微积分（上册）（第3版）课件全套 李辉来 第1-6章 预备知识-定积分

一、集合的概念二、集合的运算三、区间与邻域第一节集合四、小结一、集合的概念1.集合

具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的每一个对象称为该集合的元素.

例如：太阳系的九大行星； 教室里的所有同学.如果a是集合A中的元素，则记作否则记作用A,B,C,X,Y

…表示集合,用a,b,c,x,y…表示集合的元素.含有有限个元素的集合称为有限集含有无限多个元素的集合称为无限集2．分类

3．表示方法

①列举法②描述法不含任何元素的集合称为空集4.子集

例如

例如

规定空集为任何集合的子集.5.数集分类

N—自然数集Z—整数集Q—有理数集R—实数集数集间的关系

C—复数集还有如全体正整数构成的集合Z+,全体负实数构成的集合R-等等.

研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用Ω表示；把差集Ω\A

特别称为A的余集或补集，记作.1.并集

2.交集

3.差集

4.余集

二、集合的运算5.运算规律①交换律②结合律③分配律④对偶律6.直积或笛卡尔乘积为A与

B的直积，记作A×B.设A、B是两个任意集合，则称集合例如：R×R={(a，b)|a∈R

，b∈R}即为xOy平面上全体点的集合，R×R常记作R

2.■三、区间和邻域1.区间是指介于某两个实数之间的称为开区间,称为闭区间,全体实数.这两个实数叫做区间的端点.有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半闭半开区间,称为半开半闭区间,2.邻域点的去心邻域把开区间称为a的左δ邻域，把开区间称为a的右δ邻域，■四、小结1.集合的有关概念集合、元素、子集、全集、空集、交集、并集、补集、直积、区间、邻域.2.集合的运算交集、并集、补集、直积的求法.3.区间和邻域连续的点组成的集合的表示方法.一、映射第二节函数二、逆映射与复合映射三、函数的概念四、函数的几种特性五、小结一、映射1.定义设X与Y是两个非空集合，f是一个对应法则.如果对于任何一个x∈X，按照对应法则f，都有惟一确定的

y

∈Y和它对应，则称f为集合X到集合Y的映射，记为将x的对应元y记作并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作，而X的所有元素的像f(x)的集合称为映射f的值域，记为.例1设A={商场中的所有商品}，B={商场中商品九月份的销量}，则是一个映射，

有唯一确定的

y=f(x)与之对应.

概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素

需要指出的是

（1）映射要求元素的像必须是唯一的.

（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3)对应法则f:2.定义设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X

中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2

也满足y1≠y2

，则称f为单射；

如果映射f满足Rf=Y

，则称f为满射；

如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一映射）.

例2设X={1，2，…，n，…}，Y={1，3，…，

2n-1，…}，对于任何一个n∈X，按照对应法则f得到2n-1∈Y，则映射f:X→Y是一一映射.值得注意的是:Y是X的子集，Y中的元素似乎比X中的元素个数“少”，但实际是，在无限集合中，“部分可以等于整体”.这是无限集合的一个特性.■二、逆映射与复合映射1.逆映射

如果映射f:X→Y是一一映射，则对于每一个y∈Y,在X中存在惟一的x与y对应,满足y=f(x),这样就有映射构成了从Y到X

的映射,称为映射f的逆映射,记为f-1.例3设A={1，2，3}，B={4，5，6}，则既是单射，又是满射，存在逆映射2.复合映射则对于每一个x∈X,就可以构造出一个从X到Z的新映射和称为g与f的复合映射.例4因此不能构成复合映射但若将g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令则可以构成复合映射■因变量自变量三、函数的概念X称为函数f的定义域，记作Df，即Df=

X

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：的映射f:X→Y为定义在X上的函数,记为设非空数集XR,YR,称从X到Y自变量因变量对应法则f2.函数的两要素定义域与对应法则.约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.例5

