北京市第一零一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第一零一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知的三个顶点的坐标分别为，，，为边的中点，则等于（

）A. B. C. D.2.经过两点，的直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.3.直线：被圆：所截得的弦长为（

）A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，与的交点为，则（

）

A. B.

C. D.5.已知空间中，，，四点共面，则（

）A. B. C. D.6.如图，在棱长为的正四面体中，点为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A. B. C. D.7.已知直线：，直线：，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点为的中点，点在直线上，点在直线上，则线段长度的最小值是（

）

A. B. C. D.9.已知四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．则点到直线的距离为（

）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，已知圆：与直线：交于，两点，点为轴上的动点，点为直线上的动点，给出下列三个结论：①面积的最大值为；②的最小值为；③若圆上总存在两点，，使得，则的取值范围是．其中正确结论的个数是（

）A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为

12.写出过点的一个圆的标准方程

．13.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为

，侧面积为

．

14.已知函数的部分图象如图所示．若将图象上的点向左平移个单位长度得到点，且点仍在的图象上，则的最小值为

．

15.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），给出下列四个结论：①在点运动的过程中，总能找到点使得；②点到平面距离的最小值为；③若点是直线与平面的交点，则点的轨迹长度为；④已知点集，则表示的区域面积是．其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)如图，在长方体中，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17.(本小题12分)在中，已知点，，．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求的面积；(3)若点在直线上，且，求直线的方程．18.(本小题12分)在中，，．(1)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．①；

②；

③．(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围．19.(本小题12分)已知四边形是菱形，，，点为的中点．如图，将沿折起，使得二面角的余弦值为．(1)求二面角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．20.(本小题14分)已知圆经过，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设圆与轴的另一个交点为，动点在圆：上．①试判断圆与圆的位置关系，并说明理由；②直接写出面积的取值范围；(3)设过点的直线与圆交于，两点，直线与直线相交于点，问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21.(本小题15分)

设n为正整数，集合An={α|α=（a1，a2，…，an），|ai|≤1，i=1，2，…，n}，对于集合An中2个元素α=（x1，x2，…，xn），β=（y1，y2，…，yn），若x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn=0，则称α，β具有性质M.记S=x1+x2+…+xn，Ti=xi+yi（i=1，2，…，n），M（α，β）为|S|，|Ti|（i=1，2，…，n）中的最小值.

（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，-0.9，1），β=（0.1，-1，-0.2），判断α，β是否具有性质M.如果是，求出M（α，β）；如果不是，说明理由；

（Ⅱ）当n=3时，若α=（a,1，1），β=（-1，b,c）具有性质M，求M（α，β）的最大值；

（Ⅲ）给定不小于3的奇数n,对于集合An中任意2个具有性质M的元素α，β，求M（α，β）的最大值.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】3x-4y+5=0

12.【答案】/（答案不唯一）

13.【答案】

；

；

；

；

；

；

；

/

14.【答案】

15.【答案】②③④

16.【答案】解：(1)证明：因为长方体中，，则为正方形，故；又因为底面，故；因为，且平面，则平面；（2）在长方体中，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系；因为，，则，则，，；设为平面的法向量，则，则，令，可得；设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．

17.【答案】解：（1）因为，，则直线的方程为，即，设边上的高所在直线的方程为，代入点可得，解得，所以边上的高所在直线的方程为.（2）因为，点到直线的距离，所以的面积为.（3）因为点在直线上，设，由，整理可得，解得或，即或，若，则直线的方程为；若，则直线的方程为，即；综上所述：直线的方程为或.

18.【答案】解：（1）由，得，由正弦定理，化简得，因为，所以，，则，，，，若选条件①，，，因为，所以为锐角，，则，的面积为：；若选条件②，，由余弦定理得，即，解得或，三角形的解不唯一，不能选；若选条件③，，角为钝角，，，，，的面积为：.（2）若为锐角三角形，所以，，解得，的周长：，因为，所以，因此，周长的取值范围为：.

19.【答案】解：（1）连接；因为四边形是菱形，且点为的中点，则，；故二面角的平面角为，故；以为坐标原点，所在直线为轴，作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系；因为，，故，；故，，，故；则，，；设为平面的法向量，则，即，解得，令，可得；设为平面的法向量，则，即，解得，令，可得；则；则二面角的余弦值为；（2），设点到平面的距离为，则；(3)存在点，使得平面，设，由，可得；因为，则；当平面时，，故，整理可得，解得，则．

20.【答案】解：（1）直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为.线段的中点为，即，所以线段的垂直平分线的方程为：，即.由，得，所以.所以.所以圆的标准方程为.(2)①圆与圆相外切.理由如下：圆：的圆心，半径为，所以，所以，所以圆与圆相外切.②由（1）得，圆的标准方程为.令，则，解得或.所以.所以.所以直线的斜率为，所以方程为，即.圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的范围为，所以面积的取值范围是.（3）显然，过点的直线斜率不为，所以设其方程为，，由，得，所以，所以，.由，，得直线的方程为：，即；直线的方程为：，即.由，得，所以，即.所以点在定直线上.

21.【答案】解：（Ⅰ）由于1-0.9+1+0.1-1-0.2=0，因此α，β具有性质M，

由于，，

，，

因此M（α，β）=0.8；

（Ⅱ）先用反证法证明M（α，β）≤1，

假设M（α，β）＞1，

由|b|≤1，则|T2|=|b+1|=b+1＞1，

因此b＞0，同理c＞0，

因此b+c＞0，

根据a+1+1+（-1）+b+c=0，

因此a=-1-（b+c）＜-1，

与已知|a|≤1矛盾，假设不成立，

所以M（α，β）≤1，

当b=c=0时，a=-1，此时M（α，β）=1，

所以M（α，β）的最大值为1；

（Ⅲ）由性质M可得x1+x2+⋯+xn+y1+y2+⋯+yn=0，

所以S=x1+x2+⋯+xn=-（y1+y2+⋯+yn）=1，①

且T1+T2+⋯+Tn=0，②

在①中不妨设S≥0，

在②中不妨设Ti≥0（i=1，2，⋯，m），Ti＜0（i=m+1，m+2，⋯，n），

由对称性可以设，，

所以M（α，β）≤S，M（α，β）≤T1，M（α，β）≤T2，…，M（α，β）≤Tm，

所以（m+1）M（α，β）≤S+T1+T2+⋯+Tm

=（x1