函数及其表示

1、 考点4 函数及其表示考纲解读 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 了解简单的分段函数,并能简单的运用.重点难点 函数的三种表示方法,利用集合与对应的语言来刻画函数. 了解简单的分段函数,并能简单的运用.命题探究 函数是整个高中数学的重点,函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年高考中都占据相当大的比例,从近几年来看,对本部分内容的考查形势稳中求变,向着更灵活的方向发展. 在高考中主要考查映射与函数的概念,例如求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数作为背景，结合不等式、方程、数列等知识,

2、考查学生处理综合问题的能力. 在高考命题上仍以考查基本概念与基本计算为主,题型主要是选择和填空题,也有可能把定义一种新运算作为考查的目的. 本内容涉及的考点有：求函数的解析式；分段函数；函数的综合应用。高考赏析1.(2011北京).根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（a，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品时用时15分钟，那么c和a的值分别是a. 75，25b. 75，16 c. 60，25 d. 60，16【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，选d。2.(2010陕西) 某学校要召开学生代表

3、大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x( x表示不大于x的最大整数)可以表示为 a. b. c. d. 【解析】法一：设，所以选b 法二：特殊取值法，若x=56，y=5,排除c、d，若x=57，y=6，排除a，所以选b3.(2009辽宁) 若满足满足则+a. b.3 c. d.4【解析】由题意 所以 即 令 代入上式得与式比较得于是，另法：数形结合法.故选c.4. (2005湖南)设p是abc内任意一点,sabc表示abc的面积,1,2,3 ,定义若g是abc的重心,则 a.点q

4、在gab内 b.点q在gbc内 c.点q在gca内 d.点q与点g重合【解析】a5.(2006陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为a.4,6,1,7 b.7,6,1,4 c.6,4,1,7 d.1,6,4,7【解析】当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为c基础巩固6. 设集合a和b都是自然数集合n,映射f:把集合a中的元素n,映射到集合b中的元,则在 映射 f 下,象20的原象

5、是 a.4 b.3 c.2 d. 5【解析】a7. 我校门前的磁卡电话收费标准为：前三分钟内收费0.4元，以后每分钟收费0.2元.某同学一次(或 多次)通话共7分钟，最低话费应是a.0.8元 b.1元 c.1.2元 d.1.4元【解析】b8.某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法:前16年的常住人口是逐年增加的;第16年后常住人口实现零增长;前8年的人口增长率大于1；第8年到第16年的人口增长率小于1.在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是a. b. c. d 【解析】c.9.如果函数对任意实数,存在常数m,使得不等式恒成立,那么就称函数为有

6、界泛函,下面有4个函数:； ； ； 其中有两个属于有界泛涵，它们是a.， b.， c.， d.，【解析】,取,所以符合有界泛涵定义.,取,所以符合有界泛涵定义.故选b.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则a. 5太贝克 b. 太贝克 c. 太贝克 d. 150太贝克【解析】因为，则，解得，所以，那么（太贝克），故选d.11定义在实数集上的函数，如果存在函数，使得对于一切实

7、数都成立，那么称为函数的一个承托函数.给出如下命题： 对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个 定义域和值域都是r的函数不存在承托函数； 为函数的一个承托函数； 为函数的一个承托函数 其中，正确的命题个数是 a0 b1 c2 d3【解析】c12.设函数(其中),是的小数点后的第位数字,则等于 .【解析】从此后均为13.如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车其， 平板面为矩形，宽为1m问：要想顺利通过直角走廊，平板手 推车的长度不能超过 【解析】.能力提高14.,则称函数f(x)是r 上的凹函数.已知二次函数(1)求证：当时，函数是凹函数；(2)如果时，试求实数a的取值

8、范围.【解析】(1)对任意函数f(x)是凹函数.(2) 当x=0时，ar；当x(0，1)时， . 综上，的范围是 15.已知函数（，）的反函数是，而且函数的图象 与函数的图象关于点对称 （）求函数的解析式； （）若函数在上有意义，的取值范围【解析】（）由（，），得又函数的图象与函数的图象关于点对称，则，于是，（）（）由（）的结论，有要使有意义，必须 又，故由题设在上有意义，所以，于是，应用创新 16.某地区上年度电价为0.8元/kwh,年用电量为akwh,本年度计划将电价降到0.55元/kwh 至0.75元/kwh之间，而用户期望电价为0.4元/kwh，经测算，下调电价后新增的用电量与实 际电

9、价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）该地区电力的成本价为0.3元/kwh()写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；()设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量(实际电价-成本价)）【解析】()设下调后的电价为元依题意知用电量增至电力部门收益()依题意有整理,得解此不等式得 故当电价最低定为0.60元/k仍可保证电力部门的收益比上年增长wh20%。知识清单 函数与映射的概念函数映射 两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的

10、数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。 名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 一个函数的构成要素:定义域、值域和对应关系 相等函数:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为r，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） 函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，