求函数的定义域.解要使函数有意义，必须有即所以定义域为

函数的表示方法：1、公式法；2、表格法；3、图形法；4、语言叙述法。定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．是多值函数.3.几个特殊的函数举例(1)绝对值函数xyo(2)符号函数1-1xyo显然对于任意x∈R,有(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线显然:有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷(Dirichlet)函数(5)最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例6解■M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性四、函数的几种特性例7证明函数在区间(1,2)内是有界的,在(0,1)内是无界的.证明若取M=1,则对于都有所以函数f(x)在(1,2)内是有界的.对于任何正数M(不妨设M>1),取则有所以函数f(x)在(0,1)内是无界的.2．函数的单调性xyoxyo例8确定函数

的单调区间.解对于有当从而因此在上单调减少.综上所述,的单调区间为及[).因此在[

)上单调增加.当从而3．函数的奇偶性偶函数yxox-x奇函数yxox-x例9判断函数

的奇偶性.解函数f(x)的定义域为对由于所以函数

是奇函数.4．函数的周期性（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.例10解由条件知：故是周期函数,且是它的一个周期.■五、小结1.映射的有关概念

映射、逆映射、复合映射.2.函数的有关概念

函数、定义域、值域.3.函数的几种特性

有界性、单调性、奇偶性、周期性.第三节反函数与复合函数二、复合函数一、反函数三、函数的运算四、小结一、反函数DWDW称此映射

f-1为函数

f的反函数.函数f也称为直接函数.

直接函数与反函数的图形关于直线对称.反函数存在定理

单调函数f

必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性.并非所有的函数都有反函数,如y=f(x)=x2,定义域为Df=(-∞,+∞)

,值域为Rf=[0,+∞)

,显然f不是一一映射,所以该函数没有反函数.但如果函数y=f(x)是单调函数,则相应的映射必为一一映射,而相应的反函数必存在,故有如下结论:例1解二、复合函数

定义

设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=φ(x)的定义域为Dφ,值域为Rφ,当Df∩Rφ非空时,记为y=f(u)与u=φ(x)构成的复合函数,其中u为中间变量.显然有对于任意x∈D,有u=φ(x)∈Df∩Rφ与之对应,进而有y=f(u)与之对应.我们称解因为例2设求所以例3因此能够形成复合函数解注意

1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.三、函数的运算则我们可以定义这两个函数函数的和（差）函数的积函数的商的下列运算：例4分析证明四、小结1.复合函数

复合函数的形成与复合过程的分解.2.反函数

反函数的基本求法.3.函数的运算

简单函数的四则运算.第四节基本初等函数与初等函数一、常函数与幂函数二、指数函数与对数函数三、三角函数与反三角函数四、初等函数五、小结一、常函数与幂函数幂函数常函数二、指数和对数函数1.指数函数2.对数函数在微积分中,常用到以e为底的指数函数y=ex,以及以e为底的对数函数y=logex,记作y=lnx,称为自然对数,其中常数e=2.7182818…,是一个无理数,也是一个超越数.e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数,而是用以e为底数，因为用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”.

正弦函数三、三角函数与反三角函数1.三角函数周期为2π,有界,奇函数.余弦函数周期为2π,有界,偶函数.正切函数周期为π,无界,奇函数.余切函数周期为π,无界,奇函数.正割函数周期为2π,无界,偶函数.余割函数周期为2π,无界,奇函数.2.反三角函数单调有界,奇函数.单调有界函数.单调有界,奇函数.单调有界函数.四、初等函数

常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

由基本初等函数经过有限次的四则运算以及经过有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.

例如,等都是初等函数.

初等函数是我们讨论的主要对象,而不是初等函数的函数一般称为非初等函数,某些分段函数就是非初等函数.例如:都不是初等函数,我们称它们为分段初等函数.

五、小结1.基本初等函数幂函数、指数与对数函数、三角函数与反三角函数的图象与简单性质.2.初等函数的定义第五节经济学中常用的函数一、需求函数

如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为商品的需求量Q是商品的价格P的函数.记作则Q称为需求函数.一般来说,需求量会随价格的上涨而减少.

