湘教版八年级上册数学5.2 第3课时 勾股定理的逆定理 教学课件（25秋新教材）

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学

课

件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）

第5章直角三角形第3课时勾股定理的逆定理

5.2勾股定理及其逆定理1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点）学习目标B

C

A

问题1

勾股定理的内容是什么?

如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边为

c，那么

a2+b2=c2.bca问题2

求以线段

a，b为直角边的直角三角形的斜边

c的长：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c＝5c＝6.5c＝8.5思考

以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，可不可以通过边来判定直角三角形呢？

同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?

打

13个等距的结，把一根绳子分成等长的

12段，然后以

3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）下面有三组数分别是一个三角形的三边长

a，

b，

c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题

分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是勾股定理的逆定理1下面有三组数分别是一个三角形的三边长

a，

b，

c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题1

这三组数在数量关系上有什么相同点？①5，12，13满足52+122=132，②7，24，25满足72+242=252，③8，15，17满足

82+152=172.问题2

古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？∵32+42=52，∴满足.a2+b2=c2我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题3据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长

a，b，c，满足

a2+b2=c2

.求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′证一证：证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.则

A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2ACaBbc勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：要点归纳例1下面以

a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？(1)a=6，

b=8，c=10；解：(1)因为62+82=100，102=100，所以

62+82=102.因此这个三角形是直角三角形.(2)a=12，b=15，c=20.(2)因为122+152=369，202=400，所以122+152≠202.因此这个三角形不是直角三角形.分析

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.典例精析【变式题】若

△ABC的三边

a，b，c满足

a∶b∶

c=3∶4∶5，试判断

△ABC的形状.解：设

a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2.∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.例2

如图，在

△ABC

中，已知

AB

=

10，BD

=

6，AD

=

8，AC

=

17，求

DC

的长.

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A．2，3，4B．3，4，6

C．5，12，13D．4，6，7C2.一个三角形的三边的长分别是

3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）

A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三边

a，b，c满足(a

-

b)(a2+

b2-

c2)=0，则△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形练一练12勾股定理的逆定理的应用

例3

如图，某港口

P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点

Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP

QR2问题1

认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2

由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？

实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理的逆定理.解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30海里.∵242+182=302，即

PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°，∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12解决实际问题的步骤：①构建几何模型(从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.（1）证明：∵CD

=

1，BC＝

，BD

=

2，

∴

CD2

+

BD2

=

BC2.

∴

△BDC

是直角三角形.（2）解：设腰长

AB

=

AC

=

x，则

AD=x

-

1.

在

Rt△ADB

中，∵AB2

=

AD2

+

BD2，

∴

x2

=(x

-

1)2

+

22，

解得用到了方程的思想例4如图，△ABC

中，AB

=

AC，D

是

AC

边上的一点，CD

=

1，BC

=

，BD

=

2．（1）求证：△BCD

是直角三角形；（2）求

△ABC

的面积．1.已知

a，b，c

是

△ABC

三边的长，且满足关系式，则

△ABC

的形状是

________________．等腰直角三角形2.一个三角形的三边长分别为

15

cm，20

cm，25

cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm.12解：∵AB²+BC²=

(n²-

1)²+(2n)²=n4

-

2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC是直角三角形，边

AC所对的角是直角.3.已知△ABC中，AB=n²-

1