,−1+12A．35 B．30 C．26 D．2110．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：①若方程有两实数根为1，−2，则ax2+bx+c分解因式得a(x+1)(x−2)；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题3分，共24分）11．若方程(a−2)xa2−2+412．已知一个一元二次方程有一个根为−1，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：．13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为.14．若方程x2−4112784=0的两根为x1=2028，x15．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中a的值为.16．如图，等边三角形ABC中，D在射线BA上，连接CD.若BC，CD的长为方程x2−15x+7m17．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率f1和f2（单位：109赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为x218．已知关于x的一元二次方程m(x−a)2+b=0与n(三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分）19．解方程：（1）3x（2）x2（3）5(x20．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；（2）若Rt△ABC的两直角边AB，AC的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边BC的长为4，求m21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0①，解得y1=1，y（1）试用上述方法解方程x4−2x（2）解方程(x22．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：（1）图①中的灰色正方形有：1+1=1+1×(1+1)图②中的灰色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)图③中的灰色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)图④中的灰色正方形有：1+1+2+3+4=1+4×(1+4)图ⓝ中的灰色正方形有：.（2）图①中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多1个；图②中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多2个；图③中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多3个；…；则图ⓝ中的白色正方形有个.（3）若图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图ⓝ中白色正方形的个数.23．阅读理解并解答：（1）【方法呈现】配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．例如：x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.因为(x+1)2≥0（2）【尝试应用】求代数式x2（3）【拓展提高】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a224．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如下表：纪念品文创T恤纪念湘绣进货价/（元/件）5966销售价/（元/件）7988（1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？25．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2024年该产品各部分成本所占比例约为2:a:1(a为整数).且2024年该产品的技术成本为400万元.（1）若2024年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值；（2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2025年及2026年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m%(m<50)，制造成本在这两年里都比前一年减少2m%；同时为了扩大销售量，2026年的销售成本将在2024年的基础上提高10%，经过以上变革，预计2026年该产品总成本仅为2024年该产品总成本的26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C做匀速运动，到达点（1）如图①，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是（2）如图②，点Q在射线PC上，且PQ=2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中，若正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求

参考答案1．A；2．B；3．B；4．A；5．A；6．B；7．A；8．A；9．B；10．C11．-212．x213．24或1514．x1=202915．3016．317．1618．202719．（1）解：方程3x2+4x−1=0中，a=3，b=4，c=−1所以x=−4±所以x1=−2+（2）解：x2两边都加上17，得x2所以(x−17所以x−17所以x1=10+17（3）解：方程变形得5(x−2)分解因式得(x−2)(5x−10−x−2)=0，即x−2=0或5x−10−x−2=0.解得x1=2，20．（1）证明：因为b2−4ac=[−(m+3)]（2）解：由题意得x1+x又因为Rt△ABC的斜边BC=4所以x12+x2所以m2=7，解得m1因为x1，x2为两个正根，所以21．（1）x1=（2）解：设x2+2x=n，则原方程变为解得n1=−1，当n=−1时，x2+2x=−1，解得当n=−2时，x2+2x=−2，即b2所以原方程的解为x122．（1）1+1+2+3+⋯+n=1+n(1+n)（2）(n+2)(n+1)（3）解：由题图可知，图ⓝ中等边三角形的个数为(n+1)个.因为图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，所以1+n(1+n)2=n+1+45，解得n=10或n=−9（舍去）.当n=1023．（1）2；−1（2）解：x2因为(x−4)2≥0所以代数式x2−8x+10有最小值（3）解：因为a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b−41，所以a2+b2−10a−8b+41=0.所以易得(a−5)2+(b−424．（1）解：设购进“文创T恤”x件，则购进“纪念湘绣”(80−x)件，根据题意得59x+66(80−x)≤4900，解得x≥3807，设利润为w元，则w=(79−59)x+(88−66)(80−x)=−2x+1760，要使利润最大，则x取最小值.因为x≥3807，x为正整数，所以x=55.所以当购进“文创（2）解：设“文创T恤”销售价定为每件a元，则有(a−59)[2(79−a)+8]=256，解得a1=75，a2答：“文创T恤”销售价定为每件67元，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元.25．（1）解：由题意得1800<400×2+a+12≤2000因为a为整数，所以a=7.（2）解：由（1）可得2024年产品总成本为400×2+7+1则2024年的制造成本为2000×72+7+1=1400由题意得400×(1+m%令m%=t(t>0)，则所以400×(1+t)整理得(10t−1)(10t−7)=0，解得t1=1所以m1=10，则m=10.26．（1）解：因为Rt△ABC中，∠ACB=90所以∠A=45∘因为P