因此,通常需求函数是价格的单调减少函数.经济学中常见的需求函数

(其中b,A

≥0)需求函数的反函数,是价格函数,记作：它也反映商品的需求量与价格的关系.(其中a,b,c

≥0)(其中a,b

≥0)例1设某商品的需求函数为解它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；它表示价格为无人愿意购买此商品.二、供给函数(供应函数)

影响商品供给量的因素很多,如果我们只把价格认为是决定供给量的最主要因素，就可以认为商品的供给量S是商品价格P的函数,记作则S称为供给函数.一般来说,商品的供给量会随价格的上涨而增加.因此,通常供给函数S是价格P的单调增加函数.供给的含义

在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．

一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替

线性函数：幂函数：指数函数：

在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S

，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为均衡价格

.E供需平衡点均衡价格例2某商品的需求量、供给量与其价格P的关

解求均衡价格和数量,即解下列方程组系式分别为试求市场均衡价格和数量.解得显然无意义,所以均衡价格P=15个单位,均衡数量Q=S=6个单位.三、成本函数

成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产要素的费用(如厂房、设备)支付可变生产要素的费用（如原料、能源）经济学中常见的总成本函数：只给出总成本不足以说明企业生产情况的好坏，通常我们用生产q个单位产品时的平均成本，即生产q个产品时，单位产品的成本来评价企业生产情况的好坏.解由题意，求产量为100时的总成本四、收益函数

总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则如果产品价格P

保持不变，则解平均收益函数为平均收益为五、利润函数

总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。即

而平均利润是生产单位数量的产品的利润,即总利润与产品数量的比解当q=20时,总利润和平均利润分别为生产产品的总成本总是产量q的单调增加函数.但是,对产品的需求量q来说,由于受到价格及社会诸多因素的影响往往不总是增加的.对某种商品而言,销售的总收入R(q),有时增加显著,有时增长很缓慢,可能达到某个定点,继续销售,收入反而下降.因此利润函数L(q)出现了下面三种情况:无盈亏分析常用于企业经营管理和经济分析中各种产品定价和生产决策等方面.例6(1)求例5中经济活动的保本点;(2)设每年至少销售40件产品,为了不亏本,单价应定为多少?解

(1)所谓保本点即无盈亏点.令解得q1=1.15≈1,q2=34.85≈35.因为L(q)是二次函数,当q<q1或q>

q2时,都有L(q)<0,这时生产经营是亏损的;当q1<q<q2时,L(q)>0,生产经营是盈利的.因此,q=1件和q=35件是盈利的最低产量和最高产量,都可以是无盈亏点.

(2)设单价定为P(万元),销售40件的收入应为这时的成本为利润为为使生产经营不亏本,就必须使故得P≥22.5(万元).所以只有销售单价不低于22.5万元时才能不亏本.六、库存函数

我们讨论的库存函数(库存数学模型)只限于需求量确定,不允许缺货的简单情形.我们先举一个例题,然后总结一般的情形.例7某商店半年销售400件小器皿,均匀销售,为节约存费,分批进货.每批订货费用(订合同手续费、旅差费、运货费等)为60元,每件器皿的存储费为每月0.2元,试列出存储费和进货费之和与批量x之间的函数关系.解本例以半年为一个计划期进行核算.设批量为x(即每一批进货量为x件),货进店入库.由于均匀销售,库存货量由x件逐渐均匀减少到0件,平均库内存货量为x/2件.半年的储存费用记作E1,则每次进货x件,半年(6个月)需进货次数为400/x次.总的进货费用记作E2,则于是,总的费用E

表示为

企业在计划期T(通常一年为一个计划期)内，对某种货物总需求量为确定值Q.由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每批进货量为，进货周期为.假定每件货物储存单位时间的储存费用为，每批进货费用为常数.以匀速消耗储存的货物，则平均库存为.对于这样一个库存模型,实际上我们做了如下假设:在以上假定的条件下,在计划期

