二次函数与面积

1、 二次函数与面积专题仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法注意：（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）（12分）（2013玉林）如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于a，b（a，b分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点c，顶点为d，已知a（1，0）（1）求点b、c的坐标；（2）判断cdb的形状并说明理由；（3）求四边形abcd的面

2、积。解：（1）点a（1，0）在抛物线y=（x1）2+c上，0=（11）2+c，得c=4，抛物线解析式为：y=（x1）2+4，令x=0，得y=3，c（0，3）；令y=0，得x=1或x=3，b（3，0）（2）cdb为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点d的坐标为（1，4）如答图1所示，过点d作dmx轴于点m，则om=1，dm=4，bm=obom=2过点c作cndm于点n，则cn=1，dn=dmmn=dmoc=1在rtobc中，由勾股定理得：bc=；在rtcnd中，由勾股定理得：cd=；在rtbmd中，由勾股定理得：bd=bc2+cd2=bd2，cdb为直角三角形（勾股定理的逆定理）(3) 略

3、(2009年牡丹江市)如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点（1）试确定、的值；（2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形状0xyabc（2013牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点a（4，3），与y轴交于点b，对称轴是x=3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于c，d两点，点c在对称轴左侧，且cd=8，求bcd的面积注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是x=22解：（1）把点a（4，3）代入y=x2+bx+c得：164b+c=3，c4b=19，对称轴是x=3，=3，b=6，c=5，抛物线的解析式是y=x2+6x+5；（2）

4、cdx轴，点c与点d关于x=3对称，点c在对称轴左侧，且cd=8，点c的横坐标为7，点c的纵坐标为（7）2+6（7）+5=12，点b的坐标为（0，5），bcd中cd边上的高为125=7，bcd的面积=87=2823、（2009仙桃）如图，已知抛物线yx2bxc经过矩形abcd的两个顶点a、b，ab平行于x轴，对角线bd与抛物线交于点p，点a的坐标为(0，2)，ab4(1)求抛物线的解析式；(2)若sapo，求矩形abcd的面积（2013哈尔滨，24，6分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为ab(单位：米)，现以ab所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点

5、为o，已知ab=8米，设抛物线解析式为y=ax2-4(1)求a的值；(2)点c(-1,m)是抛物线上一点，点c关于原点o的对称点为点d，连接cd、bc、bd，求bcd的面积【答案】解：(1)ab=8，由抛物线的对称性可知ob=4，b(4,0)，0=16a-4，a=(2)过点c作ceab于e，过点d作dfab于f，a=，y=x2-4.令x=-1，m=(-1)2-4=-,c(-1, -).点c关于原点对称点为d，d(1，)，ce=df=，sbcd=sbod+sboc=obdf+obce=4+4=15bcd的面积为15平方米24（2013佛山）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点a（0，3），

6、b（3，0），c（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积s（图中阴影部分）考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换3338333分析：（1）把点a、b、c代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点a（0，3），

7、b（3，0），c（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2；（3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），pp=1，阴影部分的面积等于平行四边形aapp的面积，平行四边形aapp的面积=12=2，阴影部分的面积=2点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点a（-6，0）和原点o（0，0），它的顶点为p，它的对称轴与抛物线y=x2交于点q，则图中阴影部分的面积