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文档简介

一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理四、小结三、柯西中值定理第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)

中值定理在xOy平面上作一条连续曲线y=f(x),它除了端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两端的纵坐标相等,则不难发现,在该曲线上至少有一个点C,使得曲线在该点的切线平行于x轴.设点C的横坐标为ξ,则有例如,证注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,函数几何解释:AB例1证:由介值定理,可知即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日中值定理在Rolle定理中,条件(3)往往不容易满足,若去掉它,只保留条件(1)和(2),会怎样?设曲线弧AB连续,除端点以外处处具有不垂直于x轴的切线,则至少存在一点,C在该点处曲线的切线平行于弦AB.设曲线为y=f(x),A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(ξ,f(ξ)).则有几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论1作为拉格朗日中值定理的应用,我们考虑如下问题:证明推论2证明注:这个推论在第5章研究不定积分时会用到它.例2证自证:结论:欲证时只需证在

I

上例3证例4证三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例5证分析:结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理

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