T内的总费用E

为总费用E的函数,根据不同的要求,可以选用不同的公式,如例7中E是进货批量x的函数,如果要求把E表示成进货批数n的函数,由于n=400/x,故有其他应用举例例8直线折旧问题.设一台机器的价值为v元,使用期限为n年,该机器使用寿命完结时的价值为c元(c称为残值),则可折旧的价值为v－c,平均每年的折旧费为若将x年后的折旧余额记为y,则例如,某汽车修理中心用5000元购进一台压缩机和升降机,使用寿命为15年,残值为200元,x年末的折旧余额为3年后机器价值为4040元,10年后机器价值为1800元.在折旧余额的公式中,令则公式变成这是线性函数,故将这种计算设备折旧的方法称为直线折旧法.例9在100km长的铁路线AB

旁C处有一工厂,与铁路垂直距离为20km,由铁路的B处向工厂提供原料,公路与铁路每吨公里的货物运价比为5:3.为节约运费,在铁路的D处修一个货物转运站,设AD距离为x(km),沿CD修一公路.试将每吨货物的总运费表示成x的函数.解设公路上每吨公里货物运价为a元,则铁路每吨公里运价为3a/5元,每吨货物从B经D运到C的运费为y元,而公路的长度为所以每吨货物的总运费为以上给出了经济分析中经常用到的几个函数,有个这些函数后,就可以解决一些简单的实际问题了,例如利润最大问题、费用最少问题、用料最省问题等.解决的方法,将在第4章介绍.二、数列的有关概念四、收敛数列的性质五、小结三、数列极限的定义第一节数列的极限一、引例“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术——刘徽一、引例正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2.截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的有关概念例如定义按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫做数列.记作{xn}或xn

(n=1,2,…).并把每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项.注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数单调性则称数列{xn}是单调增加的；单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．对于数列{xn},若有x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,对于数列{xn},若有x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}是单调减少的.有界性例如,有界；无界同样,三、数列极限的概念【问题1】当

无限增大时,是否无限接近于一个固定常数?如果是,如何确定?

当n无限增大时，xn无限接近于一个固定的常数a，则称数列{xn}有极限,或称数列{xn}以a为极限（或称数列是收敛的）,记为当n无限增大时,xn不能趋于一个固定常数,则称数列{xn}没有极限（或称数列是发散的）.【直观定义】【问题2】“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量描述？“距离”任意小要多接近有多接近无限接近绝对值任意小【例如】如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.

对于一切正整数,对小的找到N,这个N也适用于大的，因此根据问题需要不妨设

例3证【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时有【思考题解答】【分析】错误①：极限是1明显是不对的，应为0.错误②：推导过程中又将不适当的放大，致使不等式：不能对任何ε>0成立.［例如］取ε=1/2时，找不到n满足该不等式.【结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬的结果.切记证明中应适当放大，否则无法保证小于任给的ε>0.【正确证法】因为解不等式故取则当n>N时，必有故四、数列极限的性质性质1（极限的惟一性）收敛数列的极限必惟一.证由定义,故收敛数列不可能有两个极限.【证】(反证法)同时成立,这显然是矛盾的.因此收敛数列的极限是唯一的.例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.收敛数列必有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要而非充分条件.推论无界数列必定发散.性质2（有界性）性质3（保号性）证对于正数由于故存在正整数N1,当n

>N1时,有从而有对于上述的由于故存在正整数N2,当n

>N2时,有从而有取N=max{N1,N2},当n

>N时,有即推论1这个定理表明

若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.在上述性质中,若取yn=b(n=1,2,…),即得如下推论.在上述推论中,若取

b=0

,则有推论2但推论2的逆命题却不成立.也就是说,即使xn>0(或xn<0),但极限却不一定大于0

(或小于0).例如,对于数列,显然,可是却有

,但我们可以得到如下推论.推论3五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:惟一性、有界性、保号性.1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入1.割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入

三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限一、函数极限的定义三、小结二、函数极限的性质第二节函数的极限一、函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。

下面，我们将主要研究以下两种情形：(1)自变量x无限接近于定值x0,但不等于x0,即|x-x0|充分小但不等于零,称为x趋向于x0,记作x→x0.

