2026江苏专转本《高等数学》真题试卷及参考答案

2026江苏专转本《高等数学》真题试卷及参考答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1.设函数$$f(x)=\begin{cases}

\frac{\sin2x}{x},&x\ne0,\\[4pt]

a,&x=0,

\end{cases}$$在x=0处连续，则A.0B.1C.2D.不存在答案：C解析：limx→0sin22.设函数y=(1)=$（）A.0B.1C.2D.4答案：A解析：y′=2(1)=0$。3.−1A.2B.1C.πD.π答案：D解析：x3cosx为奇函数，在[−14.微分方程y″A.yB.yC.yD.y答案：B解析：特征方程为r2−3r+2=5.级数n=A.pB.pC.0D.p答案：B解析：n=1∞1n6.直线L:x−A.平行但不重合B.直线在平面内C.垂直相交D.相交但不垂直答案：D解析：直线的方向向量s=(1,2,−1)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1.limx答案：1解析：当x→0时，ln(1+x22.曲线y=答案：(3.01答案：e4.微分方程y′(0)=0$的特解为______答案：y解析：积分因子为secx，则(ysec(0)=0$得$C=0$，所以$y=\sinx$。5.幂级数n=答案：[解析：收敛半径R=1。当x=0时，级数化为n=1∞6.点P(1,答案：5三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.求极限limx答案：1解析：当x→arcsin所以arcsin故原极限为132.设y=xsinx（答案：d解析：两边取对数得lny=siny故y3.求不定积分∫d答案：1解析：x所以$$\int\frac{dx}{x^2-2x+5}

=\int\frac{d(x-1)}{(x-1)^2+4}

=\frac{1}{2}\arctan\frac{x-1}{2}+C.$$4.求定积分02答案：1解析：用分部积分法：$$\int_0^2xe^{-x}dx

=\left[-xe^{-x}\right]_0^2+\int_0^2e^{-x}dx

=-2e^{-2}+\left(1-e^{-2}\right)

=1-\frac{3}{e^2}.$$5.设z=lnx2+$$dz=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2},\qquad

\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$解析：z=z所以d再对zx关于yz6.计算二重积分D​(x答案：3解析：区域D为(x−1)2r且−π$$\iint_D(x^2+y^2)d\sigma

=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta

=4\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4\theta\,d\theta

=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4\theta\,d\theta

=\frac{3\pi}{2}.$$7.求微分方程y″(0)=1$，$y'(0)=0$的特解。答案：y解析：特征方程为r2−r−2y由y(0)C解得C1=1y8.求过点M(1,答案：x解析：直线L的参数方程为x设所求直线与L的交点为P(M两直线垂直，故方向向量点积为0：(即6t+1M它平行于向量(2x四、证明题（本大题共1小题，共10分）1.设函数f(x)在[(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi$。证明：令F则F(x)在[F由罗尔定理，存在ξ∈(0f所以f五、综合题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）1.设平面图形D由抛物线y=x2（1）求D的面积；（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。答案：（1）S=（2）V=解析：联立y=x2与y=2（1）$$S=\int_0^2(2x-x^2)dx

=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2

=4-\frac{8}{3}

=\frac{4}{3}.$$（2）绕x轴旋转时，外半径为2x，内半径为x$$V=\pi\int_0^2\left[(2x)^2-(x^2)^2\right]dx

=\pi\int_0^2(4x^2-x^4)dx

=\pi\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^2

=\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)

=\frac{64\pi}{15}.$$2.设f(x)答案：定义域为(0,+∞)。单调区间：在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减。极值：在解析：$$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2},\qquad

f''(x)=\frac{2\lnx-3}{x^3}.$$由f′(x)=0得x=e。当0<x<由f″(x)=0得x=e3$$\left(e^{3/2},\frac{\lne^{3/2}}{e^{3/2}}\right)

=\left(e^{3/2},\frac{