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1、一、无穷限的广义积分,第四节广义积分,二、无界函数的广义积分,一、无穷区间的广义积分,例1求由曲线y=e-x，,y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.,解这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取b0,+)，,在有限区间0,b上，,以曲线y=e-x为曲边的曲边梯形面积为,b,即,当b+时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,定义1设函数f(x)在a,+)上连续，,取实数ba，,如果极限,则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义2设函数f(x)在(-,b上连续，,取实数ab，,如果极限,则称此极限值为函数f

2、(x)在无穷区间(-,b上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义3设函数f(x)在(-,+)内连续，,且对任意实数c，,如果广义积分,则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,即,都收敛，,否则称广义积分发散.,若F(x)是f(x)的一个原函数，并记,则定义1，2，3中的广义积分可表示为,由于当x+时，sinx没有极限，所以广义积分发散.,解用分部积分法，得,解,故该积分发散.,当p1时，收敛；当p1时，发散.,证p=1时，则,所以该广义积分发散.,当p1时，,综合上述，,该广义积分收敛.,当p1时，

3、,该广义积分发散.,p1时，则,二、无界函数的广义积分,定义4设函数f(x)在区间(a,b上连续，,取e0，,如果极限,则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,否则称广义积分发散.,即,存在，,定义5设函数f(x)在区间a,b)上连续，,取e0，,如果极限,则称此极限值为函数f(x)在区间a,b)上的广义积分.,这时也称广义积分收敛，,否则称广义积分发散.,即,存在，,定义6设函数f(x)在a,b上除点c(a,b)外连续，,如果下面两个广义积分,则称这两个广义积分之和为函数f(x)在区间a,b上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,否则，称广义积分发散.,即,都收敛，,若F(x)是f(x)的一个原函数，,则定义4，5，6中的广义积分可表示为,解,故

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