它有两种情形,一种是变量x从左边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0-.一种是变量x从右边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0+.(2)自变量x的绝对值|x|无限增大,称作x趋向于无穷大,记作x→∞.

它也有两种情形,一种是变量x向正方向无限增大,即x取正数且无限增大,记作x→+∞.另一种是变量x向负方向无限减小,即-

x取正数且无限增大,记作x→

-∞.

下面就自变量的上述几种变化趋势,分别讨论函数f(x)的极限.1.自变量趋于有限值时函数的极限①定义

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义(在x0处可以没有定义),

A为常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-x0|

<δ时,恒有不等式|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x趋向于x0时有极限A,或f(x)在x0处有极限A,记作②几何解释

注意

例1证对于只需取δ=ε,当0<|x-x0|<δ时,便有例2证对于只需取δ=ε,当0<|x-0|<δ时,便有例3证函数在点x=1处没有定义.【分析】例4证③单侧极限例如,左极限右极限左右极限统称为单侧极限.左右极限都存在但不相等,例5证例6设讨论当x→0时,函数f(x)的极限是否存在.证当x<0时,有当x>0时,有由于因此有播放2.自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题

如何用数学语言刻划函数“无限接近”.①定义

设函数f(x)在点|x|≥b≥0上有定义,A为一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数X>b,使得当|x|

>X时,有|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x→∞时有极限A,也称函数f(x)当x→∞时收敛于A.记作②两种情形

③几何解释

f(x)水平渐近线例7证例8证只需–x<lnε,即x>–lnε=

二、函数极限的性质定理2（极限的局部有界性）定理1（极限的惟一性）

值得注意的是,如果数列收敛,则这个数列有界.但如果函数有极限,则一般只能得到此函数的“局部有界”的结论.

例如,我们知道

但是它只是局部有界的,而在定义域

内是无界的.定理3(极限的局部保号性)推论1【定理】(Heine定理)函数极限与数列极限的关系常用海涅定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在.【注】例9证二者不相等,三、小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限第三节极限的运算法则一、极限的四则运算法则三、复合运算法则二、求极限方法举例四、小结一、极限的四则运算法则定理1证取,则当时,有类似地,还可以证其他几个结论.推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理中的结论(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况,而且还有如下常用的两个推论(下设函数

f(x)的极限存在).二、求极限方法举例例1解例2解小结:例如,解,商的法则不能用例3解例4(消去零因子法)例5解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.解例6例7解而商的极限存在,所以必须有解得例8解先变形再求极限.三、复合运算法则意义：例9解:例10解:由于,所以而四、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小性质求极限.3.复合函数的极限运算法则.一、夹逼准则二、单调有界准则四、小结极限存在准则及两个重要极限第四节三、连续复利一、夹逼准则证能使上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.注意:准则I和准则Iˊ统称为夹逼准则.例1解由夹逼定理得作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限【证明】例2解例3解例4解令arctanx=t,则

x=tant,而当x→0时,有t→0,于是有单调增加单调减少单调数列二、单调有界准则我们前面已经知道,收敛的数列一定有界,但有界的数列却不一定收敛,但若再加上数列单调的条件,则有下面的重要结论:几何解释:例5证(舍去)定义作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限由二项式展开公式,有类似地,例6解例7解例8解例9解根据题意,显然有a

