3.2.4二面角及其度量.pptx

1、,长沙县第一中学刘烈文,2019年4月,解决高考中的空间角问题,什么是空间角？,线线角,线面角,二面角,数学素养贯穿高考全卷,数学抽象直观想象逻辑推理数学运算数学建模数据分析,一般性严谨性实用性,数学建模数学运算直观想象逻辑推理,空间想像能力抽象概括能力推理论证能力运算求解能力数据处理能力,运算能力是高考成败的关键,一、分析近三年高考怎么考,二、研讨近三年高考中空间角的真题,1.【2018年全国卷理12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为AB.C.D.,2.【2018年全国卷理9】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA

2、1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为AB.C.D.,二、研讨近三年高考中空间角的真题,3.【2017年全国卷理10】已知直三棱柱中，,，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.,4.【2017年全国卷理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）,二、研讨近三年高考中空间角的真题,5.（20

3、18年全国卷理18）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.,（1）证明：平面平面（2）求DP与平面所成角的正弦值.,二、研讨近三年高考中空间角的真题,二、研讨近三年高考中空间角的真题,7.【2016年全国卷理18】如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是.（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值,二、研讨近三年高考中空间角的真题,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,【问题一】【2016年全国卷理11】平面过正方体ABCD-A

4、1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为（）A.B.C.D.,解：方法一:如图，平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABA1B1=n,可知：nCD1,mB1D1，CB1D1是正三角形.m、n所成角就是CD1B1=60.则m、n所成角的正弦值为：,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,方法二：,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,1.方法总结求异面直线所成角的方法（1）几何法：线线角找平行，线面角、二面角找垂直（2）坐标法：合理建系是基础（3）画图、识图、用图是关键,2.数学思想方法：转化与化归思想，数形结合思想3.数

5、学核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,【举一反三】1.【2018年全国卷理9】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，,则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.,2.【2018年浙江卷8改编】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A123B321C132D231,三用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,5.（2018年全国卷理18）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.,（

6、1）证明：平面平面（2）求DP与平面所成角的正弦值.,解：（1）由已知可得,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,5分,3分,4分,1分,2分,5.（2018年全国卷理18）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.,（1）证明：平面平面（2）求DP与平面所成角的正弦值.,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,5.（2018年全国卷理18）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.,（2）求DP与平面所成角的正弦值.,以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，,三、

7、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,6分,7分,9分,11分,12分,8分,由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得,（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD，,为平面ABFD的法向量.,设DP与平面ABFD所成角为,则,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,还有其他方法吗？,思考：求二面角P-DE-F的平面角的余弦值？,5.（2018年全国卷理18）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.,（2）求DP与平面所成角的正弦值.,三、用数

8、学思想方法、核心素养引领问题驱动,1.方法总结（一）向量法求线面角的一般步骤（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标.（2）写出相关向量的坐标.（3）求平面的法向量.（4）求线面角的正弦值.（5）转化为几何结论.提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.（二）几何法：一作、二证、三算,2.数学思想方法：转化与化归思想，数形结合思想3.数学核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,变式【2018年全国卷理文19改编】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C,D的点

9、当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,变式【2018年全国卷理文19改编】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C,D的点当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,变式【2018年全国卷理文19改编】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C,D的点当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,可取，易知是平面MCD的法向量,因此,所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.,解：建系如图所示：以D为坐

10、标原点，的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.由题设得设是平面MAB的法向量,则,即,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,还有其他方法吗？,变式【2018年全国卷理文19改编】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C,D的点当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值,三、用数学思想方法、核心素养引领问题驱动,1.方法总结（一）向量法求二面角的方法(1)若n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|,然后利用图形判断二面角是锐角或钝角.(2)若AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为(AB)与(CD)的夹角或其补角.（二）几何法：一作、二证、三算,2.数学思想方法：转化与化归思想，数形结合思想3.数学核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算,引申拓展,还有其他方法吗？,