≠0,又所以有a=

ln2.例10解特别地,当a=

e时,有例11解特别地,当a=

e时,有例12解

注:上述三个极限的结论是经常被引用使用的重要结果,大家应该记住它们.例13设数列证明证明存在,并求此极限.由数学归纳法可知数列{xn}单调增加.再由xn=1+xn-1/(1+xn-1)<2,可知该数列有上界.根据单调有界准则,可知该数列极限存在,记为三、连续复利设有某笔贷款A0(也叫本金),贷款期数为t,每期利率为r,如果每期结算一次,则本利和为如果每期结算m次,则t期本利和Am为这种计算复利的方法称为连续复利.如果立即产生结算,也就是每时每刻计算复利,即m→∞,这样t期本利和应为四、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.设α为某过程中的无穷小量,则四、无穷大五、小结第五节无穷小与无穷大二、无穷小的性质三、无穷小的比较一、无穷小一、无穷小定义1若在自变量x的某个变化过程中limf(x)=0,则称函数f(x)为x在该变化过程中的无穷小量,简称为无穷小.例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的常数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数;（3）无穷小是相对于自变量的变化过程而言的.定理1(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2)

有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.二、无穷小的性质

这里所说的有界,对函数而言可以是局部有界.都是无穷小.推论1常量与无穷小的乘积为无穷小.推论2有极限的量与无穷小的乘积为无穷小.推论3有限个无穷小的乘积为无穷小.注

两个无穷小的商未必是无穷小.因为常量有界,有极限的变量有界或者局部有界,所以有如下推论:2x和3x都是x→0时的无穷小,但商却不是.下面我们考虑无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;例如,极限不同,反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限三、无穷小的比较定义2例如，关于等价无穷小,有下面的两个结论:定理3意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,定理4(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小:例1解

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例2解例3解解错例4解四、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.【无穷大】【无界量】无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系】不是无穷大．无界，证例4定理5(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.解由于例5根据定理5,可知五、小结1.主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.【注】【反例】无穷大的性质3.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4.等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.一、连续函数的概念二、函数的间断点四、小结第六节连续函数三、初等函数的连续性一、连续函数的概念1.函数的增量注意：定义1设函数在点的某邻域内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,相应的函数增量也趋向于零,即则称函数在点处连续.2.连续的定义也就是说函数当时的极限值等于该点的函数值,所以也可以这样定义连续:定义2设函数在点的某邻域内有定义,如果当时f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点x0处的函数值,即则称函数在点处连续,且称为的连续点.即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例1证由定义2知3.单侧连续定理1例2解函数左连续且右连续,所以该函数在x=0处连续.例3解因此函数右连续但不左连续,故该函数在x=0处不连续.4.连续函数与连续区间在区间I上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间I上连续.注:连续函数在区间I上的图形是一条连续而不间断的曲线.【例】【证】5.基本初等函数的连续性

如果是多项式函数,有理分式函数或基本初等函数,则对于其定义域内的任意一点,都有因此,多项式函数、有理分式函数及基本初等函数在其定义域内都是连续函数.二、函数的间断点1.可去间断点例4解【注】

可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,再比如函数在点x=1处无定义,所以x=1是该函数的可去间断点.故只须令,则函数在x=1处连续.例5解2.跳跃间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．例5中的间断点为跳跃间断点．3.第二类间断点例6解这时也称其为无穷间断点.例7解注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点．判断下列间断点类型:例8解四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx一、连续函数的运算三、小结第七节连续函数的运算

与初等函数的连续性二、初等函数的连续性定理1例如,一、连续函数的运算1.

连续函数的和、差、积、商的连续性定理2

若函数y=f(x)在其定义区间Df上连续且单调增加(或减少),其值域为区间Rf,则它的反函数y=f-1(x)在Rf上连续且单调增加(或减少).例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.

反函数与复合函数的连续性例如定理3

设函数y=f(u)和u=g(x)可构成复合函数y=f[g(x)],g(x0)=u0.若u=g(x)在点x0连续,而y=f(u)在点u0连续,则y=f[g(x)]在点x0连续.即:连续函数的复合函数仍然是连续函数.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.二、初等函数的连续性注意

初等函数在连续点求极限可用代入法.例1解例2解指出函数的连续区间,间断点及其类型.由初等函数的连续性可知

f(x)在区间(－∞,0),(0,1),(1,2)及(2,+∞)内连续.对于

x=0,因为故

x=0是函数f(x)的连续点.对于

x=1,因为故

x=1是函数f(x)的第二类中的无穷间断点.综上所述,

f(x)在区间(－∞,1),(1,2)及[2,+∞)内是连续函数,x=1是f(x)的第二类间断点,x=2是f(x)的第一类间断点.对于

x=2,因为故

x=2是函数f(x)的第一类中的跳跃间断点.三、小结2.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法.1.连续函数的运算（1）连续函数的四则运算仍连续；（2）连续函数的复合运算仍连续；一、最值定理与有界性定理二、介值定理与零点定理三、小结第八节闭区间上连续函数的性质一、最值定理与有界性定理定义:例如,定理1(最值定理)闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.推论1(有界性定理)闭区间上的连续函数必有界.注有界性定理属于定性结论,而最值定理属于定量性结论.二、介值定理与零点定理几何解释:MBμAmab注介值定理的两个条件(闭区间,连续函数)是缺一不可的.例如函数在闭区间[0,1]上有定义,点x=1是

f(x)的间断点,数μ=1.5介于f(0)=0与f(1)=2之间,但对于x∈(0,1),都有f(x)≠1.5.定义如果x0使f(x0)=0,则x0称为函数f(x)的零点.接下来我们介绍零点定理.几何解释:由于

x=ζ是方程

f(x)=0的一个根,因此零点定理也叫做根的存在定理.经常用它来证明方程的根的存在性及确定根的范围.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,可知至少存在使得例2证由零点定理可知,至少存在一点使得三、小结两个定理两个推论最值定理与介值定理；有界性定理；根的存在性定理.注意条件1．闭区间；2．连续函数．这两点有一点不满足上述定理不一定成立．解题思路辅助函数法:作辅助函数F(x),再利用零点定理;一、导数概念的引出二、导数的定义五、函数的可导性与连续性的关系六、小结四、导数的几何意义第一节导数的概念三、求导举例一、导数概念的引出1.变速直线运动的瞬时速度问题2.切线问题播放割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置如图,

如果割线M0M绕点M0旋转而趋向极限位置M0T,直线M0T就称为曲线C在点M0处的切线.极限位置即二、导数的定义定义1.函数在一点处的导数其它形式即★关于导数的说明：★2.右导数:2.单侧导数1.左导数:左导数和右导数统称为单侧导数.根据函数在一点极限存在的充要条件,不难得到函数在一点可导的充要条件:★题型解题思路3.导函数注意:

在上式中虽然x可以取区间I内的任何数值,但在取极限的过程中,x是常量,∆x是变量.步骤:例1解三、求导举例例2解更一般地例如,例3解类似地可得到例4解特别地,当a=e时,有例5解特别地,当a=e时,有例6解四、导数的几何意义切线MT方程为法线MN方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为五、函数的可导性与连续性之间的关系定理1可导函数都是连续函数.证连续函数不一定可导.0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例8解六、小结1.导数的实质:增量比的极限,即瞬时变化率;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.可导的函数一定连续,但连续的函数不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在.一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则第二节求导法则四、初等函数的导数五、小结一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1证(1)证(2)、(3)略.从而有所以即推论例1解下面看一些例子.例2解例3解例4解同理有例5解同理可得例6解二、反函数的求导法则定理2即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证于是有例7解同理可得三、复合函数求导法则定理3即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.证推广因此,复合函数求导法则也称为链锁规则.例8解例9解例10解例11解例12解例13解例14解一般幂指函数y=[u(x)]v(x),且u(x),v(x)均可导,u(x)>0,均可以用类似的办法求导.例15解四、初等函数的导数1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)3.反函数的求导法则

利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.4.复合函数的求导法则例16解例17解例18解五、小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链锁规则）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.一、高阶导数的定义二、高阶导数的求导法则三、小结第三节高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数的求法法则例1解1.直接法

由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解例4解例5解注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)例6解例7解同理可得例8解2.高阶导数的运算法则(2)称为莱布尼茨公式.例9解3.间接法常用高阶导数公式

利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例10解例11解三、小结

高阶导数的定义及物理意义;

高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);

n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.一、隐函数的导数三、小结二、由参数方程所确定的函数的导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数我们前面研究的函数都具有y=f(x)的形式定义:有些隐函数是容易显化的,如x+2y=1;有些则很困难甚至是不可能的,例如隐函数的显化问题:当隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则:先假设隐函数存在并且可导,我们可以直接对方程两边求导,求导时把y看作是x的函数,使用复合函数求导法则,所得结果一定是含有y’的表达式,从中解出y’,即为所求.例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解将y视为关于x的函数,在两端对x求导,得将上式两端再对x求导,得★对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数,得等式两边再对x求导,得一般地二、由参数方程所确定的函数的导数在平面解析几何中我们知道,以原点为中心,a为长半轴,b为短半轴的椭圆可由参数方程表示.并且可将参数t从方程中消去,可得例如消去参数问题:消去参数困难或无法消参如何求导?一般地,有由复合函数及反函数的求导法则得在求二阶导数时,一般是将求得的一阶导数的表达式直接对t求导,再除以φ`(t),而不直接引用上面推导出来的公式.例6证明星形线在任何点的切线

被坐标轴所截得的线段为定长.

解过点M的切线斜率为

星形线在点M的切线方程为

令y=0

,得切线在x轴上的截距为

令x=0

,得切线在y轴上的截距为

所以切线被坐标轴所截得的线段长度为由M点的任意性,故命题得证.例7摆线的参数方程是

解例8解三、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则.一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的计算

五、小结第五节微分四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题

这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2.定义(微分的实质)由定义知:3.可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解利用微商来计算某些函数的导数是很方便的.例如,若函数是由参数方程所确定,当φ(t),ψ(t)都可导,且φ’(t)≠0时,有这就是上节介绍的由参数方程所确定的函数的求导公式.二、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)P三、微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则结论：一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则例2解或利用微分形式不变性,将x2+3x看做中间变量,例3解例4解方程两端分别求微分,有即解出dy,得四、微分在近似计算中的应用常用近似公式证明解例5例6解五、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★

近似计算的基本公式★一、边际分析二、经济学中常见的边际函数五、小结三、弹性分析第六节导数在经济分析中的意义四、经济学中常见的弹性函数一、边际分析定义1例1解1.边际成本1)边际成本2)平均边际成本：二、经济学中常见的边际函数解生产10个单位产品时的总成本为平均成本为它表示当产量为10个单位时,再增加一个单位,成本需要再增加5个单位(或产量减少一个单位,成本将减少5个单位).2.边际收益定义：解3.边际利润定义：边际利润表示：若已经生产了Q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．上述结果表明当生产量为每天10吨时，再增加一吨，利润将增加150元，每天20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每天25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为每天35吨时，再增加一吨，利润将减少100元．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.解4.边际需求定义解它的经济意义是当价格为4时，价格上涨(或下降)1个单位，需求量将减少(或增加)8个单位.例51.弹性的定义三、弹性分析定义弹性函数的定义例6解2常见函数的弹性函数（a,b,

为常数）3弹性的四则运算1.需求弹性

需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.设需求函数Q=f(P)在点P可导,则需求弹性可以用公式表示为注四、

经济学中常见的弹性函数因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号和分别表示两点间的需求弹性和某点处的需求弹性。2.供给弹性例7解需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系

当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入

此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；

此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；当需求价格弹性等于1时，当价格变化时,总收益不变.称该商品具有单位弹性.五小结边际的基本概念1边际成本2边际收益3边际利润4边际需求弹性的基本概念1需求弹性